Страница 86 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

10.3. Представьте корень в виде степени с дробным показателем:

1) $\sqrt{x}$;

2) $\sqrt[7]{6^5}$;

3) $\sqrt[5]{2^{-2}}$;

4) $\sqrt[8]{a^7 - b^7}$.

1) Для того чтобы представить корень в виде степени с дробным показателем, используется основное свойство корня: $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$.

В выражении $\sqrt{x}$ степень корня $n=2$ (так как это квадратный корень), а показатель степени подкоренного выражения $m=1$ (так как $x = x^1$).

Применяя формулу, получаем: $\sqrt{x} = \sqrt[2]{x^1} = x^{\frac{1}{2}}$.

Ответ: $x^{\frac{1}{2}}$

2) Воспользуемся той же формулой $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$.

В выражении $\sqrt[7]{6^5}$ степень корня $n=7$, основание подкоренного выражения $a=6$, а показатель степени $m=5$.

Подставляя эти значения в формулу, получаем: $\sqrt[7]{6^5} = 6^{\frac{5}{7}}$.

Ответ: $6^{\frac{5}{7}}$

3) Аналогично предыдущим пунктам, применяем формулу $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$.

Для выражения $\sqrt[5]{2^{-2}}$ имеем: степень корня $n=5$, основание $a=2$, и показатель степени $m=-2$.

Следовательно, представление в виде степени с дробным показателем будет: $\sqrt[5]{2^{-2}} = 2^{\frac{-2}{5}} = 2^{-\frac{2}{5}}$.

Ответ: $2^{-\frac{2}{5}}$

4) В этом случае всё выражение $(a^7 - b^7)$ является подкоренным. Мы рассматриваем его как единое целое. Его степень равна 1.

Используем формулу $\sqrt[n]{A^m} = A^{\frac{m}{n}}$, где $A = (a^7 - b^7)$, $n=8$ и $m=1$.

Таким образом, $\sqrt[8]{a^7 - b^7} = \sqrt[8]{(a^7 - b^7)^1} = (a^7 - b^7)^{\frac{1}{8}}$.

Ответ: $(a^7 - b^7)^{\frac{1}{8}}$

10.4. Замените корень степенью с дробным показателем:

1) $\sqrt[7]{a^3}$;

2) $\sqrt[14]{m^{-9}}$;

3) $\sqrt[6]{5a^5}$;

4) $\sqrt[4]{x+y}$.

Для замены корня степенью с дробным показателем используется основное свойство: $ \sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}} $, где $ n $ – показатель корня, а $ m $ – показатель степени подкоренного выражения. Если подкоренное выражение не имеет явного показателя степени, он считается равным 1, то есть $ \sqrt[n]{a} = \sqrt[n]{a^1} = a^{\frac{1}{n}} $.

1) В выражении $ \sqrt[7]{a^3} $ показатель корня $ n = 7 $, а показатель степени подкоренного выражения $ m = 3 $. Применяем формулу $ \sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}} $:
$ \sqrt[7]{a^3} = a^{\frac{3}{7}} $.
Ответ: $ a^{\frac{3}{7}} $.

2) В выражении $ \sqrt[14]{m^{-9}} $ показатель корня $ n = 14 $, а показатель степени подкоренного выражения $ m = -9 $. Применяем ту же формулу:
$ \sqrt[14]{m^{-9}} = m^{\frac{-9}{14}} = m^{-\frac{9}{14}} $.
Ответ: $ m^{-\frac{9}{14}} $.

3) В выражении $ \sqrt[6]{5a^5} $ показатель корня $ n = 6 $. Подкоренное выражение – это $ 5a^5 $. Все выражение под корнем рассматривается как единое целое в степени 1, то есть $ (5a^5)^1 $. Применяем формулу $ \sqrt[n]{X} = X^{\frac{1}{n}} $, где $ X = 5a^5 $:
$ \sqrt[6]{5a^5} = (5a^5)^{\frac{1}{6}} $.
Ответ: $ (5a^5)^{\frac{1}{6}} $.

4) В выражении $ \sqrt[4]{x+y} $ показатель корня $ n = 4 $. Подкоренное выражение – это сумма $ x+y $. Так же, как и в предыдущем примере, рассматриваем все подкоренное выражение как единое целое в степени 1: $ (x+y)^1 $. Применяем формулу $ \sqrt[n]{X} = X^{\frac{1}{n}} $, где $ X = x+y $:
$ \sqrt[4]{x+y} = (x+y)^{\frac{1}{4}} $.
Ответ: $ (x+y)^{\frac{1}{4}} $.

