Страница 88 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

10.17. Решите уравнение:

1) $x^{-\frac{2}{3}} = 0,04;$

2) $(x - 2)^{\frac{5}{2}} = 32;$

3) $(x^2 - 2x)^{\frac{1}{4}} = -1.$

1) $x^{-\frac{2}{3}} = 0,04$
Определим область допустимых значений (ОДЗ). Поскольку показатель степени $-\frac{2}{3}$ имеет нечетный знаменатель, основание степени $x$ может быть любым действительным числом, кроме нуля (так как показатель отрицательный). Итак, ОДЗ: $x \neq 0$.
Преобразуем уравнение. Представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $0,04 = \frac{4}{100} = \frac{1}{25}$.
Используем свойство степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:
$x^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$
Теперь уравнение выглядит так:
$\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{25}$
Отсюда следует, что:
$x^{\frac{2}{3}} = 25$
По определению степени с дробным показателем $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} = (\sqrt[n]{a})^m$. В нашем случае:
$(\sqrt[3]{x})^2 = 25$
Это уравнение распадается на два случая:
1. $\sqrt[3]{x} = 5$. Возведя обе части в куб, находим $x = 5^3 = 125$.
2. $\sqrt[3]{x} = -5$. Возведя обе части в куб, находим $x = (-5)^3 = -125$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 0$).
Ответ: $125; -125$.

2) $(x - 2)^{\frac{5}{2}} = 32$
Определим область допустимых значений (ОДЗ). Показатель степени $\frac{5}{2}$ имеет четный знаменатель (2), поэтому основание степени должно быть неотрицательным:
$x - 2 \ge 0 \implies x \ge 2$.
Теперь решим уравнение. Чтобы найти $x-2$, возведем обе части уравнения в степень, обратную данной, то есть в степень $\frac{2}{5}$:
$((x-2)^{\frac{5}{2}})^{\frac{2}{5}} = 32^{\frac{2}{5}}$
$x-2 = (\sqrt[5]{32})^2$
Так как $\sqrt[5]{32} = 2$, получаем:
$x-2 = 2^2$
$x-2 = 4$
$x = 6$
Найденный корень $x=6$ удовлетворяет условию ОДЗ ($x \ge 2$).
Ответ: $6$.

3) $(x^2 - 2x)^{\frac{1}{4}} = -1$
Определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение $a^{\frac{1}{4}}$ (арифметический корень четвертой степени $\sqrt[4]{a}$) определено только для неотрицательных значений основания $a$. Следовательно:
$x^2 - 2x \ge 0$.
По определению, значение арифметического корня четной степени всегда неотрицательно. То есть, левая часть уравнения $(x^2 - 2x)^{\frac{1}{4}}$ для любого $x$ из ОДЗ принимает только неотрицательные значения:
$(x^2 - 2x)^{\frac{1}{4}} \ge 0$
Правая часть уравнения равна $-1$.
Таким образом, мы приходим к противоречию: неотрицательное число не может быть равно отрицательному числу ($-1$).
Следовательно, данное уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: корней нет.

10.18. Решите уравнение:

1) $x^{-1.5} = 27;$

2) $(x-1)^{\frac{2}{5}} = 100;$

3) $(x-5)^{\frac{3}{7}} = 0.$

1) Исходное уравнение: $x^{-1.5} = 27$.
Сначала преобразуем десятичную степень в дробную: $-1.5 = -\frac{3}{2}$.
Уравнение принимает вид: $x^{-\frac{3}{2}} = 27$.
По определению степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получаем:
$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} = 27$.
Отсюда выразим $x^{\frac{3}{2}}$:
$x^{\frac{3}{2}} = \frac{1}{27}$.
Чтобы найти $x$, возведем обе части уравнения в степень, обратную $\frac{3}{2}$, то есть в степень $\frac{2}{3}$:
$(x^{\frac{3}{2}})^{\frac{2}{3}} = (\frac{1}{27})^{\frac{2}{3}}$.
$x = (\frac{1}{3^3})^{\frac{2}{3}}$.
Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем:
$x = \frac{1}{3^{3 \cdot \frac{2}{3}}} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$.
Так как в показателе степени $-\frac{3}{2}$ знаменатель 2 (четное число), основание $x$ должно быть больше нуля. Найденный корень $x=\frac{1}{9}$ удовлетворяет этому условию.
Ответ: $x = \frac{1}{9}$.

2) Исходное уравнение: $(x-1)^{-\frac{2}{5}} = 100$.
Используя свойство степени с отрицательным показателем, перепишем уравнение:
$\frac{1}{(x-1)^{\frac{2}{5}}} = 100$.
Выразим $(x-1)^{\frac{2}{5}}$:
$(x-1)^{\frac{2}{5}} = \frac{1}{100}$.
Возведем обе части уравнения в степень $\frac{5}{2}$:
$((x-1)^{\frac{2}{5}})^{\frac{5}{2}} = (\frac{1}{100})^{\frac{5}{2}}$.
Левая часть преобразуется в $|x-1|$, так как $((x-1)^2)^{1/2} = |x-1|$. Вычислим правую часть:
$(\frac{1}{100})^{\frac{5}{2}} = (\sqrt{\frac{1}{100}})^5 = (\frac{1}{10})^5 = \frac{1}{100000} = 0.00001$.
Получаем уравнение с модулем:
$|x-1| = 0.00001$.
Это уравнение распадается на два случая:
1. $x-1 = 0.00001 \Rightarrow x_1 = 1 + 0.00001 = 1.00001$.
2. $x-1 = -0.00001 \Rightarrow x_2 = 1 - 0.00001 = 0.99999$.
Ответ: $x_1 = 1.00001, x_2 = 0.99999$.

3) Исходное уравнение: $(x-5)^{\frac{3}{7}} = 0$.
Степень выражения равна нулю тогда и только тогда, когда его основание равно нулю (при условии, что показатель степени не равен нулю и не является отрицательным). Показатель $\frac{3}{7}$ является положительным числом.
Следовательно, мы можем приравнять основание к нулю:
$x-5 = 0$.
Решая это простое линейное уравнение, находим $x$:
$x = 5$.
Ответ: $x = 5$.

