Страница 70 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

8.32. Решите неравенство:

1) $ \sqrt[10]{x+2} > 1; $

2) $ \sqrt[5]{3x+2} < 2; $

3) $ \sqrt[4]{5x+1} < 3. $

1)

Дано неравенство $\sqrt[10]{x+2} > 1$.

Так как показатель корня — четное число (10), подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Это определяет область допустимых значений (ОДЗ):
$x+2 \ge 0$
$x \ge -2$

Обе части неравенства положительны (левая часть больше 1, правая равна 1), поэтому мы можем возвести их в 10-ю степень, не меняя знака неравенства:
$(\sqrt[10]{x+2})^{10} > 1^{10}$
$x+2 > 1$
$x > -1$

Теперь необходимо найти пересечение полученного решения $x > -1$ с ОДЗ $x \ge -2$. Совместное выполнение этих условий означает, что $x$ должен быть больше -1.
Ответ: $x \in (-1; +\infty)$.

2)

Дано неравенство $\sqrt[5]{3x+2} < 2$.

Так как показатель корня — нечетное число (5), подкоренное выражение может быть любым действительным числом. Таким образом, ОДЗ для этого неравенства — все действительные числа, то есть $x \in \mathbb{R}$.

Возведем обе части неравенства в 5-ю степень. Так как функция $y=t^5$ является монотонно возрастающей на всей числовой оси, знак неравенства сохраняется:
$(\sqrt[5]{3x+2})^{5} < 2^{5}$
$3x+2 < 32$
$3x < 30$
$x < 10$

Поскольку ОДЗ не накладывает ограничений, решение неравенства совпадает с полученным результатом.
Ответ: $x \in (-\infty; 10)$.

3)

Дано неравенство $\sqrt[4]{5x+1} < 3$.

Так как показатель корня — четное число (4), подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Найдем ОДЗ:
$5x+1 \ge 0$
$5x \ge -1$
$x \ge -1/5$

Левая часть неравенства, $\sqrt[4]{5x+1}$, по определению неотрицательна. Правая часть — положительное число (3). Следовательно, мы можем возвести обе части в 4-ю степень, сохранив знак неравенства:
$(\sqrt[4]{5x+1})^{4} < 3^{4}$
$5x+1 < 81$
$5x < 80$
$x < 16$

Найдем пересечение полученного решения $x < 16$ с ОДЗ $x \ge -1/5$. Совместное решение этих двух условий: $-1/5 \le x < 16$.
Ответ: $x \in [-1/5; 16)$.

8.33. При каких значениях a выполняется равенство:

1) $\sqrt{a^2} = a;$

2) $\sqrt{a^2} = -a?$

1)

По определению арифметического квадратного корня, для любого действительного числа $a$ верно тождество $\sqrt{a^2} = |a|$, где $|a|$ — это модуль (абсолютная величина) числа $a$.

Следовательно, исходное равенство $\sqrt{a^2} = a$ равносильно равенству $|a| = a$.

Это равенство, по определению модуля, выполняется тогда и только тогда, когда число $a$ является неотрицательным. То есть, когда $a$ больше или равно нулю.

Например:

• Если $a = 5$ (неотрицательное число), то $\sqrt{5^2} = \sqrt{25} = 5$. Равенство $5 = a$ выполняется.
• Если $a = -5$ (отрицательное число), то $\sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25} = 5$. Равенство $5 = a$ не выполняется, так как $5 \neq -5$.

Таким образом, равенство истинно для всех неотрицательных $a$.

Ответ: $a \ge 0$.

2)

Аналогично первому пункту, используем тождество $\sqrt{a^2} = |a|$. Тогда исходное равенство $\sqrt{a^2} = -a$ принимает вид $|a| = -a$.

Это равенство, по определению модуля, выполняется тогда и только тогда, когда число $a$ является неположительным. То есть, когда $a$ меньше или равно нулю.

Например:

• Если $a = -3$ (неположительное число), то $\sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3$. В то же время, $-a = -(-3) = 3$. Равенство $3 = -a$ выполняется.
• Если $a = 3$ (положительное число), то $\sqrt{3^2} = \sqrt{9} = 3$. В то же время, $-a = -3$. Равенство $3 = -a$ не выполняется, так как $3 \neq -3$.

Таким образом, равенство истинно для всех неположительных $a$.

Ответ: $a \le 0$.

8.34. Упростите выражение:

1) $\sqrt{n^2}$, если $n < 0$;

2) $\sqrt{16p^2}$, если $p \ge 0$;

3) $\sqrt{c^{12}}$;

4) $\sqrt{0,25b^{14}}$, если $b \le 0$.

