Номер 8.31, страница 69 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

8.31. Решите неравенство:

1) $\sqrt[6]{x-1} > 2$;

2) $\sqrt[3]{3x+1} < 4$;

3) $\sqrt[8]{4x+1} \leq 1$.

1)

Дано неравенство $\sqrt[6]{x-1} > 2$.

Поскольку корень имеет четную степень (6), выражение под корнем должно быть неотрицательным. Это является областью допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$.

$x - 1 \ge 0$

$x \ge 1$

Обе части исходного неравенства являются неотрицательными числами, поэтому мы можем возвести обе части в 6-ю степень. Знак неравенства при этом не изменится.

$(\sqrt[6]{x-1})^6 > 2^6$

Выполним вычисления:

$x - 1 > 64$

Перенесем -1 в правую часть:

$x > 64 + 1$

$x > 65$

Теперь нужно учесть ОДЗ. Составим систему из полученного решения и ОДЗ:

$\begin{cases} x > 65 \\ x \ge 1 \end{cases}$

Пересечением этих двух условий является $x > 65$.

Ответ: $x \in (65; +\infty)$.

2)

Дано неравенство $\sqrt[3]{3x+1} < 4$.

Поскольку корень имеет нечетную степень (3), выражение под корнем может быть любым действительным числом. Следовательно, область допустимых значений (ОДЗ) для этого неравенства — все действительные числа, $x \in \mathbb{R}$.

Мы можем возвести обе части неравенства в 3-ю степень. Так как степень нечетная, знак неравенства сохраняется.

$(\sqrt[3]{3x+1})^3 < 4^3$

Выполним вычисления:

$3x + 1 < 64$

Решим полученное линейное неравенство:

$3x < 64 - 1$

$3x < 63$

$x < \frac{63}{3}$

$x < 21$

Так как ОДЗ не накладывает никаких ограничений, это и есть окончательное решение.

Ответ: $x \in (-\infty; 21)$.

3)

Дано неравенство $\sqrt[8]{4x+1} \le 1$.

Корень имеет четную степень (8), поэтому подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$4x + 1 \ge 0$

$4x \ge -1$

$x \ge -\frac{1}{4}$

Обе части исходного неравенства неотрицательны, поэтому мы можем возвести их в 8-ю степень, сохраняя знак неравенства.

$(\sqrt[8]{4x+1})^8 \le 1^8$

Выполним вычисления:

$4x + 1 \le 1$

Решим полученное линейное неравенство:

$4x \le 1 - 1$

$4x \le 0$

$x \le 0$

Теперь необходимо найти пересечение полученного решения с ОДЗ. Составим систему неравенств:

$\begin{cases} x \le 0 \\ x \ge -\frac{1}{4} \end{cases}$

Решением этой системы является интервал от $-\frac{1}{4}$ до 0, включая концы.

Ответ: $x \in [-\frac{1}{4}; 0]$.