10.19. Представьте данное выражение в виде разности квадратов и разложите его на множители (переменные принимают только неотрицательные значения):

1) $a - b;$

2) $a^3 - b^3;$

3) $x^{\frac{1}{2}} - 3;$

4) $x^{\frac{1}{3}} - y^{\frac{1}{7}}.$

1)

Чтобы представить выражение $a - b$ в виде разности квадратов, воспользуемся тем, что переменные $a$ и $b$ принимают неотрицательные значения. Это позволяет нам записать $a = (\sqrt{a})^2$ и $b = (\sqrt{b})^2$. Используя степени, это выглядит как $a = (a^{\frac{1}{2}})^2$ и $b = (b^{\frac{1}{2}})^2$.

Таким образом, выражение $a - b$ можно записать как разность квадратов: $a - b = (a^{\frac{1}{2}})^2 - (b^{\frac{1}{2}})^2$.

Теперь разложим полученное выражение на множители по формуле разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$: $(a^{\frac{1}{2}})^2 - (b^{\frac{1}{2}})^2 = (a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})$.

Ответ: $a - b = (a^{\frac{1}{2}})^2 - (b^{\frac{1}{2}})^2 = (a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})$.

2)

Представим выражение $a^3 - b^3$ в виде разности квадратов. Для этого запишем каждый член в виде квадрата некоторого выражения. Используя свойство степеней $(x^m)^n = x^{mn}$, получаем: $a^3 = (a^{\frac{3}{2}})^2$ и $b^3 = (b^{\frac{3}{2}})^2$.

Следовательно, данное выражение можно представить как разность квадратов: $a^3 - b^3 = (a^{\frac{3}{2}})^2 - (b^{\frac{3}{2}})^2$.

Применяем формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$: $(a^{\frac{3}{2}})^2 - (b^{\frac{3}{2}})^2 = (a^{\frac{3}{2}} - b^{\frac{3}{2}})(a^{\frac{3}{2}} + b^{\frac{3}{2}})$.

Ответ: $a^3 - b^3 = (a^{\frac{3}{2}})^2 - (b^{\frac{3}{2}})^2 = (a^{\frac{3}{2}} - b^{\frac{3}{2}})(a^{\frac{3}{2}} + b^{\frac{3}{2}})$.

3)

Рассмотрим выражение $x^{\frac{1}{2}} - 3$. По условию, переменная $x$ неотрицательна. Представим каждый член выражения в виде квадрата. $x^{\frac{1}{2}} = (x^{\frac{1}{4}})^2$, так как $(x^{\frac{1}{4}})^2 = x^{\frac{1}{4} \cdot 2} = x^{\frac{1}{2}}$. $3 = (\sqrt{3})^2$.

Тогда выражение принимает вид разности квадратов: $x^{\frac{1}{2}} - 3 = (x^{\frac{1}{4}})^2 - (\sqrt{3})^2$.

Разложим на множители по формуле разности квадратов: $(x^{\frac{1}{4}})^2 - (\sqrt{3})^2 = (x^{\frac{1}{4}} - \sqrt{3})(x^{\frac{1}{4}} + \sqrt{3})$.

Ответ: $x^{\frac{1}{2}} - 3 = (x^{\frac{1}{4}})^2 - (\sqrt{3})^2 = (x^{\frac{1}{4}} - \sqrt{3})(x^{\frac{1}{4}} + \sqrt{3})$.

4)

Рассмотрим выражение $x^{\frac{1}{3}} - y^{\frac{1}{7}}$. Переменные $x$ и $y$ неотрицательны. Представим каждый член в виде квадрата. Для этого показатель степени каждого члена нужно "разделить" на 2. $x^{\frac{1}{3}} = (x^{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}})^2 = (x^{\frac{1}{6}})^2$. $y^{\frac{1}{7}} = (y^{\frac{1}{7} \cdot \frac{1}{2}})^2 = (y^{\frac{1}{14}})^2$.

Таким образом, мы получаем разность квадратов: $x^{\frac{1}{3}} - y^{\frac{1}{7}} = (x^{\frac{1}{6}})^2 - (y^{\frac{1}{14}})^2$.

Применяя формулу разности квадратов, раскладываем на множители: $(x^{\frac{1}{6}})^2 - (y^{\frac{1}{14}})^2 = (x^{\frac{1}{6}} - y^{\frac{1}{14}})(x^{\frac{1}{6}} + y^{\frac{1}{14}})$.

Ответ: $x^{\frac{1}{3}} - y^{\frac{1}{7}} = (x^{\frac{1}{6}})^2 - (y^{\frac{1}{14}})^2 = (x^{\frac{1}{6}} - y^{\frac{1}{14}})(x^{\frac{1}{6}} + y^{\frac{1}{14}})$.

10.20. Разложите на множители, используя формулу разности квадратов (переменные принимают только неотрицательные значения):

1) $a^5 - b^5;$

2) $x^{\frac{1}{6}} - y^{\frac{1}{6}};$

3) $5 - c;$

4) $16x^{0,3} - 25y^{\frac{2}{9}}.$

1) $a^5 - b^5$

Чтобы разложить данное выражение на множители по формуле разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$, необходимо представить каждый член выражения в виде квадрата. Так как по условию переменные $a$ и $b$ принимают только неотрицательные значения, мы можем использовать дробные показатели степени.

Представим $a^5$ как квадрат некоторого выражения, используя свойство степени $(x^m)^n = x^{mn}$:

$a^5 = a^{\frac{5}{2} \cdot 2} = (a^{\frac{5}{2}})^2$

Аналогично для $b^5$:

$b^5 = b^{\frac{5}{2} \cdot 2} = (b^{\frac{5}{2}})^2$

Теперь исходное выражение можно записать в виде разности квадратов:

$a^5 - b^5 = (a^{\frac{5}{2}})^2 - (b^{\frac{5}{2}})^2$

Применим формулу разности квадратов:

$(a^{\frac{5}{2}} - b^{\frac{5}{2}})(a^{\frac{5}{2}} + b^{\frac{5}{2}})$

Ответ: $(a^{\frac{5}{2}} - b^{\frac{5}{2}})(a^{\frac{5}{2}} + b^{\frac{5}{2}})$.

