Номер 10.1, страница 85 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

10.1. Представьте степень с дробным показателем в виде корня:

1) $5^{\frac{1}{3}};$

2) $b^{-\frac{1}{7}};$

3) $(ab)^{\frac{4}{7}};$

4) $(m+n)^{2,5}.$

Для преобразования степени с дробным показателем в корень используется общее правило: $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$, где основание $a > 0$, $m$ — показатель степени подкоренного выражения (целое число), а $n$ — показатель корня (натуральное число, $n \ge 2$).

1)

Дано выражение $5^{\frac{1}{3}}$.

Согласно правилу, основание степени $a=5$ становится подкоренным выражением, числитель дроби $m=1$ — показателем степени подкоренного выражения, а знаменатель $n=3$ — показателем корня.

Получаем: $5^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{5^1} = \sqrt[3]{5}$.

Ответ: $\sqrt[3]{5}$

2)

Дано выражение $b^{-\frac{1}{7}}$.

Сначала используем свойство степени с отрицательным показателем $a^{-p} = \frac{1}{a^p}$:

$b^{-\frac{1}{7}} = \frac{1}{b^{\frac{1}{7}}}$.

Теперь преобразуем знаменатель $b^{\frac{1}{7}}$ в корень. Здесь основание $a=b$, числитель $m=1$, знаменатель $n=7$.

$b^{\frac{1}{7}} = \sqrt[7]{b^1} = \sqrt[7]{b}$.

Таким образом, итоговое выражение имеет вид: $\frac{1}{\sqrt[7]{b}}$.

Ответ: $\frac{1}{\sqrt[7]{b}}$

3)

Дано выражение $(ab)^{\frac{4}{7}}$.

В данном случае основание степени — это произведение $(ab)$, числитель показателя $m=4$, а знаменатель $n=7$.

Применяем формулу:

$(ab)^{\frac{4}{7}} = \sqrt[7]{(ab)^4}$.

Это выражение можно также записать, раскрыв скобки под корнем: $\sqrt[7]{a^4b^4}$.

Ответ: $\sqrt[7]{(ab)^4}$

4)

Дано выражение $(m+n)^{2.5}$.

В первую очередь, представим десятичный показатель $2.5$ в виде обыкновенной дроби:

$2.5 = \frac{25}{10} = \frac{5}{2}$.

Теперь выражение выглядит так: $(m+n)^{\frac{5}{2}}$.

Преобразуем его в корень. Основание степени — $(m+n)$, числитель $m=5$, знаменатель $n=2$.

$(m+n)^{\frac{5}{2}} = \sqrt[2]{(m+n)^5}$.

Показатель корня, равный 2, в записи обычно опускается, поэтому получаем квадратный корень:

$\sqrt{(m+n)^5}$.

Ответ: $\sqrt{(m+n)^5}$