Номер 10.20, страница 88 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

10.20. Разложите на множители, используя формулу разности квадратов (переменные принимают только неотрицательные значения):

1) $a^5 - b^5;$

2) $x^{\frac{1}{6}} - y^{\frac{1}{6}};$

3) $5 - c;$

4) $16x^{0,3} - 25y^{\frac{2}{9}}.$

1) $a^5 - b^5$

Чтобы разложить данное выражение на множители по формуле разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$, необходимо представить каждый член выражения в виде квадрата. Так как по условию переменные $a$ и $b$ принимают только неотрицательные значения, мы можем использовать дробные показатели степени.

Представим $a^5$ как квадрат некоторого выражения, используя свойство степени $(x^m)^n = x^{mn}$:

$a^5 = a^{\frac{5}{2} \cdot 2} = (a^{\frac{5}{2}})^2$

Аналогично для $b^5$:

$b^5 = b^{\frac{5}{2} \cdot 2} = (b^{\frac{5}{2}})^2$

Теперь исходное выражение можно записать в виде разности квадратов:

$a^5 - b^5 = (a^{\frac{5}{2}})^2 - (b^{\frac{5}{2}})^2$

Применим формулу разности квадратов:

$(a^{\frac{5}{2}} - b^{\frac{5}{2}})(a^{\frac{5}{2}} + b^{\frac{5}{2}})$

Ответ: $(a^{\frac{5}{2}} - b^{\frac{5}{2}})(a^{\frac{5}{2}} + b^{\frac{5}{2}})$.

2) $x^{\frac{1}{6}} - y^{\frac{1}{6}}$

Представим каждый член выражения в виде квадрата. Поскольку $x \ge 0$ и $y \ge 0$, это возможно.

Используем свойство степени: $x^{\frac{1}{6}} = x^{\frac{1}{12} \cdot 2} = (x^{\frac{1}{12}})^2$.

Аналогично для второго члена: $y^{\frac{1}{6}} = y^{\frac{1}{12} \cdot 2} = (y^{\frac{1}{12}})^2$.

Запишем выражение как разность квадратов:

$x^{\frac{1}{6}} - y^{\frac{1}{6}} = (x^{\frac{1}{12}})^2 - (y^{\frac{1}{12}})^2$

Применим формулу $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$:

$(x^{\frac{1}{12}} - y^{\frac{1}{12}})(x^{\frac{1}{12}} + y^{\frac{1}{12}})$

Ответ: $(x^{\frac{1}{12}} - y^{\frac{1}{12}})(x^{\frac{1}{12}} + y^{\frac{1}{12}})$.

3) $5 - c$

Для применения формулы разности квадратов представим 5 и $c$ (где $c \ge 0$) в виде квадратов, используя квадратные корни.

$5 = (\sqrt{5})^2$

$c = (\sqrt{c})^2$

Выражение $5 - c$ можно записать как:

$5 - c = (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{c})^2$

Применяем формулу разности квадратов:

$(\sqrt{5} - \sqrt{c})(\sqrt{5} + \sqrt{c})$

Ответ: $(\sqrt{5} - \sqrt{c})(\sqrt{5} + \sqrt{c})$.

4) $16x^{0.3} - 25y^{\frac{2}{9}}$

Представим каждый член этого выражения в виде квадрата. Переменные $x$ и $y$ неотрицательны.

Для первого члена: $16x^{0.3}$. Мы знаем, что $16 = 4^2$. Показатель степени $0.3$ можно представить как $2 \cdot 0.15$. Таким образом:

$16x^{0.3} = 4^2 \cdot x^{2 \cdot 0.15} = 4^2 \cdot (x^{0.15})^2 = (4x^{0.15})^2$

Для второго члена: $25y^{\frac{2}{9}}$. Мы знаем, что $25 = 5^2$. Показатель степени $\frac{2}{9}$ можно представить как $2 \cdot \frac{1}{9}$. Таким образом:

$25y^{\frac{2}{9}} = 5^2 \cdot y^{2 \cdot \frac{1}{9}} = 5^2 \cdot (y^{\frac{1}{9}})^2 = (5y^{\frac{1}{9}})^2$

Теперь исходное выражение является разностью квадратов:

$16x^{0.3} - 25y^{\frac{2}{9}} = (4x^{0.15})^2 - (5y^{\frac{1}{9}})^2$

Применяем формулу $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$:

$(4x^{0.15} - 5y^{\frac{1}{9}})(4x^{0.15} + 5y^{\frac{1}{9}})$

Ответ: $(4x^{0.15} - 5y^{\frac{1}{9}})(4x^{0.15} + 5y^{\frac{1}{9}})$.