2) $x^{\frac{1}{6}} - y^{\frac{1}{6}}$

Представим каждый член выражения в виде квадрата. Поскольку $x \ge 0$ и $y \ge 0$, это возможно.

Используем свойство степени: $x^{\frac{1}{6}} = x^{\frac{1}{12} \cdot 2} = (x^{\frac{1}{12}})^2$.

Аналогично для второго члена: $y^{\frac{1}{6}} = y^{\frac{1}{12} \cdot 2} = (y^{\frac{1}{12}})^2$.

Запишем выражение как разность квадратов:

$x^{\frac{1}{6}} - y^{\frac{1}{6}} = (x^{\frac{1}{12}})^2 - (y^{\frac{1}{12}})^2$

Применим формулу $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$:

$(x^{\frac{1}{12}} - y^{\frac{1}{12}})(x^{\frac{1}{12}} + y^{\frac{1}{12}})$

Ответ: $(x^{\frac{1}{12}} - y^{\frac{1}{12}})(x^{\frac{1}{12}} + y^{\frac{1}{12}})$.

3) $5 - c$

Для применения формулы разности квадратов представим 5 и $c$ (где $c \ge 0$) в виде квадратов, используя квадратные корни.

$5 = (\sqrt{5})^2$

$c = (\sqrt{c})^2$

Выражение $5 - c$ можно записать как:

$5 - c = (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{c})^2$

Применяем формулу разности квадратов:

$(\sqrt{5} - \sqrt{c})(\sqrt{5} + \sqrt{c})$

Ответ: $(\sqrt{5} - \sqrt{c})(\sqrt{5} + \sqrt{c})$.

4) $16x^{0.3} - 25y^{\frac{2}{9}}$

Представим каждый член этого выражения в виде квадрата. Переменные $x$ и $y$ неотрицательны.

Для первого члена: $16x^{0.3}$. Мы знаем, что $16 = 4^2$. Показатель степени $0.3$ можно представить как $2 \cdot 0.15$. Таким образом:

$16x^{0.3} = 4^2 \cdot x^{2 \cdot 0.15} = 4^2 \cdot (x^{0.15})^2 = (4x^{0.15})^2$

Для второго члена: $25y^{\frac{2}{9}}$. Мы знаем, что $25 = 5^2$. Показатель степени $\frac{2}{9}$ можно представить как $2 \cdot \frac{1}{9}$. Таким образом:

$25y^{\frac{2}{9}} = 5^2 \cdot y^{2 \cdot \frac{1}{9}} = 5^2 \cdot (y^{\frac{1}{9}})^2 = (5y^{\frac{1}{9}})^2$

Теперь исходное выражение является разностью квадратов:

$16x^{0.3} - 25y^{\frac{2}{9}} = (4x^{0.15})^2 - (5y^{\frac{1}{9}})^2$

Применяем формулу $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$:

$(4x^{0.15} - 5y^{\frac{1}{9}})(4x^{0.15} + 5y^{\frac{1}{9}})$

Ответ: $(4x^{0.15} - 5y^{\frac{1}{9}})(4x^{0.15} + 5y^{\frac{1}{9}})$.

10.21. Представьте данное выражение в виде суммы кубов и разложите его на множители (переменные принимают только неотрицательные значения):

1) $a + b$;

2) $a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{3}}$;

3) $a^{\frac{3}{2}} + 27$;

4) $a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}}.$

1) Для того чтобы представить выражение $a+b$ в виде суммы кубов, запишем каждое слагаемое как куб некоторого выражения. Так как переменные неотрицательны, мы можем использовать дробные степени:

$a = (a^{\frac{1}{3}})^3$ и $b = (b^{\frac{1}{3}})^3$.

Таким образом, выражение $a+b$ представляется в виде суммы кубов:

$a+b = (a^{\frac{1}{3}})^3 + (b^{\frac{1}{3}})^3$.

Далее, для разложения на множители применим формулу суммы кубов $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$, где $x = a^{\frac{1}{3}}$ и $y = b^{\frac{1}{3}}$:

$(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}})((a^{\frac{1}{3}})^2 - a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + (b^{\frac{1}{3}})^2) = (a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}})(a^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}})$.

Ответ: $a+b = (a^{\frac{1}{3}})^3 + (b^{\frac{1}{3}})^3 = (a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}})(a^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}})$.

2) Представим каждое слагаемое выражения $a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{3}}$ в виде куба, используя свойство степени $(x^m)^n = x^{mn}$:

$a^{\frac{1}{2}} = (a^{\frac{1}{2 \cdot 3}})^3 = (a^{\frac{1}{6}})^3$

$b^{\frac{1}{3}} = (b^{\frac{1}{3 \cdot 3}})^3 = (b^{\frac{1}{9}})^3$

Таким образом, получаем сумму кубов:

$a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{3}} = (a^{\frac{1}{6}})^3 + (b^{\frac{1}{9}})^3$.

Применим формулу разложения суммы кубов $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$, где $x = a^{\frac{1}{6}}$ и $y = b^{\frac{1}{9}}$:

$(a^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{1}{9}})((a^{\frac{1}{6}})^2 - a^{\frac{1}{6}}b^{\frac{1}{9}} + (b^{\frac{1}{9}})^2) = (a^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{1}{9}})(a^{\frac{2}{6}} - a^{\frac{1}{6}}b^{\frac{1}{9}} + b^{\frac{2}{9}}) = (a^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{1}{9}})(a^{\frac{1}{3}} - a^{\frac{1}{6}}b^{\frac{1}{9}} + b^{\frac{2}{9}})$.

Ответ: $a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{3}} = (a^{\frac{1}{6}})^3 + (b^{\frac{1}{9}})^3 = (a^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{1}{9}})(a^{\frac{1}{3}} - a^{\frac{1}{6}}b^{\frac{1}{9}} + b^{\frac{2}{9}})$.

