Номер 8, страница 67 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

8. Изобразите схематически график функции $y = \sqrt[2k]{x}$, $k \in N$.

Рассмотрим функцию $y = \sqrt[2k]{x}$, где $k \in \mathbb{N}$ (множество натуральных чисел, т.е. $k = 1, 2, 3, \ldots$).

Показатель корня в данной функции равен $n = 2k$. Поскольку $k$ - натуральное число, $n$ всегда будет четным натуральным числом ($2, 4, 6, \ldots$). Таким образом, мы имеем дело с функцией корня четной степени.

Для построения схематического графика проанализируем основные свойства этой функции:

1. Область определения. Корень четной степени определен только для неотрицательных подкоренных выражений. Следовательно, должно выполняться условие $x \ge 0$.
   Область определения функции: $D(y) = [0, +\infty)$.
2. Область значений. Арифметический корень четной степени из неотрицательного числа всегда является неотрицательным числом. Следовательно, $y \ge 0$.
   Область значений функции: $E(y) = [0, +\infty)$.
3. Ключевые точки. Найдем точки, через которые проходит график функции при любом натуральном $k$:
   • Если $x=0$, то $y = \sqrt[2k]{0} = 0$. График проходит через начало координат, точку $(0, 0)$.
   • Если $x=1$, то $y = \sqrt[2k]{1} = 1$. График проходит через точку $(1, 1)$.
4. Монотонность. Функция $y = \sqrt[2k]{x}$ является возрастающей на всей своей области определения. То есть, если $x_2 > x_1 \ge 0$, то $\sqrt[2k]{x_2} > \sqrt[2k]{x_1}$.
5. Влияние параметра $k$. Рассмотрим, как меняется график в зависимости от значения $k$. Сравним, например, графики для $k=1$ ($y=\sqrt{x}$) и для большего значения $k$, например $k=2$ ($y=\sqrt[4]{x}$).
   • При $0 < x < 1$: чем больше показатель корня $2k$, тем больше значение функции. Например, $\sqrt[4]{0.25} \approx 0.707$, а $\sqrt{0.25} = 0.5$. Таким образом, в интервале $(0, 1)$ график функции с большим $k$ будет лежать выше графика с меньшим $k$.
   • При $x > 1$: чем больше показатель корня $2k$, тем меньше значение функции. Например, $\sqrt[4]{16} = 2$, а $\sqrt{16} = 4$. Таким образом, в интервале $(1, +\infty)$ график функции с большим $k$ будет лежать ниже графика с меньшим $k$.
   Все графики пересекаются в точках $(0, 0)$ и $(1, 1)$.

Схематический график функции:

График представляет собой кривую, которая начинается в точке $(0, 0)$, проходит через точку $(1, 1)$ и уходит в бесконечность в первом координатном квадранте. Кривая выпукла вверх (вогнута). С увеличением $k$ кривая "прижимается" к оси $Oy$ на участке $(0, 1)$ и к оси $Ox$ на участке $(1, +\infty)$.

Ответ: График функции $y = \sqrt[2k]{x}$ при $k \in \mathbb{N}$ — это кривая, расположенная в первом координатном квадранте, выходящая из начала координат $(0, 0)$, проходящая через точку $(1, 1)$, и являющаяся возрастающей и выпуклой вверх на всей области определения $[0, +\infty)$. С увеличением $k$ график на интервале $(0,1)$ поднимается выше, а на интервале $(1, +\infty)$ опускается ниже. Схематическое изображение представлено выше.