Номер 9.53, страница 80 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

9.53. Сравните числа:

1) $\sqrt{\frac{1}{3}}$ и $\sqrt{\frac{1}{5}};

2) $\sqrt{32}$ и $\sqrt{26};

3) $\sqrt{33}$ и $6;

4) $3\sqrt{5}$ и $\sqrt{42};

5) $\sqrt{30}$ и $2\sqrt{7};

6) $7\sqrt{\frac{1}{7}}$ и $\frac{1}{2}\sqrt{20}$.

1) Сравнить $\sqrt{\frac{1}{3}}$ и $\sqrt{\frac{1}{5}}$.

Для сравнения двух квадратных корней из положительных чисел достаточно сравнить их подкоренные выражения. Функция $y=\sqrt{x}$ является возрастающей, поэтому, чем больше подкоренное выражение, тем больше значение корня.

Сравним дроби $\frac{1}{3}$ и $\frac{1}{5}$. Приведем их к общему знаменателю 15:

$\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{5}{15}$

$\frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{3}{15}$

Так как $5 > 3$, то $\frac{5}{15} > \frac{3}{15}$, следовательно, $\frac{1}{3} > \frac{1}{5}$.

Поскольку подкоренное выражение первого числа больше, чем у второго, то и сам корень будет больше.

Ответ: $\sqrt{\frac{1}{3}} > \sqrt{\frac{1}{5}}$.

2) Сравнить $\sqrt{32}$ и $\sqrt{26}$.

Сравниваем подкоренные выражения: $32$ и $26$.

Так как $32 > 26$, и функция квадратного корня возрастающая, то $\sqrt{32} > \sqrt{26}$.

Ответ: $\sqrt{32} > \sqrt{26}$.

3) Сравнить $\sqrt{33}$ и $6$.

Чтобы сравнить эти числа, представим $6$ в виде квадратного корня или возведем оба положительных числа в квадрат. Выберем второй способ.

Возведем в квадрат $\sqrt{33}$ и $6$:

$(\sqrt{33})^2 = 33$

$6^2 = 36$

Так как $33 < 36$, то и исходные числа находятся в том же соотношении: $\sqrt{33} < 6$.

Ответ: $\sqrt{33} < 6$.

4) Сравнить $3\sqrt{5}$ и $\sqrt{42}$.

Для сравнения внесем множитель $3$ под знак корня в первом числе:

$3\sqrt{5} = \sqrt{3^2 \cdot 5} = \sqrt{9 \cdot 5} = \sqrt{45}$.

Теперь сравним $\sqrt{45}$ и $\sqrt{42}$.

Так как $45 > 42$, то $\sqrt{45} > \sqrt{42}$.

Следовательно, $3\sqrt{5} > \sqrt{42}$.

Ответ: $3\sqrt{5} > \sqrt{42}$.

5) Сравнить $\sqrt{30}$ и $2\sqrt{7}$.

Внесем множитель $2$ под знак корня во втором числе:

$2\sqrt{7} = \sqrt{2^2 \cdot 7} = \sqrt{4 \cdot 7} = \sqrt{28}$.

Теперь сравним $\sqrt{30}$ и $\sqrt{28}$.

Так как $30 > 28$, то $\sqrt{30} > \sqrt{28}$.

Следовательно, $\sqrt{30} > 2\sqrt{7}$.

Ответ: $\sqrt{30} > 2\sqrt{7}$.

6) Сравнить $7\sqrt{\frac{1}{7}}$ и $\frac{1}{2}\sqrt{20}$.

Упростим оба выражения, внеся множители под знаки корней.

Первое число: $7\sqrt{\frac{1}{7}} = \sqrt{7^2 \cdot \frac{1}{7}} = \sqrt{49 \cdot \frac{1}{7}} = \sqrt{\frac{49}{7}} = \sqrt{7}$.

Второе число: $\frac{1}{2}\sqrt{20} = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 \cdot 20} = \sqrt{\frac{1}{4} \cdot 20} = \sqrt{\frac{20}{4}} = \sqrt{5}$.

Теперь сравним $\sqrt{7}$ и $\sqrt{5}$.

Так как $7 > 5$, то $\sqrt{7} > \sqrt{5}$.

Следовательно, $7\sqrt{\frac{1}{7}} > \frac{1}{2}\sqrt{20}$.

Ответ: $7\sqrt{\frac{1}{7}} > \frac{1}{2}\sqrt{20}$.