1) Для упрощения выражения $ \sqrt{n^2} $ воспользуемся свойством арифметического квадратного корня $ \sqrt{a^2} = |a| $. Применив это свойство, получим: $ \sqrt{n^2} = |n| $. По условию задачи $ n < 0 $, то есть $n$ является отрицательным числом. По определению модуля, модуль отрицательного числа равен противоположному ему числу. Следовательно, $ |n| = -n $.
Ответ: $ -n $

2) Рассмотрим выражение $ \sqrt{16p^2} $. Сначала представим подкоренное выражение в виде полного квадрата: $ 16p^2 = (4p)^2 $. Тогда исходное выражение примет вид $ \sqrt{(4p)^2} $. Используя свойство $ \sqrt{a^2} = |a| $, получаем $ \sqrt{(4p)^2} = |4p| $. По условию $ p \geq 0 $, что означает, что $p$ — неотрицательное число. Следовательно, выражение $4p$ также является неотрицательным ($ 4p \geq 0 $). По определению модуля, модуль неотрицательного числа равен самому этому числу. Таким образом, $ |4p| = 4p $.
Ответ: $ 4p $

3) Упростим выражение $ \sqrt{c^{12}} $. Представим подкоренное выражение $ c^{12} $ как квадрат другого выражения, используя свойство степеней $ (a^m)^n = a^{mn} $: $ c^{12} = (c^6)^2 $. Тогда наше выражение можно переписать как $ \sqrt{(c^6)^2} $. Применим тождество $ \sqrt{a^2} = |a| $: $ \sqrt{(c^6)^2} = |c^6| $. Выражение $ c^6 $ всегда неотрицательно для любого действительного значения $c$, так как любое число в чётной степени ($6$) даёт неотрицательный результат. Поскольку $ c^6 \geq 0 $, по определению модуля $ |c^6| = c^6 $.
Ответ: $ c^6 $

4) Упростим выражение $ \sqrt{0,25b^{14}} $ при условии $ b \leq 0 $. Представим подкоренное выражение в виде полного квадрата. Мы знаем, что $ 0,25 = 0,5^2 $ и $ b^{14} = (b^7)^2 $. Следовательно, $ 0,25b^{14} = (0,5b^7)^2 $. Исходное выражение становится $ \sqrt{(0,5b^7)^2} $. Используем свойство $ \sqrt{a^2} = |a| $, что даёт нам $ |0,5b^7| $. Теперь определим знак выражения $ 0,5b^7 $, учитывая условие $ b \leq 0 $. Поскольку $b$ возводится в нечётную степень ($7$), знак $ b^7 $ совпадает со знаком $b$. Так как $ b \leq 0 $, то и $ b^7 \leq 0 $. Произведение положительного числа $0,5$ на неположительное число $ b^7 $ является неположительным числом, то есть $ 0,5b^7 \leq 0 $. По определению модуля, для любого неположительного числа $a$ ($a \leq 0$) выполняется $ |a| = -a $. Применив это к нашему выражению, получаем $ |0,5b^7| = -(0,5b^7) = -0,5b^7 $.
Ответ: $ -0,5b^7 $

8.35. Вычислите значение выражения:

1) $\sqrt{0,64 \cdot 36}$;

2) $\sqrt{6^2 \cdot 3^4}$;

3) $\sqrt{\frac{81}{100}}$;

4) $\sqrt{3\frac{13}{36}}$.

1) Для вычисления значения выражения $\sqrt{0,64 \cdot 36}$ воспользуемся свойством корня из произведения: для неотрицательных чисел $a$ и $b$ справедливо равенство $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$.
Применим это свойство к нашему выражению:
$\sqrt{0,64 \cdot 36} = \sqrt{0,64} \cdot \sqrt{36}$
Теперь вычислим каждый корень по отдельности:
$\sqrt{0,64} = 0,8$ (так как $0,8^2 = 0,64$)
$\sqrt{36} = 6$ (так как $6^2 = 36$)
Перемножим полученные значения:
$0,8 \cdot 6 = 4,8$.
Ответ: 4,8.

2) Для вычисления значения выражения $\sqrt{6^2 \cdot 3^4}$ также используем свойство корня из произведения $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ и свойство извлечения корня из степени $\sqrt{a^{2k}} = a^k$ (для $a \ge 0$).
$\sqrt{6^2 \cdot 3^4} = \sqrt{6^2} \cdot \sqrt{3^4}$
Вычислим каждый корень:
$\sqrt{6^2} = 6$
$\sqrt{3^4} = \sqrt{(3^2)^2} = 3^2 = 9$
Перемножим результаты:
$6 \cdot 9 = 54$.
Ответ: 54.

