Номер 9.30, страница 77 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

9.30. Сократите дробь:

1) $\frac{\sqrt[6]{a}+1}{\sqrt[3]{a}-1};$

2) $\frac{\sqrt{m}-\sqrt[4]{mn}}{\sqrt[4]{mn}-\sqrt{n}};$

3) $\frac{a-b}{\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}};$

4) $\frac{a\sqrt{b}-b\sqrt{a}}{\sqrt{ab}};$

5) $\frac{\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{a^2b^2}+\sqrt[3]{a^2b}};$

6) $\frac{3+\sqrt[4]{3}}{\sqrt[4]{3}}.$

1) Для сокращения дроби $\frac{\sqrt[6]{a}+1}{\sqrt[3]{a}-1}$ представим знаменатель $\sqrt[3]{a}-1$ через корень шестой степени. Поскольку $\sqrt[3]{a} = (\sqrt[6]{a})^2$, знаменатель можно записать как $(\sqrt[6]{a})^2 - 1$. Применив формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$, получаем $(\sqrt[6]{a}-1)(\sqrt[6]{a}+1)$. Исходная дробь принимает вид: $\frac{\sqrt[6]{a}+1}{(\sqrt[6]{a}-1)(\sqrt[6]{a}+1)}$. Сократив общий множитель $(\sqrt[6]{a}+1)$, получим конечный результат. Ответ: $\frac{1}{\sqrt[6]{a}-1}$.

2) В дроби $\frac{\sqrt{m}-\sqrt[4]{mn}}{\sqrt[4]{mn}-\sqrt{n}}$ приведем все корни к одному показателю 4. Имеем $\sqrt{m} = \sqrt[4]{m^2}$ и $\sqrt{n} = \sqrt[4]{n^2}$. Дробь примет вид $\frac{\sqrt[4]{m^2}-\sqrt[4]{mn}}{\sqrt[4]{mn}-\sqrt[4]{n^2}}$. Вынесем общие множители за скобки. В числителе это $\sqrt[4]{m}$, получаем $\sqrt[4]{m}(\sqrt[4]{m}-\sqrt[4]{n})$. В знаменателе это $\sqrt[4]{n}$, получаем $\sqrt[4]{n}(\sqrt[4]{m}-\sqrt[4]{n})$. Дробь становится равной $\frac{\sqrt[4]{m}(\sqrt[4]{m}-\sqrt[4]{n})}{\sqrt[4]{n}(\sqrt[4]{m}-\sqrt[4]{n})}$. После сокращения на $(\sqrt[4]{m}-\sqrt[4]{n})$ остается $\frac{\sqrt[4]{m}}{\sqrt[4]{n}}$. Ответ: $\sqrt[4]{\frac{m}{n}}$.

3) Для сокращения дроби $\frac{a-b}{\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}}$ воспользуемся формулой разности кубов $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)$. Представим числитель $a-b$ как $(\sqrt[3]{a})^3 - (\sqrt[3]{b})^3$. Тогда, согласно формуле, он равен $(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b})((\sqrt[3]{a})^2 + \sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b} + (\sqrt[3]{b})^2)$. Упростим второй множитель: $\sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2}$. Дробь принимает вид $\frac{(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2})}{\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}}$. Сокращаем на $(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b})$. Ответ: $\sqrt[3]{a^2} + \sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{b^2}$.

4) Чтобы сократить дробь $\frac{a\sqrt{b}-b\sqrt{a}}{\sqrt{ab}}$, вынесем в числителе общий множитель. Представим $a = (\sqrt{a})^2$ и $b = (\sqrt{b})^2$. Тогда числитель равен $(\sqrt{a})^2\sqrt{b} - (\sqrt{b})^2\sqrt{a}$. Общий множитель здесь $\sqrt{a}\sqrt{b}$, что равно $\sqrt{ab}$. Выносим его за скобки: $\sqrt{ab}(\sqrt{a}-\sqrt{b})$. Подставляем это в дробь: $\frac{\sqrt{ab}(\sqrt{a}-\sqrt{b})}{\sqrt{ab}}$. Сокращаем на $\sqrt{ab}$. Ответ: $\sqrt{a}-\sqrt{b}$.

5) В дроби $\frac{\sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{a^2b^2} + \sqrt[3]{a^2b}}$ вынесем общие множители. В числителе $\sqrt[3]{ab} + \sqrt[3]{a} = \sqrt[3]{a}(\sqrt[3]{b}+1)$. В знаменателе $\sqrt[3]{a^2b^2} + \sqrt[3]{a^2b} = \sqrt[3]{a^2b}(\sqrt[3]{b}+1)$. Дробь принимает вид $\frac{\sqrt[3]{a}(\sqrt[3]{b}+1)}{\sqrt[3]{a^2b}(\sqrt[3]{b}+1)}$. Сокращаем на $(\sqrt[3]{b}+1)$ и получаем $\frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{a^2b}}$. Упростим это выражение: $\frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{a^2}\sqrt[3]{b}} = \frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{a}\cdot\sqrt[3]{a}\cdot\sqrt[3]{b}} = \frac{1}{\sqrt[3]{a}\sqrt[3]{b}}$. Ответ: $\frac{1}{\sqrt[3]{ab}}$.

6) Чтобы упростить выражение $\frac{3+\sqrt[4]{3}}{\sqrt[4]{3}}$, разделим числитель почленно на знаменатель: $\frac{3}{\sqrt[4]{3}} + \frac{\sqrt[4]{3}}{\sqrt[4]{3}}$. Второе слагаемое равно 1. Первое слагаемое $\frac{3}{\sqrt[4]{3}}$ упростим, зная, что $3 = (\sqrt[4]{3})^4$. Тогда $\frac{(\sqrt[4]{3})^4}{\sqrt[4]{3}} = (\sqrt[4]{3})^{4-1} = (\sqrt[4]{3})^3 = \sqrt[4]{3^3} = \sqrt[4]{27}$. Складывая полученные части, имеем $\sqrt[4]{27} + 1$. Ответ: $\sqrt[4]{27} + 1$.