10.5. Найдите значение выражения:

1) $4^{\frac{1}{2}};$

2) $25^{-\frac{1}{2}};$

3) $3 \cdot 64^{-\frac{1}{3}};$

4) $-5 \cdot 0,01^{-\frac{3}{2}};$

5) $0,216^{-\frac{1}{3}};$

6) $\left(3\frac{3}{8}\right)^{-\frac{2}{3}};$

7) $27^{\frac{4}{3}};$

8) $32^{-0,2}.$

1) Для вычисления $4^{\frac{1}{2}}$ воспользуемся определением степени с рациональным показателем: $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$. В данном случае $a=4$, $m=1$, $n=2$. Степень $\frac{1}{2}$ эквивалентна извлечению квадратного корня.
$4^{\frac{1}{2}} = \sqrt{4} = 2$.
Ответ: 2.

2) Для вычисления $25^{-\frac{1}{2}}$ воспользуемся свойством степени с отрицательным показателем $a^{-p} = \frac{1}{a^p}$.
$25^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{25^{\frac{1}{2}}}$.
Так как степень $\frac{1}{2}$ это квадратный корень, получаем:
$\frac{1}{\sqrt{25}} = \frac{1}{5}$.
Ответ: $\frac{1}{5}$.

3) Для вычисления $3 \cdot 64^{-\frac{1}{3}}$ сначала найдем значение $64^{-\frac{1}{3}}$.
Используем свойства $a^{-p} = \frac{1}{a^p}$ и $a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}$.
$64^{-\frac{1}{3}} = \frac{1}{64^{\frac{1}{3}}} = \frac{1}{\sqrt[3]{64}}$.
Так как $4^3 = 64$, то $\sqrt[3]{64} = 4$.
Значит, $64^{-\frac{1}{3}} = \frac{1}{4}$.
Теперь выполним умножение: $3 \cdot \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.
Ответ: $\frac{3}{4}$.

4) Для вычисления $-5 \cdot 0,01^{-\frac{3}{2}}$ сначала найдем значение $0,01^{-\frac{3}{2}}$.
Представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $0,01 = \frac{1}{100}$.
Тогда $0,01^{-\frac{3}{2}} = (\frac{1}{100})^{-\frac{3}{2}}$.
Используем свойство $(\frac{a}{b})^{-p} = (\frac{b}{a})^p$:
$(\frac{1}{100})^{-\frac{3}{2}} = (\frac{100}{1})^{\frac{3}{2}} = 100^{\frac{3}{2}}$.
Теперь воспользуемся свойством $a^{\frac{m}{n}} = (\sqrt[n]{a})^m$:
$100^{\frac{3}{2}} = (\sqrt{100})^3 = 10^3 = 1000$.
Наконец, выполним умножение: $-5 \cdot 1000 = -5000$.
Ответ: -5000.

5) Для вычисления $0,216^{-\frac{1}{3}}$ представим десятичную дробь в виде обыкновенной: $0,216 = \frac{216}{1000}$.
Получаем $(\frac{216}{1000})^{-\frac{1}{3}}$.
Используя свойство отрицательной степени для дроби, переворачиваем ее: $(\frac{1000}{216})^{\frac{1}{3}}$.
Степень $\frac{1}{3}$ означает извлечение кубического корня: $\sqrt[3]{\frac{1000}{216}} = \frac{\sqrt[3]{1000}}{\sqrt[3]{216}}$.
Так как $10^3 = 1000$ и $6^3 = 216$, получаем $\frac{10}{6}$.
Сокращаем дробь: $\frac{10}{6} = \frac{5}{3}$.
Ответ: $\frac{5}{3}$.

6) Для вычисления $(3\frac{3}{8})^{-\frac{2}{3}}$ сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $3\frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 8 + 3}{8} = \frac{27}{8}$.
Получаем выражение $(\frac{27}{8})^{-\frac{2}{3}}$.
Из-за отрицательной степени переворачиваем дробь: $(\frac{8}{27})^{\frac{2}{3}}$.
Используем свойство $a^{\frac{m}{n}} = (\sqrt[n]{a})^m$:
$(\frac{8}{27})^{\frac{2}{3}} = (\sqrt[3]{\frac{8}{27}})^2 = (\frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{27}})^2 = (\frac{2}{3})^2$.
Возводим в квадрат: $(\frac{2}{3})^2 = \frac{2^2}{3^2} = \frac{4}{9}$.
Ответ: $\frac{4}{9}$.