3) Для вычисления значения выражения $\sqrt{\frac{81}{100}}$ воспользуемся свойством корня из частного (дроби): для $a \ge 0$ и $b > 0$ справедливо равенство $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$.
$\sqrt{\frac{81}{100}} = \frac{\sqrt{81}}{\sqrt{100}}$
Вычисляем корни числителя и знаменателя:
$\sqrt{81} = 9$
$\sqrt{100} = 10$
Получаем дробь:
$\frac{9}{10} = 0,9$.
Ответ: 0,9.

4) Для вычисления значения выражения $\sqrt{3\frac{13}{36}}$ сначала необходимо преобразовать смешанное число в неправильную дробь.
$3\frac{13}{36} = \frac{3 \cdot 36 + 13}{36} = \frac{108 + 13}{36} = \frac{121}{36}$.
Теперь выражение имеет вид $\sqrt{\frac{121}{36}}$. Воспользуемся свойством корня из дроби:
$\sqrt{\frac{121}{36}} = \frac{\sqrt{121}}{\sqrt{36}}$
Вычисляем корни числителя и знаменателя:
$\sqrt{121} = 11$ (так как $11^2 = 121$)
$\sqrt{36} = 6$
Результатом является дробь $\frac{11}{6}$. Можно также представить ее в виде смешанного числа: $1\frac{5}{6}$.
Ответ: $\frac{11}{6}$.

8.36. Найдите значение выражения:

1) $\sqrt{32} \cdot \sqrt{2};$

2) $\sqrt{2^3 \cdot 3} \cdot \sqrt{2^5 \cdot 3^3};$

3) $\frac{\sqrt{98}}{\sqrt{2}};$

4) $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{15}}.$

1) Для нахождения значения выражения воспользуемся свойством произведения квадратных корней, согласно которому произведение корней равно корню из произведения подкоренных выражений: $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$.

$\sqrt{32} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{32 \cdot 2} = \sqrt{64}$

Квадратный корень из 64 равен 8.

$\sqrt{64} = 8$

Ответ: 8

2) Аналогично первому пункту, объединим множители под один знак корня. Затем сгруппируем степени с одинаковыми основаниями.

$\sqrt{2^3 \cdot 3} \cdot \sqrt{2^5 \cdot 3^3} = \sqrt{(2^3 \cdot 3) \cdot (2^5 \cdot 3^3)} = \sqrt{2^3 \cdot 2^5 \cdot 3^1 \cdot 3^3}$

При умножении степеней с одинаковыми основаниями их показатели складываются ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$):

$\sqrt{2^{3+5} \cdot 3^{1+3}} = \sqrt{2^8 \cdot 3^4}$

Теперь извлечем корень, используя свойство $\sqrt{a^{2n}} = a^n$. Для этого разделим показатели степеней под корнем на 2:

$\sqrt{2^8 \cdot 3^4} = \sqrt{2^8} \cdot \sqrt{3^4} = 2^{8/2} \cdot 3^{4/2} = 2^4 \cdot 3^2$

Вычислим полученное значение:

$2^4 \cdot 3^2 = 16 \cdot 9 = 144$

Ответ: 144

3) Здесь мы используем свойство частного квадратных корней, согласно которому частное корней равно корню из частного подкоренных выражений: $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$.

$\frac{\sqrt{98}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{98}{2}} = \sqrt{49}$

Квадратный корень из 49 равен 7.

$\sqrt{49} = 7$

Ответ: 7

4) Преобразуем знаменатель, представив $\sqrt{15}$ в виде произведения корней, а затем сократим дробь.

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{15}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3 \cdot 5}}$

Используя свойство $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$, перепишем знаменатель:

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{5}}$

Так как $\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = (\sqrt{3})^2 = 3$, выражение принимает вид:

$\frac{\sqrt{5}}{3 \cdot \sqrt{5}}$

Теперь можно сократить числитель и знаменатель на $\sqrt{5}$:

$\frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3}$

8.37. Вынесите множитель из-под знака корня:

1) $\sqrt{-m^9}$;

2) $\sqrt{a^4 b^{13}}$, если $a \ne 0$;

3) $\sqrt{4x^6 y}$, если $x < 0$;

4) $\sqrt{45x^3 y^{14}}$, если $y < 0$.

