Номер 10.13, страница 87 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

10.13. Раскройте скобки:

1) $2a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}} - 4) + 8a^{\frac{1}{2}};$

2) $(a^{0.5} - 3b^{0.3})(2a^{0.5} + b^{0.3});$

3) $(3b^{\frac{2}{3}} - c^{\frac{3}{2}})(3b^{\frac{2}{3}} + c^{\frac{3}{2}});$

4) $(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}})^2;$

5) $(a^{-\frac{1}{2}} - \frac{1}{4}a^{-\frac{1}{6}})^2;$

6) $(b^{0.4} + 3)^2 - 6b^{0.4};$

7) $(c^{\frac{1}{3}} - 1)(c^{\frac{2}{3}} + c^{\frac{1}{3}} + 1);$

8) $(a^{\frac{1}{3}} + a^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{5}{6}} + a);$

9) $(a^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{1}{6}})(a^{\frac{1}{6}} - b^{\frac{1}{6}})(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}});$

10) $(x^{\frac{2}{9}} - 1)(x^{\frac{4}{9}} + x^{\frac{2}{9}} + 1)(x^{\frac{2}{3}} + 1).$

1) $2a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}} - 4) + 8a^{\frac{1}{2}}$

Раскроем скобки, умножив $2a^{\frac{1}{2}}$ на каждый член в скобках, а затем приведем подобные слагаемые. Используем свойство степеней $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$.

$2a^{\frac{1}{2}}(a^{\frac{1}{2}} - 4) + 8a^{\frac{1}{2}} = 2a^{\frac{1}{2}} \cdot a^{\frac{1}{2}} - 2a^{\frac{1}{2}} \cdot 4 + 8a^{\frac{1}{2}} = 2a^{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}} - 8a^{\frac{1}{2}} + 8a^{\frac{1}{2}} = 2a^1 - 8a^{\frac{1}{2}} + 8a^{\frac{1}{2}}.$

Слагаемые $-8a^{\frac{1}{2}}$ и $8a^{\frac{1}{2}}$ взаимно уничтожаются.

$2a - 0 = 2a$.

Ответ: $2a$.

2) $(a^{0.5} - 3b^{0.3})(2a^{0.5} + b^{0.3})$

Раскроем скобки, перемножив каждый член первого двучлена на каждый член второго (по правилу FOIL).

$(a^{0.5} - 3b^{0.3})(2a^{0.5} + b^{0.3}) = a^{0.5} \cdot 2a^{0.5} + a^{0.5} \cdot b^{0.3} - 3b^{0.3} \cdot 2a^{0.5} - 3b^{0.3} \cdot b^{0.3}$.

Упростим, используя свойство степеней $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$:

$2a^{0.5+0.5} + a^{0.5}b^{0.3} - 6a^{0.5}b^{0.3} - 3b^{0.3+0.3} = 2a^1 + a^{0.5}b^{0.3} - 6a^{0.5}b^{0.3} - 3b^{0.6}$.

Приведем подобные слагаемые:

$2a - 5a^{0.5}b^{0.3} - 3b^{0.6}$.

Ответ: $2a - 5a^{0.5}b^{0.3} - 3b^{0.6}$.

3) $(3b^{\frac{2}{3}} - c^{\frac{3}{2}})(3b^{\frac{2}{3}} + c^{\frac{3}{2}})$

Это выражение является формулой разности квадратов $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$.

Здесь $x = 3b^{\frac{2}{3}}$ и $y = c^{\frac{3}{2}}$.

Применяем формулу:

$(3b^{\frac{2}{3}})^2 - (c^{\frac{3}{2}})^2 = 3^2 \cdot (b^{\frac{2}{3}})^2 - (c^{\frac{3}{2}})^2$.

Используем свойство степеней $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$:

$9b^{\frac{2}{3} \cdot 2} - c^{\frac{3}{2} \cdot 2} = 9b^{\frac{4}{3}} - c^3$.

Ответ: $9b^{\frac{4}{3}} - c^3$.

4) $(a^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{1}{3}})^2$

Это выражение является формулой квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

Здесь $x = a^{\frac{1}{3}}$ и $y = b^{\frac{1}{3}}$.

Применяем формулу:

$(a^{\frac{1}{3}})^2 + 2 \cdot a^{\frac{1}{3}} \cdot b^{\frac{1}{3}} + (b^{\frac{1}{3}})^2 = a^{\frac{2}{3}} + 2a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}$.

Ответ: $a^{\frac{2}{3}} + 2a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}$.

5) $(a^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{4}a^{-\frac{1}{6}})^2$

Это выражение является формулой квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

Здесь $x = a^{\frac{1}{2}}$ и $y = \frac{1}{4}a^{-\frac{1}{6}}$.

Применяем формулу:

$(a^{\frac{1}{2}})^2 - 2 \cdot a^{\frac{1}{2}} \cdot (\frac{1}{4}a^{-\frac{1}{6}}) + (\frac{1}{4}a^{-\frac{1}{6}})^2 = a^1 - \frac{2}{4}a^{\frac{1}{2}-\frac{1}{6}} + \frac{1}{16}a^{-\frac{1}{6} \cdot 2}$.

