Номер 10.14, страница 87 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

10.14. Раскройте скобки:

1) $(5a^{0{,}4} + b^{0{,}2})(3a^{0{,}4} - 4b^{0{,}2});$

2) $(m^{0{,}5} + n^{0{,}5})(m^{0{,}5} - n^{0{,}5});$

3) $(a^{\frac{1}{3}} - 5b^{-\frac{1}{4}})(a^{\frac{1}{3}} + 5b^{-\frac{1}{4}});$

4) $(m^{\frac{1}{2}} - n^{\frac{1}{2}})^2;$

5) $(b^{\frac{4}{3}} - b^{-\frac{2}{3}})^2;$

6) $(x^{\frac{1}{6}} + 2)(x^{\frac{1}{3}} - 2x^{\frac{1}{6}} + 4);;$

7) $(y^{1{,}5} - 4y^{0{,}5})^2 + 8y^2;$

8) $(a^{\frac{1}{8}} - 1)(a^{\frac{1}{4}} + 1)(a^{\frac{1}{8}} + 1).$

1) Чтобы раскрыть скобки в выражении $(5a^{0.4} + b^{0.2})(3a^{0.4} - 4b^{0.2})$, воспользуемся правилом умножения многочленов (каждый член первого многочлена умножается на каждый член второго):
$(5a^{0.4} + b^{0.2})(3a^{0.4} - 4b^{0.2}) = 5a^{0.4} \cdot 3a^{0.4} + 5a^{0.4} \cdot (-4b^{0.2}) + b^{0.2} \cdot 3a^{0.4} + b^{0.2} \cdot (-4b^{0.2})$
При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются:
$15a^{0.4+0.4} - 20a^{0.4}b^{0.2} + 3a^{0.4}b^{0.2} - 4b^{0.2+0.2} = 15a^{0.8} - 20a^{0.4}b^{0.2} + 3a^{0.4}b^{0.2} - 4b^{0.4}$
Приведем подобные слагаемые:
$15a^{0.8} - 17a^{0.4}b^{0.2} - 4b^{0.4}$
Ответ: $15a^{0.8} - 17a^{0.4}b^{0.2} - 4b^{0.4}$.

2) Данное выражение является произведением суммы и разности двух выражений, что соответствует формуле сокращенного умножения "разность квадратов": $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$.
В нашем случае $x = m^{0.5}$ и $y = n^{0.5}$.
$(m^{0.5} + n^{0.5})(m^{0.5} - n^{0.5}) = (m^{0.5})^2 - (n^{0.5})^2$
При возведении степени в степень показатели перемножаются:
$m^{0.5 \cdot 2} - n^{0.5 \cdot 2} = m^1 - n^1 = m - n$.
Ответ: $m - n$.

3) Здесь также применяется формула разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$.
Пусть $x = a^{\frac{1}{3}}$ и $y = 5b^{-\frac{1}{4}}$.
$(a^{\frac{1}{3}} - 5b^{-\frac{1}{4}})(a^{\frac{1}{3}} + 5b^{-\frac{1}{4}}) = (a^{\frac{1}{3}})^2 - (5b^{-\frac{1}{4}})^2 = a^{\frac{1}{3} \cdot 2} - 5^2 \cdot b^{-\frac{1}{4} \cdot 2} = a^{\frac{2}{3}} - 25b^{-\frac{2}{4}} = a^{\frac{2}{3}} - 25b^{-\frac{1}{2}}$.
Ответ: $a^{\frac{2}{3}} - 25b^{-\frac{1}{2}}$.

4) Для раскрытия скобок используем формулу квадрата разности: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
В данном случае $x = m^{\frac{1}{2}}$ и $y = n^{\frac{1}{2}}$.
$(m^{\frac{1}{2}} - n^{\frac{1}{2}})^2 = (m^{\frac{1}{2}})^2 - 2 \cdot m^{\frac{1}{2}} \cdot n^{\frac{1}{2}} + (n^{\frac{1}{2}})^2 = m^{1} - 2(mn)^{\frac{1}{2}} + n^{1} = m - 2m^{\frac{1}{2}}n^{\frac{1}{2}} + n$.
Ответ: $m - 2m^{\frac{1}{2}}n^{\frac{1}{2}} + n$.