1) Чтобы вынести множитель из-под знака корня в выражении $\sqrt{-m^9}$, необходимо сначала определить область допустимых значений. Квадратный корень определен только для неотрицательных чисел, поэтому $-m^9 \ge 0$. Это неравенство выполняется, когда $m^9 \le 0$, что означает $m \le 0$.
Теперь преобразуем подкоренное выражение, выделив множитель, который является полным квадратом. Поскольку степень нечетная, представим ее в виде суммы четного и нечетного числа: $m^9 = m^8 \cdot m$.
$\sqrt{-m^9} = \sqrt{-m \cdot m^8} = \sqrt{(-m) \cdot (m^4)^2}$
Используя свойство корня из произведения $\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}$ и правило $\sqrt{x^2}=|x|$, получаем:
$\sqrt{(m^4)^2} \cdot \sqrt{-m} = |m^4|\sqrt{-m}$
Поскольку любое число, возведенное в четвертую степень, неотрицательно, то $|m^4| = m^4$.
Таким образом, выражение упрощается до $m^4\sqrt{-m}$. Это выражение определено при $m \le 0$.
Ответ: $m^4\sqrt{-m}$

2) Рассмотрим выражение $\sqrt{a^4b^{13}}$, если $a \ne 0$.
Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $a^4b^{13} \ge 0$. Так как $a^4 \ge 0$ для любого $a$ (и $a^4 > 0$ при $a \ne 0$), это условие сводится к $b^{13} \ge 0$, что означает $b \ge 0$.
Представим множители под корнем в виде степеней с четными показателями:
$a^4 = (a^2)^2$
$b^{13} = b^{12} \cdot b = (b^6)^2 \cdot b$
Тогда выражение под корнем будет: $a^4b^{13} = (a^2)^2 \cdot (b^6)^2 \cdot b$.
$\sqrt{a^4b^{13}} = \sqrt{(a^2)^2 \cdot (b^6)^2 \cdot b} = \sqrt{(a^2)^2} \cdot \sqrt{(b^6)^2} \cdot \sqrt{b}$
Применяя правило $\sqrt{x^2}=|x|$, получаем:
$|a^2| \cdot |b^6| \cdot \sqrt{b}$
Поскольку $a^2$ и $b^6$ всегда неотрицательны, их модули равны самим выражениям: $|a^2| = a^2$ и $|b^6| = b^6$.
Ответ: $a^2b^6\sqrt{b}$

3) Рассмотрим выражение $\sqrt{4x^6y}$, если $x < 0$.
Определим область допустимых значений. Подкоренное выражение $4x^6y \ge 0$. Так как $4 > 0$ и $x^6 \ge 0$ для любого $x$, то для выполнения неравенства необходимо, чтобы $y \ge 0$.
Представим множители под корнем в виде полных квадратов:
$4 = 2^2$
$x^6 = (x^3)^2$
Подставляем в исходное выражение:
$\sqrt{4x^6y} = \sqrt{2^2 \cdot (x^3)^2 \cdot y} = \sqrt{2^2} \cdot \sqrt{(x^3)^2} \cdot \sqrt{y}$
Выносим множители из-под знака корня:
$|2| \cdot |x^3| \cdot \sqrt{y} = 2|x^3|\sqrt{y}$
По условию $x < 0$. Если $x$ — отрицательное число, то $x^3$ также будет отрицательным числом. Модуль отрицательного числа равен противоположному ему числу, поэтому $|x^3| = -x^3$.
Заменяем $|x^3|$ на $-x^3$:
$2(-x^3)\sqrt{y} = -2x^3\sqrt{y}$.
Ответ: $-2x^3\sqrt{y}$

4) Рассмотрим выражение $\sqrt{45x^3y^{14}}$, если $y < 0$.
Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $45x^3y^{14} \ge 0$. Так как $45 > 0$ и $y^{14} \ge 0$ для любого $y$ (и $y^{14} > 0$ при $y \ne 0$), то для выполнения неравенства необходимо, чтобы $x^3 \ge 0$, что означает $x \ge 0$.
Разложим подкоренное выражение на множители, выделив полные квадраты:
$45 = 9 \cdot 5 = 3^2 \cdot 5$
$x^3 = x^2 \cdot x$
$y^{14} = (y^7)^2$
Подставляем в исходное выражение:
$\sqrt{45x^3y^{14}} = \sqrt{3^2 \cdot 5 \cdot x^2 \cdot x \cdot (y^7)^2} = \sqrt{3^2 \cdot x^2 \cdot (y^7)^2 \cdot 5x}$
Выносим множители из-под знака корня:
$\sqrt{3^2} \cdot \sqrt{x^2} \cdot \sqrt{(y^7)^2} \cdot \sqrt{5x} = |3| \cdot |x| \cdot |y^7| \cdot \sqrt{5x}$
Раскроем модули с учетом условий:
$|3| = 3$
Так как $x \ge 0$, то $|x| = x$.
По условию $y < 0$. Если $y$ — отрицательное число, то $y^7$ также будет отрицательным. Поэтому $|y^7| = -y^7$.
Собираем все вместе:
$3 \cdot x \cdot (-y^7) \cdot \sqrt{5x} = -3xy^7\sqrt{5x}$.
Ответ: $-3xy^7\sqrt{5x}$

