Номер 10.8, страница 86 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

10.8. Найдите область определения функции:

1) $y = x^{-\frac{2}{3}}$;

2) $y = (x+1)^{-\frac{7}{12}}$;

3) $y = (x^2 - x - 30)^{\frac{4}{15}}$.

1) $y = x^{-\frac{2}{3}}$

Область определения степенной функции $y = x^p$ зависит от показателя степени $p$. В данном случае $p = -\frac{2}{3}$ — отрицательное рациональное число.
Представим функцию в виде $y = \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$.
Далее, $x^{\frac{2}{3}}$ можно записать как $\sqrt[3]{x^2}$ или $(\sqrt[3]{x})^2$.
Рассмотрим выражение $\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}$. Оно имеет смысл, когда:
1. Выражение под корнем, $x^2$, определено. Это верно для любого действительного $x$.
2. Знаменатель не равен нулю. $\sqrt[3]{x^2} \neq 0$, что означает $x^2 \neq 0$, и следовательно, $x \neq 0$.
Поскольку корень кубический (нечетной степени), подкоренное выражение может быть любым действительным числом. $x^2$ всегда неотрицательно, так что здесь проблем нет. Основное ограничение связано с делением на ноль.
Таким образом, функция определена для всех действительных чисел, кроме $x=0$.

Ответ: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2) $y = (x + 1)^{-\frac{7}{12}}$

В этой функции основанием степени является выражение $(x+1)$, а показателем — отрицательное рациональное число $p = -\frac{7}{12}$.
Перепишем функцию: $y = \frac{1}{(x+1)^{\frac{7}{12}}}$.
Дробный показатель степени $\frac{7}{12}$ можно представить в виде корня: $y = \frac{1}{\sqrt[12]{(x+1)^7}}$.
Для нахождения области определения нужно учесть два условия:
1. Выражение под корнем четной степени (12-й степени) должно быть неотрицательным. То есть, $x+1 \ge 0$, откуда $x \ge -1$.
2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю. $\sqrt[12]{(x+1)^7} \neq 0$, что означает $(x+1)^7 \neq 0$, и следовательно, $x+1 \neq 0$, или $x \neq -1$.
Объединяя оба условия ($x \ge -1$ и $x \neq -1$), получаем строгое неравенство $x > -1$.

Ответ: $D(y) = (-1; +\infty)$.

3) $y = (x^2 - x - 30)^{\frac{4}{15}}$

Функция представляет собой степень с основанием $(x^2 - x - 30)$ и положительным рациональным показателем $p = \frac{4}{15}$.
Запишем функцию с использованием корня: $y = \sqrt[15]{(x^2 - x - 30)^4}$.
Поскольку показатель корня (15) является нечетным числом, корень определен для любого действительного значения подкоренного выражения.
Подкоренное выражение — это $(x^2 - x - 30)^4$.
Выражение в скобках, $x^2 - x - 30$, является многочленом, который определен для любого действительного значения $x$.
Возведение этого многочлена в 4-ю степень также всегда возможно.
Таким образом, подкоренное выражение $(x^2 - x - 30)^4$ определено для всех $x \in \mathbb{R}$.
Так как нечетный корень из любого действительного числа существует, никаких ограничений на переменную $x$ не возникает.

Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.