Номер 10.16, страница 87 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

10.16. Найдите значение выражения:

1) $ \left( 343^{\frac{1}{2}} \cdot \left( \frac{1}{49} \right)^{\frac{3}{8}} \right)^{\frac{4}{3}} $ ;

2) $ 10^{\frac{1}{4}} \cdot 40^{\frac{1}{4}} \cdot 5^{\frac{1}{2}} $ ;

3) $ 0,0016^{-\frac{3}{4}} - 0,04^{-\frac{1}{2}} + 0,216^{\frac{2}{3}} $ ;

4) $ \frac{32^{0,24} \cdot 4^{0,7}}{64^{0,6} \cdot 16^{0,25}} $ ;

5) $ \frac{12^{\frac{1}{2}}}{7^{\frac{2}{3}} \cdot 8^{-\frac{1}{6}}} \cdot \frac{3^{\frac{1}{2}} \cdot 7^{\frac{5}{3}}}{8^{\frac{1}{2}}} $ ;

6) $ \left( \frac{5^{-\frac{2}{3}} \cdot 3^{-\frac{2}{3}}}{15^{\frac{2}{3}} \cdot 2^{-\frac{16}{3}}} \right)^{-1,5} $ .

1) Исходное выражение: $\left(343^{\frac{1}{2}} \cdot \left(\frac{1}{49}\right)^{\frac{3}{8}}\right)^{\frac{4}{3}}$. Представим числа 343 и 49 в виде степеней числа 7: $343 = 7^3$ и $49 = 7^2$. Тогда выражение примет вид: $\left(\left(7^3\right)^{\frac{1}{2}} \cdot \left(\frac{1}{7^2}\right)^{\frac{3}{8}}\right)^{\frac{4}{3}}$. Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$ и $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, упростим выражение: $\left(7^{3 \cdot \frac{1}{2}} \cdot \left(7^{-2}\right)^{\frac{3}{8}}\right)^{\frac{4}{3}} = \left(7^{\frac{3}{2}} \cdot 7^{-2 \cdot \frac{3}{8}}\right)^{\frac{4}{3}} = \left(7^{\frac{3}{2}} \cdot 7^{-\frac{6}{8}}\right)^{\frac{4}{3}} = \left(7^{\frac{3}{2}} \cdot 7^{-\frac{3}{4}}\right)^{\frac{4}{3}}$. Применим свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$: $\left(7^{\frac{3}{2} - \frac{3}{4}}\right)^{\frac{4}{3}} = \left(7^{\frac{6}{4} - \frac{3}{4}}\right)^{\frac{4}{3}} = \left(7^{\frac{3}{4}}\right)^{\frac{4}{3}}$. Снова применим свойство $(a^m)^n = a^{mn}$: $7^{\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3}} = 7^1 = 7$. Ответ: 7.

2) $10^{\frac{1}{4}} \cdot 40^{\frac{1}{4}} \cdot 5^{\frac{1}{2}}$. Сгруппируем первые два множителя, используя свойство $a^n \cdot b^n = (ab)^n$: $(10 \cdot 40)^{\frac{1}{4}} \cdot 5^{\frac{1}{2}} = 400^{\frac{1}{4}} \cdot 5^{\frac{1}{2}}$. Представим 400 как $20^2$: $(20^2)^{\frac{1}{4}} \cdot 5^{\frac{1}{2}} = 20^{2 \cdot \frac{1}{4}} \cdot 5^{\frac{1}{2}} = 20^{\frac{1}{2}} \cdot 5^{\frac{1}{2}}$. Снова применим свойство $a^n \cdot b^n = (ab)^n$: $(20 \cdot 5)^{\frac{1}{2}} = 100^{\frac{1}{2}} = \sqrt{100} = 10$. Ответ: 10.

3) $0,0016^{-\frac{3}{4}} - 0,04^{-\frac{1}{2}} + 0,216^{-\frac{2}{3}}$. Переведем десятичные дроби в степени: $0,0016 = (0,2)^4$; $0,04 = (0,2)^2$; $0,216 = (0,6)^3$. Подставим в выражение: $((0,2)^4)^{-\frac{3}{4}} - ((0,2)^2)^{-\frac{1}{2}} + ((0,6)^3)^{-\frac{2}{3}}$. Упростим степени, используя свойство $(a^m)^n = a^{mn}$: $(0,2)^{-3} - (0,2)^{-1} + (0,6)^{-2}$. Вычислим каждое слагаемое: $(0,2)^{-3} = \left(\frac{2}{10}\right)^{-3} = \left(\frac{1}{5}\right)^{-3} = 5^3 = 125$. $(0,2)^{-1} = \left(\frac{1}{5}\right)^{-1} = 5^1 = 5$. $(0,6)^{-2} = \left(\frac{6}{10}\right)^{-2} = \left(\frac{3}{5}\right)^{-2} = \left(\frac{5}{3}\right)^2 = \frac{25}{9}$. Выполним действия: $125 - 5 + \frac{25}{9} = 120 + \frac{25}{9} = 120 + 2\frac{7}{9} = 122\frac{7}{9}$. Ответ: $122\frac{7}{9}$.

