Номер 10.10, страница 86 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

10.10. Чему равно значение выражения:

1) $5^{3,4} \cdot 5^{-1,8} \cdot 5^{-2,6};$

2) $(7^{-0,7})^8 : 7^{-7,6};$

3) $(9^{\frac{3}{7}})^{\frac{4}{3}};$

4) $(\frac{1}{16})^{-0,25};$

5) $(2\frac{6}{7})^{2,5} \cdot 1,4^{2,5};$

6) $\frac{81^{\frac{1}{3}}}{3^{\frac{1}{3}}}?$

1) Для нахождения значения выражения используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Для этого необходимо сложить все показатели степеней:
$5^{3.4} \cdot 5^{-1.8} \cdot 5^{-2.6} = 5^{3.4 + (-1.8) + (-2.6)} = 5^{3.4 - 1.8 - 2.6} = 5^{1.6 - 2.6} = 5^{-1}$.
По определению степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получаем:
$5^{-1} = \frac{1}{5}$.

Ответ: $\frac{1}{5}$.

2) В данном выражении применяются два свойства степеней: возведение степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ и деление степеней с одинаковым основанием $a^m : a^n = a^{m-n}$.
Сначала возведем первую степень в восьмую степень, перемножив их показатели:
$(7^{-0.7})^8 = 7^{-0.7 \cdot 8} = 7^{-5.6}$.
Затем выполним деление, вычитая из показателя делимого показатель делителя:
$7^{-5.6} : 7^{-7.6} = 7^{-5.6 - (-7.6)} = 7^{-5.6 + 7.6} = 7^2$.
Вычисляем результат:
$7^2 = 49$.

Ответ: 49.

3) Используем свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. Для этого перемножим показатели степеней. Сначала представим смешанное число $4\frac{2}{3}$ в виде неправильной дроби:
$4\frac{2}{3} = \frac{4 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{14}{3}$.
Теперь перемножим показатели:
$\frac{3}{7} \cdot \frac{14}{3} = \frac{3 \cdot 14}{7 \cdot 3} = \frac{14}{7} = 2$.
Таким образом, исходное выражение равно $9^2$:
$9^2 = 81$.

Ответ: 81.

4) Для вычисления значения выражения воспользуемся свойством степени с отрицательным показателем $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$ и определением степени с рациональным показателем $a^{\frac{1}{m}} = \sqrt[m]{a}$.
Избавимся от отрицательного показателя, "перевернув" основание дроби:
$(\frac{1}{16})^{-0.25} = 16^{0.25}$.
Представим десятичный показатель $0.25$ в виде обыкновенной дроби: $0.25 = \frac{1}{4}$.
Получаем выражение $16^{\frac{1}{4}}$, что равносильно корню четвертой степени из 16:
$16^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{16} = \sqrt[4]{2^4} = 2$.

Ответ: 2.

5) В данном примере используется свойство произведения степеней с одинаковым показателем $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$.
Сначала преобразуем основания в удобный для вычисления вид. Смешанное число $2\frac{6}{7}$ переведем в неправильную дробь, а десятичную дробь $1.4$ — в обыкновенную:
$2\frac{6}{7} = \frac{2 \cdot 7 + 6}{7} = \frac{20}{7}$.
$1.4 = \frac{14}{10} = \frac{7}{5}$.
Теперь можем перемножить основания под общим показателем степени:
$(2\frac{6}{7} \cdot 1.4)^{2.5} = (\frac{20}{7} \cdot \frac{7}{5})^{2.5} = (\frac{20 \cdot 7}{7 \cdot 5})^{2.5} = (\frac{20}{5})^{2.5} = 4^{2.5}$.
Для вычисления $4^{2.5}$ представим $2.5$ как $\frac{5}{2}$ и $4$ как $2^2$:
$4^{2.5} = 4^{\frac{5}{2}} = (2^2)^{\frac{5}{2}} = 2^{2 \cdot \frac{5}{2}} = 2^5 = 32$.

Ответ: 32.

6) Здесь применяется свойство частного степеней с одинаковым показателем $\frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n$.
Объединим выражение под один показатель степени:
$\frac{81^{\frac{1}{3}}}{3^{\frac{1}{3}}} = (\frac{81}{3})^{\frac{1}{3}}$.
Выполним деление в скобках:
$\frac{81}{3} = 27$.
Выражение принимает вид $27^{\frac{1}{3}}$.
Это корень третьей степени из 27, который равен 3, так как $3^3 = 27$:
$27^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{27} = 3$.

Ответ: 3.