Упрощаем показатели степеней и коэффициенты:

$a - \frac{1}{2}a^{\frac{3}{6}-\frac{1}{6}} + \frac{1}{16}a^{-\frac{2}{6}} = a - \frac{1}{2}a^{\frac{2}{6}} + \frac{1}{16}a^{-\frac{1}{3}} = a - \frac{1}{2}a^{\frac{1}{3}} + \frac{1}{16}a^{-\frac{1}{3}}$.

Ответ: $a - \frac{1}{2}a^{\frac{1}{3}} + \frac{1}{16}a^{-\frac{1}{3}}$.

6) $(b^{0.4} + 3)^2 - 6b^{0.4}$

Сначала раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

$(b^{0.4})^2 + 2 \cdot b^{0.4} \cdot 3 + 3^2 - 6b^{0.4} = b^{0.4 \cdot 2} + 6b^{0.4} + 9 - 6b^{0.4}$.

Упрощаем и приводим подобные слагаемые:

$b^{0.8} + 6b^{0.4} + 9 - 6b^{0.4} = b^{0.8} + 9$.

Ответ: $b^{0.8} + 9$.

7) $(c^{\frac{1}{3}} - 1)(c^{\frac{2}{3}} + c^{\frac{1}{3}} + 1)$

Это выражение является формулой разности кубов $(x-y)(x^2+xy+y^2) = x^3 - y^3$.

Здесь $x = c^{\frac{1}{3}}$ и $y = 1$. Проверим: $x^2 = (c^{\frac{1}{3}})^2 = c^{\frac{2}{3}}$, $xy = c^{\frac{1}{3}} \cdot 1 = c^{\frac{1}{3}}$, $y^2 = 1^2 = 1$.

Применяем формулу:

$(c^{\frac{1}{3}})^3 - 1^3 = c^{\frac{1}{3} \cdot 3} - 1 = c^1 - 1 = c - 1$.

Ответ: $c - 1$.

8) $(a^{\frac{1}{3}} + a^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{5}{6}} + a)$

Это выражение соответствует формуле суммы кубов $(x+y)(x^2-xy+y^2) = x^3+y^3$.

Пусть $x = a^{\frac{1}{3}}$ и $y = a^{\frac{1}{2}}$.

Тогда $x^2 = (a^{\frac{1}{3}})^2 = a^{\frac{2}{3}}$, $y^2 = (a^{\frac{1}{2}})^2 = a$, и $xy = a^{\frac{1}{3}} \cdot a^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{1}{3}+\frac{1}{2}} = a^{\frac{2}{6}+\frac{3}{6}} = a^{\frac{5}{6}}$.

Вторая скобка в исходном выражении $(a^{\frac{2}{3}} - a^{\frac{5}{6}} + a)$ точно соответствует $(x^2 - xy + y^2)$.

Следовательно, мы можем применить формулу суммы кубов:

$(a^{\frac{1}{3}})^3 + (a^{\frac{1}{2}})^3 = a^{\frac{3}{3}} + a^{\frac{3}{2}} = a + a^{\frac{3}{2}}$.

Ответ: $a + a^{\frac{3}{2}}$.

9) $(a^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{1}{6}})(a^{\frac{1}{6}} - b^{\frac{1}{6}})(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}})$

Сначала перемножим первые две скобки, используя формулу разности квадратов $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$:

$(a^{\frac{1}{6}} + b^{\frac{1}{6}})(a^{\frac{1}{6}} - b^{\frac{1}{6}}) = (a^{\frac{1}{6}})^2 - (b^{\frac{1}{6}})^2 = a^{\frac{2}{6}} - b^{\frac{2}{6}} = a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}$.

Теперь умножим полученный результат на третью скобку:

$(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}})(a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}}) = (a^{\frac{1}{3}} - b^{\frac{1}{3}})^2$.

Применим формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:

$(a^{\frac{1}{3}})^2 - 2 \cdot a^{\frac{1}{3}} \cdot b^{\frac{1}{3}} + (b^{\frac{1}{3}})^2 = a^{\frac{2}{3}} - 2a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}$.

Ответ: $a^{\frac{2}{3}} - 2a^{\frac{1}{3}}b^{\frac{1}{3}} + b^{\frac{2}{3}}$.

10) $(x^{\frac{2}{9}} - 1)(x^{\frac{4}{9}} + x^{\frac{2}{9}} + 1)(x^{\frac{2}{3}} + 1)$

Сначала перемножим первые две скобки. Это формула разности кубов $(a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3$, где $a = x^{\frac{2}{9}}$ и $b=1$.

$(x^{\frac{2}{9}} - 1)(x^{\frac{4}{9}} + x^{\frac{2}{9}} + 1) = (x^{\frac{2}{9}})^3 - 1^3 = x^{\frac{2}{9} \cdot 3} - 1 = x^{\frac{6}{9}} - 1 = x^{\frac{2}{3}} - 1$.

Теперь умножим полученный результат на последнюю скобку:

$(x^{\frac{2}{3}} - 1)(x^{\frac{2}{3}} + 1)$.

Это формула разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$, где $a = x^{\frac{2}{3}}$ и $b=1$.

$(x^{\frac{2}{3}})^2 - 1^2 = x^{\frac{2}{3} \cdot 2} - 1 = x^{\frac{4}{3}} - 1$.

Ответ: $x^{\frac{4}{3}} - 1$.