Номер 10.19, страница 88 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

10.19. Представьте данное выражение в виде разности квадратов и разложите его на множители (переменные принимают только неотрицательные значения):

1) $a - b;$

2) $a^3 - b^3;$

3) $x^{\frac{1}{2}} - 3;$

4) $x^{\frac{1}{3}} - y^{\frac{1}{7}}.$

1)

Чтобы представить выражение $a - b$ в виде разности квадратов, воспользуемся тем, что переменные $a$ и $b$ принимают неотрицательные значения. Это позволяет нам записать $a = (\sqrt{a})^2$ и $b = (\sqrt{b})^2$. Используя степени, это выглядит как $a = (a^{\frac{1}{2}})^2$ и $b = (b^{\frac{1}{2}})^2$.

Таким образом, выражение $a - b$ можно записать как разность квадратов: $a - b = (a^{\frac{1}{2}})^2 - (b^{\frac{1}{2}})^2$.

Теперь разложим полученное выражение на множители по формуле разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$: $(a^{\frac{1}{2}})^2 - (b^{\frac{1}{2}})^2 = (a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})$.

Ответ: $a - b = (a^{\frac{1}{2}})^2 - (b^{\frac{1}{2}})^2 = (a^{\frac{1}{2}} - b^{\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} + b^{\frac{1}{2}})$.

2)

Представим выражение $a^3 - b^3$ в виде разности квадратов. Для этого запишем каждый член в виде квадрата некоторого выражения. Используя свойство степеней $(x^m)^n = x^{mn}$, получаем: $a^3 = (a^{\frac{3}{2}})^2$ и $b^3 = (b^{\frac{3}{2}})^2$.

Следовательно, данное выражение можно представить как разность квадратов: $a^3 - b^3 = (a^{\frac{3}{2}})^2 - (b^{\frac{3}{2}})^2$.

Применяем формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$: $(a^{\frac{3}{2}})^2 - (b^{\frac{3}{2}})^2 = (a^{\frac{3}{2}} - b^{\frac{3}{2}})(a^{\frac{3}{2}} + b^{\frac{3}{2}})$.

Ответ: $a^3 - b^3 = (a^{\frac{3}{2}})^2 - (b^{\frac{3}{2}})^2 = (a^{\frac{3}{2}} - b^{\frac{3}{2}})(a^{\frac{3}{2}} + b^{\frac{3}{2}})$.

3)

Рассмотрим выражение $x^{\frac{1}{2}} - 3$. По условию, переменная $x$ неотрицательна. Представим каждый член выражения в виде квадрата. $x^{\frac{1}{2}} = (x^{\frac{1}{4}})^2$, так как $(x^{\frac{1}{4}})^2 = x^{\frac{1}{4} \cdot 2} = x^{\frac{1}{2}}$. $3 = (\sqrt{3})^2$.

Тогда выражение принимает вид разности квадратов: $x^{\frac{1}{2}} - 3 = (x^{\frac{1}{4}})^2 - (\sqrt{3})^2$.

Разложим на множители по формуле разности квадратов: $(x^{\frac{1}{4}})^2 - (\sqrt{3})^2 = (x^{\frac{1}{4}} - \sqrt{3})(x^{\frac{1}{4}} + \sqrt{3})$.

Ответ: $x^{\frac{1}{2}} - 3 = (x^{\frac{1}{4}})^2 - (\sqrt{3})^2 = (x^{\frac{1}{4}} - \sqrt{3})(x^{\frac{1}{4}} + \sqrt{3})$.

4)

Рассмотрим выражение $x^{\frac{1}{3}} - y^{\frac{1}{7}}$. Переменные $x$ и $y$ неотрицательны. Представим каждый член в виде квадрата. Для этого показатель степени каждого члена нужно "разделить" на 2. $x^{\frac{1}{3}} = (x^{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}})^2 = (x^{\frac{1}{6}})^2$. $y^{\frac{1}{7}} = (y^{\frac{1}{7} \cdot \frac{1}{2}})^2 = (y^{\frac{1}{14}})^2$.

Таким образом, мы получаем разность квадратов: $x^{\frac{1}{3}} - y^{\frac{1}{7}} = (x^{\frac{1}{6}})^2 - (y^{\frac{1}{14}})^2$.

Применяя формулу разности квадратов, раскладываем на множители: $(x^{\frac{1}{6}})^2 - (y^{\frac{1}{14}})^2 = (x^{\frac{1}{6}} - y^{\frac{1}{14}})(x^{\frac{1}{6}} + y^{\frac{1}{14}})$.

Ответ: $x^{\frac{1}{3}} - y^{\frac{1}{7}} = (x^{\frac{1}{6}})^2 - (y^{\frac{1}{14}})^2 = (x^{\frac{1}{6}} - y^{\frac{1}{14}})(x^{\frac{1}{6}} + y^{\frac{1}{14}})$.