7) Для вычисления $27^{\frac{4}{3}}$ воспользуемся свойством $a^{\frac{m}{n}} = (\sqrt[n]{a})^m$.
$27^{\frac{4}{3}} = (\sqrt[3]{27})^4$.
Так как $3^3 = 27$, то $\sqrt[3]{27} = 3$.
Возводим результат в четвертую степень: $3^4 = 81$.
Ответ: 81.

8) Для вычисления $32^{-0,2}$ сначала преобразуем десятичную степень в обыкновенную дробь: $-0,2 = -\frac{2}{10} = -\frac{1}{5}$.
Получаем $32^{-\frac{1}{5}}$.
Используем свойство отрицательной степени: $\frac{1}{32^{\frac{1}{5}}}$.
Степень $\frac{1}{5}$ означает извлечение корня пятой степени: $\frac{1}{\sqrt[5]{32}}$.
Так как $2^5 = 32$, то $\sqrt[5]{32} = 2$.
В итоге получаем $\frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.

10.6. Чему равно значение выражения:

1) $8^{\frac{1}{3}};$

2) $10000^{\frac{1}{4}};$

3) $\left(\frac{1}{4}\right)^{-\frac{3}{2}};$

4) $0,125^{-\frac{2}{3}}?$

1) Значение выражения $8^{\frac{1}{3}}$ равно кубическому корню из 8. Это можно записать как $\sqrt[3]{8}$. Так как $2^3 = 8$, то $\sqrt[3]{8} = 2$. Альтернативно, можно представить 8 в виде степени: $8 = 2^3$. Тогда, используя свойство степеней $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получаем: $8^{\frac{1}{3}} = (2^3)^{\frac{1}{3}} = 2^{3 \cdot \frac{1}{3}} = 2^1 = 2$.
Ответ: 2

2) Значение выражения $10000^{\frac{1}{4}}$ равно корню четвертой степени из 10000, то есть $\sqrt[4]{10000}$. Так как $10^4 = 10000$, то $\sqrt[4]{10000} = 10$. Также можно представить 10000 как степень числа 10: $10000 = 10^4$. Тогда: $10000^{\frac{1}{4}} = (10^4)^{\frac{1}{4}} = 10^{4 \cdot \frac{1}{4}} = 10^1 = 10$.
Ответ: 10

3) Чтобы найти значение выражения $(\frac{1}{4})^{-\frac{3}{2}}$, сначала воспользуемся свойством отрицательной степени $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, которое для дробей означает, что основание нужно перевернуть: $(\frac{1}{4})^{-\frac{3}{2}} = 4^{\frac{3}{2}}$. Далее, представим 4 как $2^2$. Выражение примет вид $(2^2)^{\frac{3}{2}}$. По свойству возведения степени в степень, показатели перемножаются: $2^{2 \cdot \frac{3}{2}} = 2^3$. Вычисляем результат: $2^3 = 8$.
Ответ: 8

4) Для вычисления $0,125^{-\frac{2}{3}}$ сначала преобразуем десятичную дробь в обыкновенную: $0,125 = \frac{125}{1000} = \frac{1}{8}$. Выражение примет вид $(\frac{1}{8})^{-\frac{2}{3}}$. Применим свойство отрицательной степени и перевернем основание: $8^{\frac{2}{3}}$. Теперь представим 8 как степень числа 2: $8 = 2^3$. Получим $(2^3)^{\frac{2}{3}}$. Перемножим показатели степеней: $2^{3 \cdot \frac{2}{3}} = 2^2$. Вычисляем конечный результат: $2^2 = 4$.
Ответ: 4

10.7. Найдите область определения функции:

1) $y = x^{\frac{5}{6}}$;2) $y = (x - 3)^{2.6}$;3) $y = (x^2 - 6x - 7)^{-\frac{1}{9}}$.

Область определения функции (ОДЗ) — это множество всех значений аргумента $x$, при которых функция имеет смысл.

1) $y = x^{\frac{5}{6}}$

Данная функция является степенной функцией с рациональным показателем $p = \frac{5}{6}$. Так как функция вида $y = x^{\frac{m}{n}}$ при четном $n$ определена только для неотрицательных значений $x$, а в данном случае знаменатель показателя $n=6$ является четным числом, то основание степени должно быть неотрицательным.

Это можно также увидеть, представив функцию в виде корня: $y = \sqrt[6]{x^5}$. Выражение под корнем четной степени не может быть отрицательным.