3) Представим выражение $a^{\frac{3}{2}} + 27$ в виде суммы кубов:

$a^{\frac{3}{2}} = (a^{\frac{1}{2}})^3$

$27 = 3^3$

Получаем сумму кубов:

$a^{\frac{3}{2}} + 27 = (a^{\frac{1}{2}})^3 + 3^3$.

Разложим на множители по формуле $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$, где $x = a^{\frac{1}{2}}$ и $y = 3$:

$(a^{\frac{1}{2}} + 3)((a^{\frac{1}{2}})^2 - a^{\frac{1}{2}} \cdot 3 + 3^2) = (a^{\frac{1}{2}} + 3)(a - 3a^{\frac{1}{2}} + 9)$.

Ответ: $a^{\frac{3}{2}} + 27 = (a^{\frac{1}{2}})^3 + 3^3 = (a^{\frac{1}{2}} + 3)(a - 3a^{\frac{1}{2}} + 9)$.

4) Представим каждое слагаемое выражения $a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}}$ в виде куба:

$a^{\frac{2}{3}} = (a^{\frac{2}{3 \cdot 3}})^3 = (a^{\frac{2}{9}})^3$

$b^{\frac{2}{3}} = (b^{\frac{2}{3 \cdot 3}})^3 = (b^{\frac{2}{9}})^3$

Таким образом, получаем сумму кубов:

$a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}} = (a^{\frac{2}{9}})^3 + (b^{\frac{2}{9}})^3$.

Применим формулу разложения суммы кубов $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$, где $x = a^{\frac{2}{9}}$ и $y = b^{\frac{2}{9}}$:

$(a^{\frac{2}{9}} + b^{\frac{2}{9}})((a^{\frac{2}{9}})^2 - a^{\frac{2}{9}}b^{\frac{2}{9}} + (b^{\frac{2}{9}})^2) = (a^{\frac{2}{9}} + b^{\frac{2}{9}})(a^{\frac{4}{9}} - (ab)^{\frac{2}{9}} + b^{\frac{4}{9}})$.

Ответ: $a^{\frac{2}{3}} + b^{\frac{2}{3}} = (a^{\frac{2}{9}})^3 + (b^{\frac{2}{9}})^3 = (a^{\frac{2}{9}} + b^{\frac{2}{9}})(a^{\frac{4}{9}} - (ab)^{\frac{2}{9}} + b^{\frac{4}{9}})$.

10.22. Разложите на множители, используя формулу разности кубов (переменные принимают только неотрицательные значения):

1) $a - b;$ 2) $a^{1.5} - b^{1.5};$ 3) $m^{0.6} - 8n^{1.8};$ 4) $x^{\frac{6}{7}} - 6.$

Для решения данной задачи мы воспользуемся формулой разности кубов: $x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2)$. Условие о том, что переменные принимают только неотрицательные значения, позволяет нам извлекать корни любой степени.

Представим $a$ и $b$ как кубы некоторых выражений. Для этого воспользуемся свойством степеней: $a = (a^{\frac{1}{3}})^3$ и $b = (b^{\frac{1}{3}})^3$.
Исходное выражение принимает вид:
$a - b = (a^{\frac{1}{3}})^3 - (b^{\frac{1}{3}})^3$
Теперь применим формулу разности кубов, где в качестве $x$ выступает $a^{\frac{1}{3}}$, а в качестве $y$ выступает $b^{\frac{1}{3}}$:
$(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}) \cdot ((a^{\frac{1}{3}})^2 + a^{\frac{1}{3}} \cdot b^{\frac{1}{3}} + (b^{\frac{1}{3}})^2)$
Упростим вторую скобку, используя свойство $(x^m)^n = x^{mn}$:
$(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}})(a^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}})$
Ответ: $(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}})(a^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}})$.

Представим каждый член выражения в виде куба.
$a^{1.5} = a^{3 \cdot 0.5} = (a^{0.5})^3$
$b^{1.5} = b^{3 \cdot 0.5} = (b^{0.5})^3$
Таким образом, выражение можно переписать как:
$a^{1.5} - b^{1.5} = (a^{0.5})^3 - (b^{0.5})^3$
Применяем формулу разности кубов для $x = a^{0.5}$ и $y = b^{0.5}$:
$(a^{0.5} - b^{0.5})((a^{0.5})^2 + a^{0.5}b^{0.5} + (b^{0.5})^2)$
Упрощаем выражение во второй скобке:
$(a^{0.5} - b^{0.5})(a^1 + a^{0.5}b^{0.5} + b^1) = (a^{0.5} - b^{0.5})(a + a^{0.5}b^{0.5} + b)$
Ответ: $(a^{0.5} - b^{0.5})(a + a^{0.5}b^{0.5} + b)$.

Представим каждый член выражения в виде куба.
$m^{0.6} = m^{3 \cdot 0.2} = (m^{0.2})^3$
$8n^{1.8} = 2^3 \cdot n^{3 \cdot 0.6} = (2n^{0.6})^3$
Перепишем исходное выражение:
$m^{0.6} - 8n^{1.8} = (m^{0.2})^3 - (2n^{0.6})^3$
Применяем формулу разности кубов для $x = m^{0.2}$ и $y = 2n^{0.6}$:
$(m^{0.2} - 2n^{0.6})((m^{0.2})^2 + m^{0.2} \cdot 2n^{0.6} + (2n^{0.6})^2)$
Упрощаем выражение во второй скобке:
$(m^{0.2} - 2n^{0.6})(m^{0.4} + 2m^{0.2}n^{0.6} + 4n^{1.2})$
Ответ: $(m^{0.2} - 2n^{0.6})(m^{0.4} + 2m^{0.2}n^{0.6} + 4n^{1.2})$.

