Номер 8.22, страница 69 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

8.22. Постройте график функции:

1) $y = (\sqrt[3]{x})^3$;

2) $y = (\sqrt[4]{x})^4$.

1)

Рассмотрим функцию $y = (\sqrt[3]{x})^3$.

Сначала найдем область определения функции. Кубический корень (корень нечетной степени) определен для любого действительного числа $x$. Следовательно, область определения данной функции $D(y)$ — это множество всех действительных чисел, то есть $x \in (-\infty; +\infty)$.

Теперь упростим данное выражение. По определению корня $n$-й степени, для любого нечетного $n$ и любого действительного числа $a$ справедливо тождество $(\sqrt[n]{a})^n = a$. В нашем случае $n=3$, поэтому для любого $x$ из области определения выполняется равенство $(\sqrt[3]{x})^3 = x$.

Таким образом, исходная функция тождественно равна функции $y = x$.

Графиком функции $y = x$ является прямая, которая проходит через начало координат (точку $(0;0)$) и является биссектрисой первого и третьего координатных углов.

Ответ: Графиком функции $y = (\sqrt[3]{x})^3$ является прямая $y=x$.

2)

Рассмотрим функцию $y = (\sqrt[4]{x})^4$.

Найдем область определения этой функции. Корень четвертой степени (корень четной степени) определен только для неотрицательных подкоренных выражений. Поэтому для данной функции должно выполняться условие $x \ge 0$. Область определения функции $D(y)$ — это числовой луч $[0; +\infty)$.

Упростим выражение. По определению корня $n$-й степени, для любого четного $n$ и любого неотрицательного числа $a$ справедливо тождество $(\sqrt[n]{a})^n = a$. В нашем случае $n=4$, поэтому для всех $x$ из области определения ($x \ge 0$) выполняется равенство $(\sqrt[4]{x})^4 = x$.

Таким образом, исходная функция тождественно равна функции $y = x$ на ее области определения, то есть при $x \ge 0$.

Графиком функции $y = x$ при условии $x \ge 0$ является луч, выходящий из начала координат (точки $(0;0)$) и являющийся биссектрисой первого координатного угла.

Ответ: Графиком функции $y = (\sqrt[4]{x})^4$ является луч $y=x$, где $x \ge 0$.