Следовательно, условие для области определения: $x \ge 0$.

Таким образом, область определения функции — это промежуток $[0, +\infty)$.

Ответ: $[0, +\infty)$.

2) $y = (x - 3)^{2,6}$

Преобразуем десятичный показатель степени в обыкновенную дробь: $2,6 = \frac{26}{10} = \frac{13}{5}$. Функция принимает вид: $y = (x - 3)^{\frac{13}{5}}$.

Показатель степени $p = \frac{13}{5}$ — это рациональное число, знаменатель которого ($5$) является нечетным числом. Функцию можно представить как $y = \sqrt[5]{(x-3)^{13}}$. Корень нечетной степени определен для любого действительного значения подкоренного выражения.

Выражение в основании степени, $x - 3$, определено для всех действительных чисел $x$. Следовательно, никаких ограничений на область определения нет.

Область определения функции — это множество всех действительных чисел.

Ответ: $(-\infty; +\infty)$.

3) $y = (x^2 - 6x - 7)^{-\frac{1}{9}}$

Показатель степени $p = -\frac{1}{9}$ является отрицательным, поэтому основание степени не может быть равно нулю. Функцию можно записать в виде: $y = \frac{1}{(x^2 - 6x - 7)^{\frac{1}{9}}}$.

Знаменатель не должен быть равен нулю, что означает: $(x^2 - 6x - 7)^{\frac{1}{9}} \neq 0$, а это эквивалентно $x^2 - 6x - 7 \neq 0$.

Знаменатель показателя степени равен 9 (нечетное число), поэтому основание $x^2 - 6x - 7$ может быть отрицательным. Таким образом, единственное ограничение — это неравенство основания нулю.

Найдем значения $x$, при которых основание равно нулю, решив квадратное уравнение: $x^2 - 6x - 7 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней равна $6$, а их произведение равно $-7$. Корнями являются $x_1 = 7$ и $x_2 = -1$.

Следовательно, область определения функции — это все действительные числа, кроме $-1$ и $7$.

Ответ: $(-\infty; -1) \cup (-1; 7) \cup (7; +\infty)$.

10.8. Найдите область определения функции:

1) $y = x^{-\frac{2}{3}}$;

2) $y = (x+1)^{-\frac{7}{12}}$;

3) $y = (x^2 - x - 30)^{\frac{4}{15}}$.

1) $y = x^{-\frac{2}{3}}$

Область определения степенной функции $y = x^p$ зависит от показателя степени $p$. В данном случае $p = -\frac{2}{3}$ — отрицательное рациональное число.
Представим функцию в виде $y = \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$.
Далее, $x^{\frac{2}{3}}$ можно записать как $\sqrt[3]{x^2}$ или $(\sqrt[3]{x})^2$.
Рассмотрим выражение $\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}$. Оно имеет смысл, когда:
1. Выражение под корнем, $x^2$, определено. Это верно для любого действительного $x$.
2. Знаменатель не равен нулю. $\sqrt[3]{x^2} \neq 0$, что означает $x^2 \neq 0$, и следовательно, $x \neq 0$.
Поскольку корень кубический (нечетной степени), подкоренное выражение может быть любым действительным числом. $x^2$ всегда неотрицательно, так что здесь проблем нет. Основное ограничение связано с делением на ноль.
Таким образом, функция определена для всех действительных чисел, кроме $x=0$.

Ответ: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2) $y = (x + 1)^{-\frac{7}{12}}$

В этой функции основанием степени является выражение $(x+1)$, а показателем — отрицательное рациональное число $p = -\frac{7}{12}$.
Перепишем функцию: $y = \frac{1}{(x+1)^{\frac{7}{12}}}$.
Дробный показатель степени $\frac{7}{12}$ можно представить в виде корня: $y = \frac{1}{\sqrt[12]{(x+1)^7}}$.
Для нахождения области определения нужно учесть два условия:
1. Выражение под корнем четной степени (12-й степени) должно быть неотрицательным. То есть, $x+1 \ge 0$, откуда $x \ge -1$.
2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю. $\sqrt[12]{(x+1)^7} \neq 0$, что означает $(x+1)^7 \neq 0$, и следовательно, $x+1 \neq 0$, или $x \neq -1$.
Объединяя оба условия ($x \ge -1$ и $x \neq -1$), получаем строгое неравенство $x > -1$.

Ответ: $D(y) = (-1; +\infty)$.