Представим каждый член выражения в виде куба.
$x^{\frac{6}{7}} = x^{3 \cdot \frac{2}{7}} = (x^{\frac{2}{7}})^3$
$6 = (\sqrt[3]{6})^3 = (6^{\frac{1}{3}})^3$
Перепишем исходное выражение:
$x^{\frac{6}{7}} - 6 = (x^{\frac{2}{7}})^3 - (6^{\frac{1}{3}})^3$
Применяем формулу разности кубов для $x = x^{\frac{2}{7}}$ и $y = 6^{\frac{1}{3}}$:
$(x^{\frac{2}{7}} - 6^{\frac{1}{3}})((x^{\frac{2}{7}})^2 + x^{\frac{2}{7}} \cdot 6^{\frac{1}{3}} + (6^{\frac{1}{3}})^2)$
Упрощаем выражение во второй скобке:
$(x^{\frac{2}{7}} - 6^{\frac{1}{3}})(x^{\frac{4}{7}} + 6^{\frac{1}{3}}x^{\frac{2}{7}} + 6^{\frac{2}{3}})$
Ответ: $(x^{\frac{2}{7}} - 6^{\frac{1}{3}})(x^{\frac{4}{7}} + 6^{\frac{1}{3}}x^{\frac{2}{7}} + 6^{\frac{2}{3}})$.

10.23. Сократите дробь:

1) $ \frac{a - 5a^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}} - 5} $;

2) $ \frac{a - 4b}{a^{0.5} + 2b^{0.5}} $;

3) $ \frac{a - b}{ab^{\frac{1}{2}} + a^{\frac{1}{2}}b} $;

4) $ \frac{a + 2a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b}{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}} $;

5) $ \frac{4c^{\frac{2}{3}} - 12c^{\frac{1}{3}}d^{\frac{1}{3}} + 9d^{\frac{2}{3}}}{2c^{\frac{1}{3}} - 3d^{\frac{1}{3}}} $;

6) $ \frac{a + b}{a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}} $;

7) $ \frac{m^{\frac{1}{2}} - n^{\frac{1}{2}}}{m^{\frac{3}{2}} - n^{\frac{3}{2}}} $;

8) $ \frac{a^{\frac{3}{4}} + 7a^{\frac{1}{2}}}{a - 49a^{\frac{1}{2}}} $;

9) $ \frac{30^{\frac{1}{5}} - 6^{\frac{1}{5}}}{10^{\frac{1}{5}} - 2^{\frac{1}{5}}} $.

1)

Исходная дробь: $ \frac{a - 5a^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}} - 5} $.

В числителе вынесем общий множитель $ a^{\frac{1}{2}} $ за скобки. Учитывая, что $ a = (a^{\frac{1}{2}})^2 $, получаем:

$ a - 5a^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{2}} \cdot a^{\frac{1}{2}} - 5a^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}} - 5) $.

Подставим это выражение обратно в дробь:

$ \frac{a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}} - 5)}{a^{\frac{1}{2}} - 5} $.

Сокращаем одинаковые множители $ (a^{\frac{1}{2}} - 5) $ в числителе и знаменателе.

Ответ: $ a^{\frac{1}{2}} $.

2)

Исходная дробь: $ \frac{a - 4b}{a^{0,5} + 2b^{0,5}} $.

Заметим, что $ a^{0,5} = a^{\frac{1}{2}} $ и $ b^{0,5} = b^{\frac{1}{2}} $. Числитель $ a - 4b $ можно представить как разность квадратов, так как $ a = (a^{\frac{1}{2}})^2 $ и $ 4b = (2b^{\frac{1}{2}})^2 $.

Применим формулу разности квадратов $ x^2 - y^2 = (x-y)(x+y) $ к числителю:

$ a - 4b = (a^{\frac{1}{2}})^2 - (2b^{\frac{1}{2}})^2 = (a^{\frac{1}{2}} - 2b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} + 2b^{\frac{1}{2}}) $.

Подставим разложенный числитель в дробь:

$ \frac{(a^{\frac{1}{2}} - 2b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} + 2b^{\frac{1}{2}})}{a^{\frac{1}{2}} + 2b^{\frac{1}{2}}} $.

Сокращаем общий множитель $ (a^{\frac{1}{2}} + 2b^{\frac{1}{2}}) $.

Ответ: $ a^{\frac{1}{2}} - 2b^{\frac{1}{2}} $.

3)

Исходная дробь: $ \frac{a - b}{ab^{\frac{1}{2}} + a^{\frac{1}{2}}b} $.

Числитель $ a - b $ разложим как разность квадратов: $ a - b = (a^{\frac{1}{2}})^2 - (b^{\frac{1}{2}})^2 = (a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}) $.

В знаменателе вынесем общий множитель $ a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} $ за скобки:

$ ab^{\frac{1}{2}} + a^{\frac{1}{2}}b = a^{\frac{1}{2}}a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}) $.

Теперь дробь имеет вид:

$ \frac{(a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})}{a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})} $.

Сокращаем общий множитель $ (a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}) $.

Ответ: $ \frac{a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}} $.

4)

Исходная дробь: $ \frac{a + 2a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b}{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}} $.

Числитель $ a + 2a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b $ является полным квадратом суммы. Учитывая, что $ a = (a^{\frac{1}{2}})^2 $ и $ b = (b^{\frac{1}{2}})^2 $, применим формулу $ x^2+2xy+y^2=(x+y)^2 $:

$ a + 2a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}} + b = (a^{\frac{1}{2}})^2 + 2(a^{\frac{1}{2}})(b^{\frac{1}{2}}) + (b^{\frac{1}{2}})^2 = (a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})^2 $.

Подставим в дробь:

$ \frac{(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})^2}{a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}} $.

Сокращаем дробь на $ (a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}}) $.

Ответ: $ a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}} $.

5)

Исходная дробь: $ \frac{4c^{\frac{2}{3}} - 12c^{\frac{1}{3}}d^{\frac{1}{3}} + 9d^{\frac{2}{3}}}{2c^{\frac{1}{3}} - 3d^{\frac{1}{3}}} $.

Числитель представляет собой полный квадрат разности. Обозначим $ x = 2c^{\frac{1}{3}} $ и $ y = 3d^{\frac{1}{3}} $. Тогда $ x^2 = 4c^{\frac{2}{3}} $, $ y^2 = 9d^{\frac{2}{3}} $ и $ 2xy = 2(2c^{\frac{1}{3}})(3d^{\frac{1}{3}}) = 12c^{\frac{1}{3}}d^{\frac{1}{3}} $.

