Номер 10.17, страница 88 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

10.17. Решите уравнение:

1) $x^{-\frac{2}{3}} = 0,04;$

2) $(x - 2)^{\frac{5}{2}} = 32;$

3) $(x^2 - 2x)^{\frac{1}{4}} = -1.$

1) $x^{-\frac{2}{3}} = 0,04$
Определим область допустимых значений (ОДЗ). Поскольку показатель степени $-\frac{2}{3}$ имеет нечетный знаменатель, основание степени $x$ может быть любым действительным числом, кроме нуля (так как показатель отрицательный). Итак, ОДЗ: $x \neq 0$.
Преобразуем уравнение. Представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $0,04 = \frac{4}{100} = \frac{1}{25}$.
Используем свойство степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:
$x^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$
Теперь уравнение выглядит так:
$\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{25}$
Отсюда следует, что:
$x^{\frac{2}{3}} = 25$
По определению степени с дробным показателем $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m} = (\sqrt[n]{a})^m$. В нашем случае:
$(\sqrt[3]{x})^2 = 25$
Это уравнение распадается на два случая:
1. $\sqrt[3]{x} = 5$. Возведя обе части в куб, находим $x = 5^3 = 125$.
2. $\sqrt[3]{x} = -5$. Возведя обе части в куб, находим $x = (-5)^3 = -125$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 0$).
Ответ: $125; -125$.

2) $(x - 2)^{\frac{5}{2}} = 32$
Определим область допустимых значений (ОДЗ). Показатель степени $\frac{5}{2}$ имеет четный знаменатель (2), поэтому основание степени должно быть неотрицательным:
$x - 2 \ge 0 \implies x \ge 2$.
Теперь решим уравнение. Чтобы найти $x-2$, возведем обе части уравнения в степень, обратную данной, то есть в степень $\frac{2}{5}$:
$((x-2)^{\frac{5}{2}})^{\frac{2}{5}} = 32^{\frac{2}{5}}$
$x-2 = (\sqrt[5]{32})^2$
Так как $\sqrt[5]{32} = 2$, получаем:
$x-2 = 2^2$
$x-2 = 4$
$x = 6$
Найденный корень $x=6$ удовлетворяет условию ОДЗ ($x \ge 2$).
Ответ: $6$.

3) $(x^2 - 2x)^{\frac{1}{4}} = -1$
Определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражение $a^{\frac{1}{4}}$ (арифметический корень четвертой степени $\sqrt[4]{a}$) определено только для неотрицательных значений основания $a$. Следовательно:
$x^2 - 2x \ge 0$.
По определению, значение арифметического корня четной степени всегда неотрицательно. То есть, левая часть уравнения $(x^2 - 2x)^{\frac{1}{4}}$ для любого $x$ из ОДЗ принимает только неотрицательные значения:
$(x^2 - 2x)^{\frac{1}{4}} \ge 0$
Правая часть уравнения равна $-1$.
Таким образом, мы приходим к противоречию: неотрицательное число не может быть равно отрицательному числу ($-1$).
Следовательно, данное уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: корней нет.