4) $\frac{32^{0,24} \cdot 4^{0,7}}{64^{0,6} \cdot 16^{0,25}}$. Приведем все основания степеней к 2: $32 = 2^5$, $4 = 2^2$, $64 = 2^6$, $16 = 2^4$. Подставим в выражение: $\frac{(2^5)^{0,24} \cdot (2^2)^{0,7}}{(2^6)^{0,6} \cdot (2^4)^{0,25}}$. Используем свойство $(a^m)^n = a^{mn}$: $\frac{2^{5 \cdot 0,24} \cdot 2^{2 \cdot 0,7}}{2^{6 \cdot 0,6} \cdot 2^{4 \cdot 0,25}} = \frac{2^{1,2} \cdot 2^{1,4}}{2^{3,6} \cdot 2^{1}}$. Используем свойства $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$: $\frac{2^{1,2+1,4}}{2^{3,6+1}} = \frac{2^{2,6}}{2^{4,6}} = 2^{2,6 - 4,6} = 2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4} = 0,25$. Ответ: 0,25.

5) $\frac{12^{\frac{1}{2}}}{7^{\frac{2}{3}} \cdot 8^{-\frac{1}{6}}} \cdot \frac{3^{\frac{1}{2}} \cdot 7^{\frac{5}{3}}}{8^{\frac{1}{2}}}$. Объединим дроби и сгруппируем множители с одинаковыми основаниями: $\frac{12^{\frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{1}{2}} \cdot 7^{\frac{5}{3}}}{7^{\frac{2}{3}} \cdot 8^{-\frac{1}{6}} \cdot 8^{\frac{1}{2}}} = \frac{(12 \cdot 3)^{\frac{1}{2}} \cdot 7^{\frac{5}{3}}}{7^{\frac{2}{3}} \cdot 8^{-\frac{1}{6} + \frac{1}{2}}}$. Упростим числитель и знаменатель: $\frac{36^{\frac{1}{2}} \cdot 7^{\frac{5}{3}}}{7^{\frac{2}{3}} \cdot 8^{\frac{-1+3}{6}}} = \frac{6 \cdot 7^{\frac{5}{3}}}{7^{\frac{2}{3}} \cdot 8^{\frac{2}{6}}} = \frac{6 \cdot 7^{\frac{5}{3}}}{7^{\frac{2}{3}} \cdot 8^{\frac{1}{3}}}$. Применим свойство $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ и вычислим значение: $6 \cdot 7^{\frac{5}{3} - \frac{2}{3}} \cdot \frac{1}{8^{\frac{1}{3}}} = 6 \cdot 7^{\frac{3}{3}} \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{8}} = 6 \cdot 7^1 \cdot \frac{1}{2}$. Вычислим результат: $\frac{6 \cdot 7}{2} = \frac{42}{2} = 21$. Ответ: 21.

6) $\left(\frac{5^{-\frac{2}{3}} \cdot 3^{-\frac{2}{3}}}{15^{\frac{2}{3}} \cdot 2^{-\frac{16}{3}}}\right)^{-1,5}$. Сначала упростим выражение в числителе скобок: $5^{-\frac{2}{3}} \cdot 3^{-\frac{2}{3}} = (5 \cdot 3)^{-\frac{2}{3}} = 15^{-\frac{2}{3}}$. Выражение в скобках примет вид: $\frac{15^{-\frac{2}{3}}}{15^{\frac{2}{3}} \cdot 2^{-\frac{16}{3}}}$. Упростим дробь, работая с одинаковыми основаниями: $\frac{15^{-\frac{2}{3}}}{15^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{2^{-\frac{16}{3}}} = 15^{-\frac{2}{3} - \frac{2}{3}} \cdot 2^{\frac{16}{3}} = 15^{-\frac{4}{3}} \cdot 2^{\frac{16}{3}}$. Теперь возведем полученное выражение в степень $-1,5 = -\frac{3}{2}$: $\left(15^{-\frac{4}{3}} \cdot 2^{\frac{16}{3}}\right)^{-\frac{3}{2}} = (15^{-\frac{4}{3}})^{-\frac{3}{2}} \cdot (2^{\frac{16}{3}})^{-\frac{3}{2}}$. Применим свойство $(a^m)^n = a^{mn}$: $15^{(-\frac{4}{3}) \cdot (-\frac{3}{2})} \cdot 2^{(\frac{16}{3}) \cdot (-\frac{3}{2})} = 15^{\frac{12}{6}} \cdot 2^{-\frac{48}{6}} = 15^2 \cdot 2^{-8}$. Вычислим конечный результат: $225 \cdot \frac{1}{2^8} = \frac{225}{256}$. Ответ: $\frac{225}{256}$.