Используя формулу $ (x-y)^2=x^2-2xy+y^2 $, получаем:

$ 4c^{\frac{2}{3}} - 12c^{\frac{1}{3}}d^{\frac{1}{3}} + 9d^{\frac{2}{3}} = (2c^{\frac{1}{3}} - 3d^{\frac{1}{3}})^2 $.

Подставим в дробь:

$ \frac{(2c^{\frac{1}{3}} - 3d^{\frac{1}{3}})^2}{2c^{\frac{1}{3}} - 3d^{\frac{1}{3}}} $.

Сокращаем дробь на $ (2c^{\frac{1}{3}} - 3d^{\frac{1}{3}}) $.

Ответ: $ 2c^{\frac{1}{3}} - 3d^{\frac{1}{3}} $.

6)

Исходная дробь: $ \frac{a + b}{a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}} $.

Числитель $ a + b $ можно представить как сумму кубов: $ a = (a^{\frac{1}{3}})^3 $ и $ b = (b^{\frac{1}{3}})^3 $.

Применим формулу суммы кубов $ x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2) $:

$ a + b = (a^{\frac{1}{3}})^3 + (b^{\frac{1}{3}})^3 = (a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}})((a^{\frac{1}{3}})^2 - a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + (b^{\frac{1}{3}})^2) = (a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}})(a^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}) $.

Подставим в дробь:

$ \frac{(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}})(a^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}})}{a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}} $.

Сокращаем общий множитель $ (a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}}) $.

Ответ: $ a^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}} $.

7)

Исходная дробь: $ \frac{m^{\frac{1}{2}} - n^{\frac{1}{2}}}{m^{\frac{3}{2}} - n^{\frac{3}{2}}} $.

Знаменатель $ m^{\frac{3}{2}} - n^{\frac{3}{2}} $ можно представить как разность кубов: $ m^{\frac{3}{2}} = (m^{\frac{1}{2}})^3 $ и $ n^{\frac{3}{2}} = (n^{\frac{1}{2}})^3 $.

Применим формулу разности кубов $ x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + xy + y^2) $:

$ m^{\frac{3}{2}} - n^{\frac{3}{2}} = (m^{\frac{1}{2}} - n^{\frac{1}{2}})((m^{\frac{1}{2}})^2 + m^{\frac{1}{2}}n^{\frac{1}{2}} + (n^{\frac{1}{2}})^2) = (m^{\frac{1}{2}} - n^{\frac{1}{2}})(m + m^{\frac{1}{2}}n^{\frac{1}{2}} + n) $.

Подставим в дробь:

$ \frac{m^{\frac{1}{2}} - n^{\frac{1}{2}}}{(m^{\frac{1}{2}} - n^{\frac{1}{2}})(m + m^{\frac{1}{2}}n^{\frac{1}{2}} + n)} $.

Сокращаем общий множитель $ (m^{\frac{1}{2}} - n^{\frac{1}{2}}) $.

Ответ: $ \frac{1}{m + m^{\frac{1}{2}}n^{\frac{1}{2}} + n} $.

8)

Исходная дробь: $ \frac{a^{\frac{3}{4}} + 7a^{\frac{1}{2}}}{a - 49a^{\frac{1}{2}}} $.

В числителе вынесем за скобки $ a^{\frac{1}{2}} $: $ a^{\frac{3}{4}} + 7a^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{2}{4}} \cdot a^{\frac{1}{4}} + 7a^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{4}} + 7) $.

В знаменателе вынесем за скобки $ a^{\frac{1}{2}} $: $ a - 49a^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{2}} \cdot a^{\frac{1}{2}} - 49a^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}} - 49) $.

Дробь принимает вид: $ \frac{a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{4}} + 7)}{a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}} - 49)} $.

Сокращаем $ a^{\frac{1}{2}} $: $ \frac{a^{\frac{1}{4}} + 7}{a^{\frac{1}{2}} - 49} $.

Знаменатель $ a^{\frac{1}{2}} - 49 $ является разностью квадратов: $ (a^{\frac{1}{4}})^2 - 7^2 = (a^{\frac{1}{4}} - 7)(a^{\frac{1}{4}} + 7) $.

Подставляем в дробь: $ \frac{a^{\frac{1}{4}} + 7}{(a^{\frac{1}{4}} - 7)(a^{\frac{1}{4}} + 7)} $.

Сокращаем общий множитель $ (a^{\frac{1}{4}} + 7) $.

Ответ: $ \frac{1}{a^{\frac{1}{4}} - 7} $.

9)

Исходная дробь: $ \frac{30^{\frac{1}{5}} - 6^{\frac{1}{5}}}{10^{\frac{1}{5}} - 2^{\frac{1}{5}}} $.

Разложим числа под корнем на множители. В числителе: $ 30 = 5 \cdot 6 $.

$ 30^{\frac{1}{5}} - 6^{\frac{1}{5}} = (5 \cdot 6)^{\frac{1}{5}} - 6^{\frac{1}{5}} = 5^{\frac{1}{5}} \cdot 6^{\frac{1}{5}} - 6^{\frac{1}{5}} = 6^{\frac{1}{5}}(5^{\frac{1}{5}} - 1) $.

В знаменателе: $ 10 = 5 \cdot 2 $.

$ 10^{\frac{1}{5}} - 2^{\frac{1}{5}} = (5 \cdot 2)^{\frac{1}{5}} - 2^{\frac{1}{5}} = 5^{\frac{1}{5}} \cdot 2^{\frac{1}{5}} - 2^{\frac{1}{5}} = 2^{\frac{1}{5}}(5^{\frac{1}{5}} - 1) $.

Подставим эти выражения в дробь:

$ \frac{6^{\frac{1}{5}}(5^{\frac{1}{5}} - 1)}{2^{\frac{1}{5}}(5^{\frac{1}{5}} - 1)} $.