3) $y = (x^2 - x - 30)^{\frac{4}{15}}$

Функция представляет собой степень с основанием $(x^2 - x - 30)$ и положительным рациональным показателем $p = \frac{4}{15}$.
Запишем функцию с использованием корня: $y = \sqrt[15]{(x^2 - x - 30)^4}$.
Поскольку показатель корня (15) является нечетным числом, корень определен для любого действительного значения подкоренного выражения.
Подкоренное выражение — это $(x^2 - x - 30)^4$.
Выражение в скобках, $x^2 - x - 30$, является многочленом, который определен для любого действительного значения $x$.
Возведение этого многочлена в 4-ю степень также всегда возможно.
Таким образом, подкоренное выражение $(x^2 - x - 30)^4$ определено для всех $x \in \mathbb{R}$.
Так как нечетный корень из любого действительного числа существует, никаких ограничений на переменную $x$ не возникает.

Ответ: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.

10.9. Найдите значение выражения:

1) $3^{1.8} \cdot 3^{-2.6} \cdot 3^{2.8}$;

2) $(5^{-0.8})^6 \cdot 5^{4.8}$;

3) $(25^{\frac{2}{3}})^{\frac{9}{4}};$

4) $(\frac{1}{49})^{-1.5};$

5) $(\frac{5}{6})^{4.5} \cdot 1.2^{4.5};$

6) $(\frac{7}{10})^{-\frac{1}{3}} \cdot (\frac{1}{700})^{-\frac{1}{3}};$

7) $\frac{8^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}};$

8) $36^{0.4} \cdot 6^{1.2};$

9) $(4^{-\frac{1}{8}})^{1.6} \cdot 16^{0.6}.$

1) Чтобы найти значение выражения $3^{1,8} \cdot 3^{-2,6} \cdot 3^{2,8}$, используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Согласно этому свойству, при умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются.
$3^{1,8} \cdot 3^{-2,6} \cdot 3^{2,8} = 3^{1,8 + (-2,6) + 2,8} = 3^{1,8 - 2,6 + 2,8} = 3^{2}$.
Теперь вычисляем значение полученной степени: $3^2 = 9$.
Ответ: 9.

2) Для решения выражения $(5^{-0,8})^6 \cdot 5^{4,8}$ применяем два свойства степеней: возведение степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ и умножение степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
Сначала упростим первую часть выражения: $(5^{-0,8})^6 = 5^{-0,8 \cdot 6} = 5^{-4,8}$.
Теперь всё выражение выглядит так: $5^{-4,8} \cdot 5^{4,8}$.
Складываем показатели: $5^{-4,8 + 4,8} = 5^0$.
Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно 1, поэтому $5^0 = 1$.
Ответ: 1.

3) В выражении $(25^{\frac{2}{3}})^{\frac{9}{4}}$ используется свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, при котором показатели перемножаются.
$(25^{\frac{2}{3}})^{\frac{9}{4}} = 25^{\frac{2}{3} \cdot \frac{9}{4}} = 25^{\frac{18}{12}} = 25^{\frac{3}{2}}$.
Для удобства вычисления представим основание $25$ как $5^2$.
$(5^2)^{\frac{3}{2}} = 5^{2 \cdot \frac{3}{2}} = 5^3$.
Вычисляем результат: $5^3 = 125$.
Ответ: 125.

4) Чтобы найти значение выражения $(\frac{1}{49})^{-1,5}$, преобразуем основание и показатель.
Основание $\frac{1}{49}$ можно записать как $\frac{1}{7^2}$, что равно $7^{-2}$.
Десятичный показатель $-1,5$ равен дроби $-\frac{3}{2}$.
Подставляем преобразованные значения в исходное выражение: $(7^{-2})^{-\frac{3}{2}}$.
По свойству возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, перемножаем показатели: $7^{-2 \cdot (-\frac{3}{2})} = 7^3$.
Вычисляем значение: $7^3 = 343$.
Ответ: 343.

5) В выражении $(\frac{5}{6})^{4,5} \cdot 1,2^{4,5}$ степени имеют одинаковый показатель. Применяем свойство $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$.
Сначала преобразуем десятичное число $1,2$ в обыкновенную дробь: $1,2 = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}$.
Теперь перемножим основания: $(\frac{5}{6} \cdot \frac{6}{5})^{4,5} = 1^{4,5}$.
Единица в любой степени равна единице, поэтому $1^{4,5} = 1$.
Ответ: 1.