5) Применяем формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.
Здесь $x = b^{\frac{4}{3}}$ и $y = b^{-\frac{2}{3}}$.
$(b^{\frac{4}{3}} - b^{-\frac{2}{3}})^2 = (b^{\frac{4}{3}})^2 - 2 \cdot b^{\frac{4}{3}} \cdot b^{-\frac{2}{3}} + (b^{-\frac{2}{3}})^2 = b^{\frac{4}{3} \cdot 2} - 2b^{\frac{4}{3} + (-\frac{2}{3})} + b^{-\frac{2}{3} \cdot 2} = b^{\frac{8}{3}} - 2b^{\frac{2}{3}} + b^{-\frac{4}{3}}$.
Ответ: $b^{\frac{8}{3}} - 2b^{\frac{2}{3}} + b^{-\frac{4}{3}}$.

6) Это выражение соответствует формуле суммы кубов: $(x+y)(x^2 - xy + y^2) = x^3 + y^3$.
Определим $x$ и $y$. Пусть $x = x^{\frac{1}{6}}$ и $y = 2$.
Проверим, соответствует ли второй множитель $(x^{\frac{1}{3}} - 2x^{\frac{1}{6}} + 4)$ части формулы $(x^2 - xy + y^2)$:
$x^2 = (x^{\frac{1}{6}})^2 = x^{\frac{2}{6}} = x^{\frac{1}{3}}$.
$xy = x^{\frac{1}{6}} \cdot 2 = 2x^{\frac{1}{6}}$.
$y^2 = 2^2 = 4$.
Второй множитель действительно равен $x^2 - xy + y^2$.
Следовательно, результат равен $x^3 + y^3$:
$(x^{\frac{1}{6}})^3 + 2^3 = x^{\frac{3}{6}} + 8 = x^{\frac{1}{2}} + 8$.
Ответ: $x^{\frac{1}{2}} + 8$.

7) Сначала раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, а затем приведем подобные слагаемые.
В выражении $(y^{1.5} - 4y^{0.5})^2$ пусть $a = y^{1.5}$ и $b = 4y^{0.5}$.
$(y^{1.5} - 4y^{0.5})^2 = (y^{1.5})^2 - 2 \cdot y^{1.5} \cdot 4y^{0.5} + (4y^{0.5})^2 = y^{1.5 \cdot 2} - 8y^{1.5+0.5} + 16y^{0.5 \cdot 2} = y^3 - 8y^2 + 16y$.
Теперь подставим это в исходное выражение:
$(y^3 - 8y^2 + 16y) + 8y^2$.
Приведем подобные слагаемые: $y^3 - 8y^2 + 8y^2 + 16y = y^3 + 16y$.
Ответ: $y^3 + 16y$.

8) Для решения этого примера удобно переставить множители и дважды применить формулу разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$.
Исходное выражение: $(a^{\frac{1}{8}} - 1)(a^{\frac{1}{4}} + 1)(a^{\frac{1}{8}} + 1)$.
Сгруппируем первый и третий множители: $[(a^{\frac{1}{8}} - 1)(a^{\frac{1}{8}} + 1)](a^{\frac{1}{4}} + 1)$.
Применим формулу разности квадратов к выражению в квадратных скобках, где $x = a^{\frac{1}{8}}$ и $y=1$:
$(a^{\frac{1}{8}})^2 - 1^2 = a^{\frac{2}{8}} - 1 = a^{\frac{1}{4}} - 1$.
Теперь выражение приняло вид: $(a^{\frac{1}{4}} - 1)(a^{\frac{1}{4}} + 1)$.
Снова применяем формулу разности квадратов, где $x = a^{\frac{1}{4}}$ и $y=1$:
$(a^{\frac{1}{4}})^2 - 1^2 = a^{\frac{2}{4}} - 1 = a^{\frac{1}{2}} - 1$.
Ответ: $a^{\frac{1}{2}} - 1$.