Номер 10.9, страница 86 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

10.9. Найдите значение выражения:

1) $3^{1.8} \cdot 3^{-2.6} \cdot 3^{2.8}$;

2) $(5^{-0.8})^6 \cdot 5^{4.8}$;

3) $(25^{\frac{2}{3}})^{\frac{9}{4}};$

4) $(\frac{1}{49})^{-1.5};$

5) $(\frac{5}{6})^{4.5} \cdot 1.2^{4.5};$

6) $(\frac{7}{10})^{-\frac{1}{3}} \cdot (\frac{1}{700})^{-\frac{1}{3}};$

7) $\frac{8^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}};$

8) $36^{0.4} \cdot 6^{1.2};$

9) $(4^{-\frac{1}{8}})^{1.6} \cdot 16^{0.6}.$

1) Чтобы найти значение выражения $3^{1,8} \cdot 3^{-2,6} \cdot 3^{2,8}$, используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Согласно этому свойству, при умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются.
$3^{1,8} \cdot 3^{-2,6} \cdot 3^{2,8} = 3^{1,8 + (-2,6) + 2,8} = 3^{1,8 - 2,6 + 2,8} = 3^{2}$.
Теперь вычисляем значение полученной степени: $3^2 = 9$.
Ответ: 9.

2) Для решения выражения $(5^{-0,8})^6 \cdot 5^{4,8}$ применяем два свойства степеней: возведение степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ и умножение степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
Сначала упростим первую часть выражения: $(5^{-0,8})^6 = 5^{-0,8 \cdot 6} = 5^{-4,8}$.
Теперь всё выражение выглядит так: $5^{-4,8} \cdot 5^{4,8}$.
Складываем показатели: $5^{-4,8 + 4,8} = 5^0$.
Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно 1, поэтому $5^0 = 1$.
Ответ: 1.

3) В выражении $(25^{\frac{2}{3}})^{\frac{9}{4}}$ используется свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, при котором показатели перемножаются.
$(25^{\frac{2}{3}})^{\frac{9}{4}} = 25^{\frac{2}{3} \cdot \frac{9}{4}} = 25^{\frac{18}{12}} = 25^{\frac{3}{2}}$.
Для удобства вычисления представим основание $25$ как $5^2$.
$(5^2)^{\frac{3}{2}} = 5^{2 \cdot \frac{3}{2}} = 5^3$.
Вычисляем результат: $5^3 = 125$.
Ответ: 125.

4) Чтобы найти значение выражения $(\frac{1}{49})^{-1,5}$, преобразуем основание и показатель.
Основание $\frac{1}{49}$ можно записать как $\frac{1}{7^2}$, что равно $7^{-2}$.
Десятичный показатель $-1,5$ равен дроби $-\frac{3}{2}$.
Подставляем преобразованные значения в исходное выражение: $(7^{-2})^{-\frac{3}{2}}$.
По свойству возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, перемножаем показатели: $7^{-2 \cdot (-\frac{3}{2})} = 7^3$.
Вычисляем значение: $7^3 = 343$.
Ответ: 343.

5) В выражении $(\frac{5}{6})^{4,5} \cdot 1,2^{4,5}$ степени имеют одинаковый показатель. Применяем свойство $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$.
Сначала преобразуем десятичное число $1,2$ в обыкновенную дробь: $1,2 = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}$.
Теперь перемножим основания: $(\frac{5}{6} \cdot \frac{6}{5})^{4,5} = 1^{4,5}$.
Единица в любой степени равна единице, поэтому $1^{4,5} = 1$.
Ответ: 1.

6) Выражение $(\frac{7}{10})^{-\frac{1}{3}} \cdot (\frac{1}{700})^{-\frac{1}{3}}$ также содержит степени с одинаковым показателем, поэтому используем свойство $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$.
Перемножим основания: $(\frac{7}{10} \cdot \frac{1}{700})^{-\frac{1}{3}} = (\frac{7}{7000})^{-\frac{1}{3}} = (\frac{1}{1000})^{-\frac{1}{3}}$.
Представим $\frac{1}{1000}$ как $10^{-3}$: $(10^{-3})^{-\frac{1}{3}}$.
Перемножим показатели: $10^{-3 \cdot (-\frac{1}{3})} = 10^1 = 10$.
Ответ: 10.

7) Для выражения $\frac{8^{2\frac{1}{2}}}{2^{2\frac{1}{2}}}$ применяем свойство деления степеней с одинаковым показателем $\frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n$.
Показатель $2\frac{1}{2}$ равен $2,5$ или $\frac{5}{2}$.
Выполняем деление оснований: $(\frac{8}{2})^{2\frac{1}{2}} = 4^{2,5} = 4^{\frac{5}{2}}$.
Представим $4$ как $2^2$: $(2^2)^{\frac{5}{2}} = 2^{2 \cdot \frac{5}{2}} = 2^5$.
Вычисляем результат: $2^5 = 32$.
Ответ: 32.

8) В выражении $36^{0,4} \cdot 6^{1,2}$ приведем степени к общему основанию $6$, так как $36 = 6^2$.
$36^{0,4} \cdot 6^{1,2} = (6^2)^{0,4} \cdot 6^{1,2}$.
Упрощаем первую часть: $6^{2 \cdot 0,4} \cdot 6^{1,2} = 6^{0,8} \cdot 6^{1,2}$.
Теперь складываем показатели: $6^{0,8 + 1,2} = 6^2$.
Вычисляем: $6^2 = 36$.
Ответ: 36.

9) Для решения выражения $(4^{-\frac{1}{8}})^{1,6} \cdot 16^{0,6}$ приведем все степени к основанию 2.
$4 = 2^2$, $16 = 2^4$. Преобразуем показатели в дроби: $1,6 = \frac{16}{10} = \frac{8}{5}$ и $0,6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.
Упростим первый множитель: $(4^{-\frac{1}{8}})^{1,6} = (4^{-\frac{1}{8}})^{\frac{8}{5}} = 4^{-\frac{1}{8} \cdot \frac{8}{5}} = 4^{-\frac{1}{5}}$. Теперь подставим $4=2^2$: $(2^2)^{-\frac{1}{5}} = 2^{-\frac{2}{5}}$.
Упростим второй множитель: $16^{0,6} = 16^{\frac{3}{5}} = (2^4)^{\frac{3}{5}} = 2^{\frac{12}{5}}$.
Теперь перемножим полученные степени: $2^{-\frac{2}{5}} \cdot 2^{\frac{12}{5}} = 2^{-\frac{2}{5} + \frac{12}{5}} = 2^{\frac{10}{5}} = 2^2$.
Вычисляем значение: $2^2 = 4$.
Ответ: 4.