8.38. Внесите множитель под знак корня:

1) $m\sqrt{7}$, если $m \geq 0$;

2) $3n\sqrt{6}$, если $n \leq 0$;

3) $p\sqrt{p^3}$;

4) $x^4y\sqrt{x^5y}$, если $y \leq 0$.

1) Чтобы внести множитель $m$ под знак корня в выражении $m\sqrt{7}$ при условии $m \ge 0$, воспользуемся правилом.
Для любого неотрицательного числа $a$ ($a \ge 0$) верно равенство $a = \sqrt{a^2}$. Поэтому, чтобы внести неотрицательный множитель под знак корня, его достаточно возвести в квадрат: $a\sqrt{b} = \sqrt{a^2b}$ (при $b \ge 0$).
Поскольку по условию $m \ge 0$, применяем это правило:
$m\sqrt{7} = \sqrt{m^2 \cdot 7} = \sqrt{7m^2}$.
Ответ: $\sqrt{7m^2}$

2) Необходимо внести множитель $3n$ под знак корня в выражении $3n\sqrt{6}$ при условии $n \le 0$.
Сначала определим знак множителя $3n$. Так как по условию $n \le 0$, то и $3n \le 0$, то есть множитель является неположительным числом.
Для любого неположительного числа $a$ ($a \le 0$) верно равенство $a = -\sqrt{a^2}$. Поэтому, чтобы внести неположительный множитель под знак корня, его возводят в квадрат, а перед корнем ставят знак «минус»: $a\sqrt{b} = -\sqrt{a^2b}$ (при $b \ge 0$).
Применим это правило к нашему выражению, где $a = 3n$ и $b = 6$:
$3n\sqrt{6} = -\sqrt{(3n)^2 \cdot 6} = -\sqrt{9n^2 \cdot 6} = -\sqrt{54n^2}$.
Ответ: $-\sqrt{54n^2}$

3) Нужно внести множитель $p$ под знак корня в выражении $p\sqrt{p^3}$.
Сначала определим область допустимых значений. Выражение $\sqrt{p^3}$ имеет смысл, если подкоренное выражение неотрицательно: $p^3 \ge 0$. Это неравенство выполняется только при $p \ge 0$.
Так как множитель $p$ является неотрицательным, для внесения его под знак корня достаточно возвести его в квадрат:
$p\sqrt{p^3} = \sqrt{p^2 \cdot p^3}$.
Используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$, упростим подкоренное выражение:
$p^2 \cdot p^3 = p^{2+3} = p^5$.
Следовательно, результат: $\sqrt{p^5}$.
Ответ: $\sqrt{p^5}$

4) Внесем множитель $x^4y$ под знак корня в выражении $x^4y\sqrt{x^5y}$ при условии $y \le 0$.
Определим знак множителя $a = x^4y$. Выражение $x^4$ всегда неотрицательно ($x^4 \ge 0$) для любого действительного $x$. По условию $y \le 0$. Следовательно, произведение $x^4y$ является неположительным числом ($x^4y \le 0$).
Чтобы внести неположительный множитель под знак корня, его возводят в квадрат, а перед корнем ставят знак «минус»: $a\sqrt{b} = -\sqrt{a^2b}$.
Применяя это правило, получаем:
$x^4y\sqrt{x^5y} = -\sqrt{(x^4y)^2 \cdot (x^5y)}$.
Теперь упростим выражение под корнем:
$(x^4y)^2 \cdot (x^5y) = (x^8y^2) \cdot (x^5y) = x^{8+5}y^{2+1} = x^{13}y^3$.
Таким образом, итоговое выражение: $-\sqrt{x^{13}y^3}$.
Стоит отметить, что область определения исходного выражения требует $x^5y \ge 0$. Так как $y \le 0$, это означает, что $x^5 \le 0$, то есть $x \le 0$.
Ответ: $-\sqrt{x^{13}y^3}$