Сокращаем общий множитель $ (5^{\frac{1}{5}} - 1) $:

$ \frac{6^{\frac{1}{5}}}{2^{\frac{1}{5}}} $.

Используем свойство степеней $ \frac{x^n}{y^n} = (\frac{x}{y})^n $:

$ (\frac{6}{2})^{\frac{1}{5}} = 3^{\frac{1}{5}} $.

Ответ: $ 3^{\frac{1}{5}} $.

10.24. Сократите дробь:

1) $\frac{a + 2a^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{2}{3}} + 2}$;

2) $\frac{m^{\frac{5}{4}}n^{\frac{1}{4}} - m^{\frac{1}{4}}n}{m^{\frac{5}{4}}n^{\frac{5}{4}}}$;

3) $\frac{a - b^2}{a - a^{\frac{1}{2}}b}$;

4) $\frac{a - b}{a^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}}$;

5) $\frac{a^{0.5} - b^{0.5}}{a - b}$;

6) $\frac{x^{3.5}y^{2.5} - x^{2.5}y^{3.5}}{x + 2x^{0.5}y^{0.5} + y}$;

7) $\frac{a - 125}{a^{\frac{2}{3}} - 25}$;

8) $\frac{m^{\frac{7}{6}} - 36m^{\frac{5}{6}}}{m^{\frac{1}{2}} - 6m^{\frac{1}{3}}}$;

9) $\frac{24^{\frac{1}{4}} - 8^{\frac{1}{4}}}{6^{\frac{1}{4}} - 2^{\frac{1}{4}}}$.

1)

Рассмотрим дробь $\frac{a + 2a^{\frac{1}{3}}}{a^{\frac{2}{3}} + 2}$.

В числителе вынесем за скобки общий множитель $a^{\frac{1}{3}}$, учитывая, что $a = a^1 = a^{\frac{1}{3}} \cdot a^{\frac{2}{3}}$:
$a + 2a^{\frac{1}{3}} = a^{\frac{1}{3}}(a^{\frac{2}{3}} + 2)$.

Подставим полученное выражение обратно в дробь:
$\frac{a^{\frac{1}{3}}(a^{\frac{2}{3}} + 2)}{a^{\frac{2}{3}} + 2}$.

Сократим общий множитель $(a^{\frac{2}{3}} + 2)$ в числителе и знаменателе.

Ответ: $a^{\frac{1}{3}}$

2)

Рассмотрим дробь $\frac{m^{\frac{5}{4}}n^{\frac{1}{4}} - m^{\frac{1}{4}}n^{\frac{5}{4}}}{m^{\frac{5}{4}}n^{\frac{5}{4}}}$.

В числителе вынесем за скобки общий множитель $m^{\frac{1}{4}}n^{\frac{1}{4}}$:
$m^{\frac{5}{4}}n^{\frac{1}{4}} - m^{\frac{1}{4}}n^{\frac{5}{4}} = m^{\frac{1}{4}}n^{\frac{1}{4}}(m^{\frac{5}{4}-\frac{1}{4}}n^{\frac{1}{4}-\frac{1}{4}} - m^{\frac{1}{4}-\frac{1}{4}}n^{\frac{5}{4}-\frac{1}{4}}) = m^{\frac{1}{4}}n^{\frac{1}{4}}(m - n)$.

Подставим в дробь:
$\frac{m^{\frac{1}{4}}n^{\frac{1}{4}}(m - n)}{m^{\frac{5}{4}}n^{\frac{5}{4}}}$.

Сократим степени $m$ и $n$:
$m^{\frac{1}{4}-\frac{5}{4}}n^{\frac{1}{4}-\frac{5}{4}}(m - n) = m^{-\frac{4}{4}}n^{-\frac{4}{4}}(m-n) = m^{-1}n^{-1}(m-n)$.

Ответ: $\frac{m-n}{mn}$

3)

Рассмотрим дробь $\frac{a - b^2}{a - a^{\frac{1}{2}}b}$.

Представим числитель как разность квадратов, учитывая, что $a = (a^{\frac{1}{2}})^2$:
$a - b^2 = (a^{\frac{1}{2}})^2 - b^2 = (a^{\frac{1}{2}} - b)(a^{\frac{1}{2}} + b)$.

В знаменателе вынесем за скобки общий множитель $a^{\frac{1}{2}}$:
$a - a^{\frac{1}{2}}b = a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}} - b)$.

Подставим полученные выражения в дробь:
$\frac{(a^{\frac{1}{2}} - b)(a^{\frac{1}{2}} + b)}{a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}} - b)}$.

Сократим общий множитель $(a^{\frac{1}{2}} - b)$.

Ответ: $\frac{a^{\frac{1}{2}} + b}{a^{\frac{1}{2}}}$

4)

Рассмотрим дробь $\frac{a - b}{a^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}}$.

Числитель является разностью кубов. Представим $a = (a^{\frac{1}{3}})^3$ и $b = (b^{\frac{1}{3}})^3$.
Используем формулу разности кубов $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)$:
$a - b = (a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}})( (a^{\frac{1}{3}})^2 + a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + (b^{\frac{1}{3}})^2 ) = (a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}})(a^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}})$.

Подставим в дробь:
$\frac{(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}})(a^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}})}{a^{\frac{2}{3}} + a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}}$.

Знаменатель является неполным квадратом суммы, который сокращается с соответствующим множителем в числителе.

Ответ: $a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}$

5)

Рассмотрим дробь $\frac{a^{0.5} - b^{0.5}}{a - b}$.

Знаменатель является разностью квадратов. Представим $a = (a^{0.5})^2$ и $b = (b^{0.5})^2$.
Используем формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:
$a - b = (a^{0.5} - b^{0.5})(a^{0.5} + b^{0.5})$.

Подставим в дробь:
$\frac{a^{0.5} - b^{0.5}}{(a^{0.5} - b^{0.5})(a^{0.5} + b^{0.5})}$.

Сократим общий множитель $(a^{0.5} - b^{0.5})$.

