Номер 8.18, страница 68 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

8.18. Решите уравнение:

1) $x^3 = 27;$

2) $x^5 = 9;$

3) $x^7 = -2;$

4) $x^4 = 16;$

5) $x^6 = 5;$

6) $x^4 = -81;$

7) $27x^3 - 1 = 0;$

8) $(x - 2)^3 = 125;$

9) $(x + 5)^4 = 10 000.$

1) Дано уравнение $x^3 = 27$. Чтобы найти $x$, нужно извлечь корень третьей (кубической) степени из обеих частей уравнения. Поскольку показатель степени нечетный, корень будет один. $x = \sqrt[3]{27}$. Так как $3^3 = 27$, то $x=3$.
Ответ: $3$.

2) Дано уравнение $x^5 = 9$. Чтобы найти $x$, извлечем корень пятой степени из обеих частей. Показатель степени нечетный, поэтому корень один. $x = \sqrt[5]{9}$. Это иррациональное число, оставим его в таком виде.
Ответ: $\sqrt[5]{9}$.

3) Дано уравнение $x^7 = -2$. Показатель степени (7) нечетный, поэтому уравнение имеет один действительный корень, и мы можем извлекать корень из отрицательного числа. $x = \sqrt[7]{-2}$. Это можно записать как $x = -\sqrt[7]{2}$.
Ответ: $-\sqrt[7]{2}$.

4) Дано уравнение $x^4 = 16$. Показатель степени (4) четный, а правая часть (16) — положительное число. Это означает, что уравнение имеет два действительных корня. $x = \pm\sqrt[4]{16}$. Поскольку $2^4 = 16$, то $x = \pm 2$.
Ответ: $-2; 2$.

5) Дано уравнение $x^6 = 5$. Показатель степени (6) — четный, а правая часть (5) — положительная. Уравнение имеет два действительных корня. $x = \pm\sqrt[6]{5}$.
Ответ: $-\sqrt[6]{5}; \sqrt[6]{5}$.

6) Дано уравнение $x^4 = -81$. Левая часть уравнения, $x^4$, представляет собой число $x$, возведенное в четную степень. Результат такого возведения для любого действительного числа $x$ всегда неотрицателен ($x^4 \ge 0$). Правая часть уравнения — отрицательное число ($-81$). Следовательно, уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: корней нет.

7) Дано уравнение $27x^3 - 1 = 0$. Сначала преобразуем уравнение, чтобы выделить $x^3$. Перенесем $-1$ в правую часть: $27x^3 = 1$. Разделим обе части на 27: $x^3 = \frac{1}{27}$. Теперь извлечем кубический корень из обеих частей: $x = \sqrt[3]{\frac{1}{27}} = \frac{1}{3}$.
Ответ: $\frac{1}{3}$.

8) Дано уравнение $(x - 2)^3 = 125$. Извлечем кубический корень из обеих частей уравнения. $x - 2 = \sqrt[3]{125}$. Так как $5^3=125$, то $x - 2 = 5$. Перенесем $-2$ в правую часть: $x = 5 + 2$, откуда $x = 7$.
Ответ: $7$.

9) Дано уравнение $(x + 5)^4 = 10000$. Показатель степени (4) четный, поэтому извлекаем корень четвертой степени и рассматриваем два случая. $x + 5 = \pm\sqrt[4]{10000}$. Поскольку $10^4=10000$, то $x+5 = \pm 10$.
1. $x + 5 = 10 \implies x = 10 - 5 \implies x = 5$.
2. $x + 5 = -10 \implies x = -10 - 5 \implies x = -15$.
Уравнение имеет два корня.
Ответ: $-15; 5$.