Номер 10.18, страница 88 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

10.18. Решите уравнение:

1) $x^{-1.5} = 27;$

2) $(x-1)^{\frac{2}{5}} = 100;$

3) $(x-5)^{\frac{3}{7}} = 0.$

1) Исходное уравнение: $x^{-1.5} = 27$.
Сначала преобразуем десятичную степень в дробную: $-1.5 = -\frac{3}{2}$.
Уравнение принимает вид: $x^{-\frac{3}{2}} = 27$.
По определению степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получаем:
$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} = 27$.
Отсюда выразим $x^{\frac{3}{2}}$:
$x^{\frac{3}{2}} = \frac{1}{27}$.
Чтобы найти $x$, возведем обе части уравнения в степень, обратную $\frac{3}{2}$, то есть в степень $\frac{2}{3}$:
$(x^{\frac{3}{2}})^{\frac{2}{3}} = (\frac{1}{27})^{\frac{2}{3}}$.
$x = (\frac{1}{3^3})^{\frac{2}{3}}$.
Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$, получаем:
$x = \frac{1}{3^{3 \cdot \frac{2}{3}}} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$.
Так как в показателе степени $-\frac{3}{2}$ знаменатель 2 (четное число), основание $x$ должно быть больше нуля. Найденный корень $x=\frac{1}{9}$ удовлетворяет этому условию.
Ответ: $x = \frac{1}{9}$.

2) Исходное уравнение: $(x-1)^{-\frac{2}{5}} = 100$.
Используя свойство степени с отрицательным показателем, перепишем уравнение:
$\frac{1}{(x-1)^{\frac{2}{5}}} = 100$.
Выразим $(x-1)^{\frac{2}{5}}$:
$(x-1)^{\frac{2}{5}} = \frac{1}{100}$.
Возведем обе части уравнения в степень $\frac{5}{2}$:
$((x-1)^{\frac{2}{5}})^{\frac{5}{2}} = (\frac{1}{100})^{\frac{5}{2}}$.
Левая часть преобразуется в $|x-1|$, так как $((x-1)^2)^{1/2} = |x-1|$. Вычислим правую часть:
$(\frac{1}{100})^{\frac{5}{2}} = (\sqrt{\frac{1}{100}})^5 = (\frac{1}{10})^5 = \frac{1}{100000} = 0.00001$.
Получаем уравнение с модулем:
$|x-1| = 0.00001$.
Это уравнение распадается на два случая:
1. $x-1 = 0.00001 \Rightarrow x_1 = 1 + 0.00001 = 1.00001$.
2. $x-1 = -0.00001 \Rightarrow x_2 = 1 - 0.00001 = 0.99999$.
Ответ: $x_1 = 1.00001, x_2 = 0.99999$.

3) Исходное уравнение: $(x-5)^{\frac{3}{7}} = 0$.
Степень выражения равна нулю тогда и только тогда, когда его основание равно нулю (при условии, что показатель степени не равен нулю и не является отрицательным). Показатель $\frac{3}{7}$ является положительным числом.
Следовательно, мы можем приравнять основание к нулю:
$x-5 = 0$.
Решая это простое линейное уравнение, находим $x$:
$x = 5$.
Ответ: $x = 5$.