6) Выражение $(\frac{7}{10})^{-\frac{1}{3}} \cdot (\frac{1}{700})^{-\frac{1}{3}}$ также содержит степени с одинаковым показателем, поэтому используем свойство $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$.
Перемножим основания: $(\frac{7}{10} \cdot \frac{1}{700})^{-\frac{1}{3}} = (\frac{7}{7000})^{-\frac{1}{3}} = (\frac{1}{1000})^{-\frac{1}{3}}$.
Представим $\frac{1}{1000}$ как $10^{-3}$: $(10^{-3})^{-\frac{1}{3}}$.
Перемножим показатели: $10^{-3 \cdot (-\frac{1}{3})} = 10^1 = 10$.
Ответ: 10.

7) Для выражения $\frac{8^{2\frac{1}{2}}}{2^{2\frac{1}{2}}}$ применяем свойство деления степеней с одинаковым показателем $\frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n$.
Показатель $2\frac{1}{2}$ равен $2,5$ или $\frac{5}{2}$.
Выполняем деление оснований: $(\frac{8}{2})^{2\frac{1}{2}} = 4^{2,5} = 4^{\frac{5}{2}}$.
Представим $4$ как $2^2$: $(2^2)^{\frac{5}{2}} = 2^{2 \cdot \frac{5}{2}} = 2^5$.
Вычисляем результат: $2^5 = 32$.
Ответ: 32.

8) В выражении $36^{0,4} \cdot 6^{1,2}$ приведем степени к общему основанию $6$, так как $36 = 6^2$.
$36^{0,4} \cdot 6^{1,2} = (6^2)^{0,4} \cdot 6^{1,2}$.
Упрощаем первую часть: $6^{2 \cdot 0,4} \cdot 6^{1,2} = 6^{0,8} \cdot 6^{1,2}$.
Теперь складываем показатели: $6^{0,8 + 1,2} = 6^2$.
Вычисляем: $6^2 = 36$.
Ответ: 36.

9) Для решения выражения $(4^{-\frac{1}{8}})^{1,6} \cdot 16^{0,6}$ приведем все степени к основанию 2.
$4 = 2^2$, $16 = 2^4$. Преобразуем показатели в дроби: $1,6 = \frac{16}{10} = \frac{8}{5}$ и $0,6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.
Упростим первый множитель: $(4^{-\frac{1}{8}})^{1,6} = (4^{-\frac{1}{8}})^{\frac{8}{5}} = 4^{-\frac{1}{8} \cdot \frac{8}{5}} = 4^{-\frac{1}{5}}$. Теперь подставим $4=2^2$: $(2^2)^{-\frac{1}{5}} = 2^{-\frac{2}{5}}$.
Упростим второй множитель: $16^{0,6} = 16^{\frac{3}{5}} = (2^4)^{\frac{3}{5}} = 2^{\frac{12}{5}}$.
Теперь перемножим полученные степени: $2^{-\frac{2}{5}} \cdot 2^{\frac{12}{5}} = 2^{-\frac{2}{5} + \frac{12}{5}} = 2^{\frac{10}{5}} = 2^2$.
Вычисляем значение: $2^2 = 4$.
Ответ: 4.

10.10. Чему равно значение выражения:

1) $5^{3,4} \cdot 5^{-1,8} \cdot 5^{-2,6};$

2) $(7^{-0,7})^8 : 7^{-7,6};$

3) $(9^{\frac{3}{7}})^{\frac{4}{3}};$

4) $(\frac{1}{16})^{-0,25};$

5) $(2\frac{6}{7})^{2,5} \cdot 1,4^{2,5};$

6) $\frac{81^{\frac{1}{3}}}{3^{\frac{1}{3}}}?$

1) Для нахождения значения выражения используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$. Для этого необходимо сложить все показатели степеней:
$5^{3.4} \cdot 5^{-1.8} \cdot 5^{-2.6} = 5^{3.4 + (-1.8) + (-2.6)} = 5^{3.4 - 1.8 - 2.6} = 5^{1.6 - 2.6} = 5^{-1}$.
По определению степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$, получаем:
$5^{-1} = \frac{1}{5}$.

Ответ: $\frac{1}{5}$.

2) В данном выражении применяются два свойства степеней: возведение степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ и деление степеней с одинаковым основанием $a^m : a^n = a^{m-n}$.
Сначала возведем первую степень в восьмую степень, перемножив их показатели:
$(7^{-0.7})^8 = 7^{-0.7 \cdot 8} = 7^{-5.6}$.
Затем выполним деление, вычитая из показателя делимого показатель делителя:
$7^{-5.6} : 7^{-7.6} = 7^{-5.6 - (-7.6)} = 7^{-5.6 + 7.6} = 7^2$.
Вычисляем результат:
$7^2 = 49$.