Ответ: $\frac{1}{a^{0.5} + b^{0.5}}$

6)

Рассмотрим дробь $\frac{x^{3.5}y^{2.5} - x^{2.5}y^{3.5}}{x + 2x^{0.5}y^{0.5} + y}$.

В числителе вынесем за скобки общий множитель $x^{2.5}y^{2.5}$:
$x^{3.5}y^{2.5} - x^{2.5}y^{3.5} = x^{2.5}y^{2.5}(x - y)$.

Знаменатель является полным квадратом суммы: $x + 2x^{0.5}y^{0.5} + y = (x^{0.5} + y^{0.5})^2$.

Разложим множитель $(x-y)$ в числителе как разность квадратов: $x - y = (x^{0.5} - y^{0.5})(x^{0.5} + y^{0.5})$.

Подставим все в дробь:
$\frac{x^{2.5}y^{2.5}(x^{0.5} - y^{0.5})(x^{0.5} + y^{0.5})}{(x^{0.5} + y^{0.5})^2}$.

Сократим общий множитель $(x^{0.5} + y^{0.5})$.

Ответ: $\frac{x^{2.5}y^{2.5}(x^{0.5} - y^{0.5})}{x^{0.5} + y^{0.5}}$

7)

Рассмотрим дробь $\frac{a - 125}{a^{\frac{2}{3}} - 25}$.

Представим числитель как разность кубов: $a - 125 = (a^{\frac{1}{3}})^3 - 5^3 = (a^{\frac{1}{3}}-5)(a^{\frac{2}{3}} + 5a^{\frac{1}{3}} + 25)$.

Представим знаменатель как разность квадратов: $a^{\frac{2}{3}} - 25 = (a^{\frac{1}{3}})^2 - 5^2 = (a^{\frac{1}{3}}-5)(a^{\frac{1}{3}}+5)$.

Подставим в дробь:
$\frac{(a^{\frac{1}{3}}-5)(a^{\frac{2}{3}} + 5a^{\frac{1}{3}} + 25)}{(a^{\frac{1}{3}}-5)(a^{\frac{1}{3}}+5)}$.

Сократим общий множитель $(a^{\frac{1}{3}}-5)$.

Ответ: $\frac{a^{\frac{2}{3}} + 5a^{\frac{1}{3}} + 25}{a^{\frac{1}{3}} + 5}$

8)

Рассмотрим дробь $\frac{m^{\frac{7}{6}} - 36m^{\frac{5}{6}}}{m^{\frac{1}{2}} - 6m^{\frac{1}{3}}}$.

В числителе вынесем за скобки общий множитель $m^{\frac{5}{6}}$:
$m^{\frac{5}{6}}(m^{\frac{7}{6}-\frac{5}{6}} - 36) = m^{\frac{5}{6}}(m^{\frac{2}{6}} - 36) = m^{\frac{5}{6}}(m^{\frac{1}{3}} - 36)$.
Разложим $(m^{\frac{1}{3}} - 36)$ как разность квадратов: $(m^{\frac{1}{6}})^2 - 6^2 = (m^{\frac{1}{6}}-6)(m^{\frac{1}{6}}+6)$.
Числитель равен $m^{\frac{5}{6}}(m^{\frac{1}{6}}-6)(m^{\frac{1}{6}}+6)$.

В знаменателе вынесем за скобки общий множитель $m^{\frac{1}{3}}$ (наименьшая степень, $1/3=2/6 < 1/2=3/6$):
$m^{\frac{1}{3}}(m^{\frac{1}{2}-\frac{1}{3}} - 6) = m^{\frac{1}{3}}(m^{\frac{3-2}{6}} - 6) = m^{\frac{1}{3}}(m^{\frac{1}{6}} - 6)$.

Подставим в дробь:
$\frac{m^{\frac{5}{6}}(m^{\frac{1}{6}}-6)(m^{\frac{1}{6}}+6)}{m^{\frac{1}{3}}(m^{\frac{1}{6}} - 6)}$.

Сократим общий множитель $(m^{\frac{1}{6}}-6)$ и степени $m$: $\frac{m^{\frac{5}{6}}}{m^{\frac{1}{3}}} = m^{\frac{5}{6}-\frac{2}{6}} = m^{\frac{3}{6}} = m^{\frac{1}{2}}$.

Ответ: $m^{\frac{1}{2}}(m^{\frac{1}{6}} + 6)$

9)

Рассмотрим дробь $\frac{24^{\frac{1}{4}} - 8^{\frac{1}{4}}}{6^{\frac{1}{4}} - 2^{\frac{1}{4}}}$.

Разложим числа под корнем на множители.
В числителе: $24^{\frac{1}{4}} - 8^{\frac{1}{4}} = (3 \cdot 8)^{\frac{1}{4}} - 8^{\frac{1}{4}} = 3^{\frac{1}{4}} \cdot 8^{\frac{1}{4}} - 8^{\frac{1}{4}} = 8^{\frac{1}{4}}(3^{\frac{1}{4}} - 1)$.

В знаменателе: $6^{\frac{1}{4}} - 2^{\frac{1}{4}} = (3 \cdot 2)^{\frac{1}{4}} - 2^{\frac{1}{4}} = 3^{\frac{1}{4}} \cdot 2^{\frac{1}{4}} - 2^{\frac{1}{4}} = 2^{\frac{1}{4}}(3^{\frac{1}{4}} - 1)$.

Подставим в дробь:
$\frac{8^{\frac{1}{4}}(3^{\frac{1}{4}} - 1)}{2^{\frac{1}{4}}(3^{\frac{1}{4}} - 1)}$.

Сократим общий множитель $(3^{\frac{1}{4}} - 1)$. Остается $\frac{8^{\frac{1}{4}}}{2^{\frac{1}{4}}} = (\frac{8}{2})^{\frac{1}{4}} = 4^{\frac{1}{4}}$.

Упростим результат: $4^{\frac{1}{4}} = (2^2)^{\frac{1}{4}} = 2^{2 \cdot \frac{1}{4}} = 2^{\frac{1}{2}} = \sqrt{2}$.

Ответ: $\sqrt{2}$