Номер 8.26, страница 69 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

8.26. Постройте график функции:

1) $y = -\sqrt[4]{x}$;

2) $y = \sqrt[4]{-x}$;

3) $y = \sqrt[4]{x + 3}$;

4) $y = \sqrt[4]{x + 3}$;

5) $y = \sqrt[4]{x + 3} + 1$;

6) $y = \sqrt[4]{|x|}$.

Для построения графиков всех заданных функций в качестве основы будем использовать график функции $y = \sqrt[4]{x}$.

Это ветвь параболы, расположенная в первой координатной четверти. График начинается в точке $(0; 0)$ и медленно возрастает. Он проходит через контрольные точки $(0; 0)$, $(1; 1)$ и $(16; 2)$. Область определения функции $D(y) = [0; +\infty)$, область значений $E(y) = [0; +\infty)$.

1) $y = -\sqrt[4]{x}$

Чтобы построить график функции $y = -\sqrt[4]{x}$, нужно взять график базовой функции $y = \sqrt[4]{x}$ и отразить его симметрично относительно оси абсцисс (оси Ox). При этом ордината каждой точки графика меняет свой знак на противоположный, а абсцисса остается той же.

Область определения функции не меняется: $D(y) = [0; +\infty)$. Область значений становится $E(y) = (-\infty; 0]$. Контрольные точки преобразуются следующим образом: $(0; 0) \rightarrow (0; 0)$, $(1; 1) \rightarrow (1; -1)$, $(16; 2) \rightarrow (16; -2)$.

Ответ: График функции $y = -\sqrt[4]{x}$ — это ветвь параболы, расположенная в четвертой координатной четверти, симметричная графику $y=\sqrt[4]{x}$ относительно оси Ox.

2) $y = \sqrt[4]{-x}$

Чтобы построить график функции $y = \sqrt[4]{-x}$, нужно взять график базовой функции $y = \sqrt[4]{x}$ и отразить его симметрично относительно оси ординат (оси Oy). При этом абсцисса каждой точки графика меняет свой знак на противоположный, а ордината остается той же.

Область определения функции: $-x \ge 0$, то есть $x \le 0$, следовательно, $D(y) = (-\infty; 0]$. Область значений не меняется: $E(y) = [0; +\infty)$. Контрольные точки преобразуются: $(0; 0) \rightarrow (0; 0)$, $(1; 1) \rightarrow (-1; 1)$, $(16; 2) \rightarrow (-16; 2)$.

Ответ: График функции $y = \sqrt[4]{-x}$ — это ветвь параболы, расположенная во второй координатной четверти, симметричная графику $y=\sqrt[4]{x}$ относительно оси Oy.

3) $y = \sqrt[4]{x} + 3$

Чтобы построить график функции $y = \sqrt[4]{x} + 3$, нужно график базовой функции $y = \sqrt[4]{x}$ сдвинуть на 3 единицы вверх вдоль оси Oy. Это преобразование вида $y = f(x) + c$.

Область определения не меняется: $D(y) = [0; +\infty)$. Область значений сдвигается на 3 вверх: $E(y) = [3; +\infty)$. Начальная точка графика перемещается из $(0; 0)$ в $(0; 3)$. Другие контрольные точки: $(1; 1) \rightarrow (1; 4)$, $(16; 2) \rightarrow (16; 5)$.

Ответ: График функции $y = \sqrt[4]{x} + 3$ получается из графика $y = \sqrt[4]{x}$ параллельным переносом на 3 единицы вверх.

4) $y = \sqrt[4]{x+3}$

Чтобы построить график функции $y = \sqrt[4]{x+3}$, нужно график базовой функции $y = \sqrt[4]{x}$ сдвинуть на 3 единицы влево вдоль оси Ox. Это преобразование вида $y = f(x+c)$.

Область определения сдвигается на 3 влево: $x+3 \ge 0 \implies x \ge -3$, то есть $D(y) = [-3; +\infty)$. Область значений не меняется: $E(y) = [0; +\infty)$. Начальная точка графика перемещается из $(0; 0)$ в $(-3; 0)$. Другие контрольные точки: $(1; 1) \rightarrow (-2; 1)$, $(16; 2) \rightarrow (13; 2)$.

Ответ: График функции $y = \sqrt[4]{x+3}$ получается из графика $y = \sqrt[4]{x}$ параллельным переносом на 3 единицы влево.

5) $y = \sqrt[4]{x+3} + 1$

Построение этого графика можно выполнить в два шага: сначала сдвинуть график $y = \sqrt[4]{x}$ на 3 единицы влево, чтобы получить график $y = \sqrt[4]{x+3}$, а затем сдвинуть полученный график на 1 единицу вверх. Это комбинированное преобразование $y = f(x+c) + d$.

Область определения: $x+3 \ge 0 \implies x \ge -3$, то есть $D(y) = [-3; +\infty)$. Область значений: $y \ge 1$, то есть $E(y) = [1; +\infty)$. Начальная точка графика перемещается из $(0; 0)$ в $(-3; 1)$. Другие контрольные точки: $(1; 1) \rightarrow (-2; 2)$, $(16; 2) \rightarrow (13; 3)$.

Ответ: График функции $y = \sqrt[4]{x+3} + 1$ получается из графика $y = \sqrt[4]{x}$ параллельным переносом на 3 единицы влево и на 1 единицу вверх.

6) $y = \sqrt[4]{|x|}$

Данная функция является четной, так как $y(-x) = \sqrt[4]{|-x|} = \sqrt[4]{|x|} = y(x)$. Это означает, что ее график симметричен относительно оси Oy. Для построения графика достаточно построить его часть для $x \ge 0$ и затем отразить ее симметрично относительно оси Oy.

При $x \ge 0$, $|x| = x$, и функция принимает вид $y = \sqrt[4]{x}$. Эта часть графика совпадает с графиком базовой функции. Область определения функции: $|x| \ge 0$ верно для всех действительных $x$, поэтому $D(y) = (-\infty; +\infty)$. Область значений: $E(y) = [0; +\infty)$. Контрольные точки: $(0; 0)$, $(1; 1)$ и $(-1; 1)$, $(16; 2)$ и $(-16; 2)$.

Ответ: График функции $y = \sqrt[4]{|x|}$ состоит из графика функции $y = \sqrt[4]{x}$ для $x \ge 0$ и его симметричного отражения относительно оси Oy для $x < 0$.