Ответ: 49.

3) Используем свойство возведения степени в степень $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$. Для этого перемножим показатели степеней. Сначала представим смешанное число $4\frac{2}{3}$ в виде неправильной дроби:
$4\frac{2}{3} = \frac{4 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{14}{3}$.
Теперь перемножим показатели:
$\frac{3}{7} \cdot \frac{14}{3} = \frac{3 \cdot 14}{7 \cdot 3} = \frac{14}{7} = 2$.
Таким образом, исходное выражение равно $9^2$:
$9^2 = 81$.

Ответ: 81.

4) Для вычисления значения выражения воспользуемся свойством степени с отрицательным показателем $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$ и определением степени с рациональным показателем $a^{\frac{1}{m}} = \sqrt[m]{a}$.
Избавимся от отрицательного показателя, "перевернув" основание дроби:
$(\frac{1}{16})^{-0.25} = 16^{0.25}$.
Представим десятичный показатель $0.25$ в виде обыкновенной дроби: $0.25 = \frac{1}{4}$.
Получаем выражение $16^{\frac{1}{4}}$, что равносильно корню четвертой степени из 16:
$16^{\frac{1}{4}} = \sqrt[4]{16} = \sqrt[4]{2^4} = 2$.

Ответ: 2.

5) В данном примере используется свойство произведения степеней с одинаковым показателем $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$.
Сначала преобразуем основания в удобный для вычисления вид. Смешанное число $2\frac{6}{7}$ переведем в неправильную дробь, а десятичную дробь $1.4$ — в обыкновенную:
$2\frac{6}{7} = \frac{2 \cdot 7 + 6}{7} = \frac{20}{7}$.
$1.4 = \frac{14}{10} = \frac{7}{5}$.
Теперь можем перемножить основания под общим показателем степени:
$(2\frac{6}{7} \cdot 1.4)^{2.5} = (\frac{20}{7} \cdot \frac{7}{5})^{2.5} = (\frac{20 \cdot 7}{7 \cdot 5})^{2.5} = (\frac{20}{5})^{2.5} = 4^{2.5}$.
Для вычисления $4^{2.5}$ представим $2.5$ как $\frac{5}{2}$ и $4$ как $2^2$:
$4^{2.5} = 4^{\frac{5}{2}} = (2^2)^{\frac{5}{2}} = 2^{2 \cdot \frac{5}{2}} = 2^5 = 32$.

Ответ: 32.

6) Здесь применяется свойство частного степеней с одинаковым показателем $\frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n$.
Объединим выражение под один показатель степени:
$\frac{81^{\frac{1}{3}}}{3^{\frac{1}{3}}} = (\frac{81}{3})^{\frac{1}{3}}$.
Выполним деление в скобках:
$\frac{81}{3} = 27$.
Выражение принимает вид $27^{\frac{1}{3}}$.
Это корень третьей степени из 27, который равен 3, так как $3^3 = 27$:
$27^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{27} = 3$.

Ответ: 3.

10.11. Известно, что $a$ — положительное число. Представьте $a$ в виде:

1) квадрата;

2) куба;

3) шестой степени;

4) восьмой степени.

Для решения этой задачи воспользуемся свойством степеней: $(b^m)^n = b^{m \cdot n}$. Любое положительное число $a$ можно представить в первой степени как $a^1$. Чтобы представить $a$ в виде n-ой степени, мы можем записать показатель $1$ как произведение $n \cdot \frac{1}{n}$. Таким образом, мы получаем тождество: $a = a^1 = a^{n \cdot \frac{1}{n}} = (a^{\frac{1}{n}})^n$. Выражение с дробным показателем $a^{\frac{1}{n}}$ эквивалентно корню n-ой степени $\sqrt[n]{a}$. Так как по условию $a$ является положительным числом ($a > 0$), корень любой натуральной степени из $a$ является действительным положительным числом.

1) квадрата;
Чтобы представить число $a$ в виде квадрата, то есть второй степени, положим $n=2$ в общем тождестве. Получаем: $a = (a^{\frac{1}{2}})^2$. Используя обозначение для квадратного корня, это можно записать как: $a = (\sqrt{a})^2$.
Ответ: $(\sqrt{a})^2$ или $(a^{\frac{1}{2}})^2$.

2) куба;
Чтобы представить число $a$ в виде куба, то есть третьей степени, положим $n=3$. Получаем: $a = (a^{\frac{1}{3}})^3$. Используя обозначение для кубического корня, это можно записать как: $a = (\sqrt[3]{a})^3$.
Ответ: $(\sqrt[3]{a})^3$ или $(a^{\frac{1}{3}})^3$.

3) шестой степени;
Чтобы представить число $a$ в виде шестой степени, положим $n=6$. Получаем: $a = (a^{\frac{1}{6}})^6$. Используя обозначение для корня шестой степени, это можно записать как: $a = (\sqrt[6]{a})^6$.
Ответ: $(\sqrt[6]{a})^6$ или $(a^{\frac{1}{6}})^6$.

4) восьмой степени.
Чтобы представить число $a$ в виде восьмой степени, положим $n=8$. Получаем: $a = (a^{\frac{1}{8}})^8$. Используя обозначение для корня восьмой степени, это можно записать как: $a = (\sqrt[8]{a})^8$.
Ответ: $(\sqrt[8]{a})^8$ или $(a^{\frac{1}{8}})^8$.

10.12. Известно, что $b$ — положительное число. Представьте в виде куба выражение:

1) $b^2$;

2) $b^{\frac{1}{2}}$;

3) $b^{\frac{1}{3}}$;

4) $b^{-1,8}$;

5) $b^{\frac{7}{11}}$.

Чтобы представить выражение вида $b^p$ в виде куба, нужно найти такое выражение $A$, для которого выполняется равенство $A^3 = b^p$. Воспользуемся свойством возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{mn}$.

Если мы ищем $A$ в виде $b^x$, то получаем $(b^x)^3 = b^{3x}$. Чтобы это выражение было равно исходному $b^p$, их показатели степени должны быть равны: $3x = p$. Отсюда $x = \frac{p}{3}$.

Таким образом, для каждого данного выражения $b^p$ мы можем представить его в виде куба, взяв в качестве основания $b^{\frac{p}{3}}$. Формула преобразования: $b^p = (b^{\frac{p}{3}})^3$.

1) Дано выражение $b^2$.

Чтобы представить его в виде куба, разделим показатель степени на 3: $x = \frac{2}{3}$.

Получаем: $b^2 = (b^{\frac{2}{3}})^3$.

Проверка: $(b^{\frac{2}{3}})^3 = b^{\frac{2}{3} \cdot 3} = b^2$.

Ответ: $(b^{\frac{2}{3}})^3$.

2) Дано выражение $b^{\frac{1}{2}}$.

Чтобы представить его в виде куба, разделим показатель степени на 3: $x = \frac{1/2}{3} = \frac{1}{6}$.

Получаем: $b^{\frac{1}{2}} = (b^{\frac{1}{6}})^3$.

Проверка: $(b^{\frac{1}{6}})^3 = b^{\frac{1}{6} \cdot 3} = b^{\frac{3}{6}} = b^{\frac{1}{2}}$.

Ответ: $(b^{\frac{1}{6}})^3$.

3) Дано выражение $b^{\frac{1}{3}}$.

Чтобы представить его в виде куба, разделим показатель степени на 3: $x = \frac{1/3}{3} = \frac{1}{9}$.

Получаем: $b^{\frac{1}{3}} = (b^{\frac{1}{9}})^3$.

Проверка: $(b^{\frac{1}{9}})^3 = b^{\frac{1}{9} \cdot 3} = b^{\frac{3}{9}} = b^{\frac{1}{3}}$.

Ответ: $(b^{\frac{1}{9}})^3$.

4) Дано выражение $b^{-1.8}$.

Чтобы представить его в виде куба, разделим показатель степени на 3: $x = \frac{-1.8}{3} = -0.6$.

Получаем: $b^{-1.8} = (b^{-0.6})^3$.

Проверка: $(b^{-0.6})^3 = b^{-0.6 \cdot 3} = b^{-1.8}$.

Ответ: $(b^{-0.6})^3$.

5) Дано выражение $b^{\frac{7}{11}}$.

Чтобы представить его в виде куба, разделим показатель степени на 3: $x = \frac{7/11}{3} = \frac{7}{33}$.

Получаем: $b^{\frac{7}{11}} = (b^{\frac{7}{33}})^3$.

Проверка: $(b^{\frac{7}{33}})^3 = b^{\frac{7}{33} \cdot 3} = b^{\frac{21}{33}} = b^{\frac{7}{11}}$.

Ответ: $(b^{\frac{7}{33}})^3$.