Номер 4, страница 107 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

4. Решите уравнение $x + \sqrt{(x+6)(x-2)} = 2 + \sqrt{x+6} + \sqrt{x-2}$.

1. Определение области допустимых значений (ОДЗ)
Для того чтобы уравнение имело смысл, все выражения под знаком квадратного корня должны быть неотрицательными. Это приводит к системе неравенств:
$ \begin{cases} x + 6 \ge 0 \\ x - 2 \ge 0 \end{cases} $
Решая эту систему, получаем:
$ \begin{cases} x \ge -6 \\ x \ge 2 \end{cases} $
Общим решением системы является $x \ge 2$. При этом условии выражение $(x+6)(x-2)$ также будет неотрицательным.
Следовательно, ОДЗ уравнения: $x \in [2, \infty)$.

2. Преобразование и решение уравнения
На области допустимых значений справедливо равенство $\sqrt{(x+6)(x-2)} = \sqrt{x+6} \cdot \sqrt{x-2}$. Подставим это в исходное уравнение:
$x + \sqrt{x+6} \cdot \sqrt{x-2} = 2 + \sqrt{x+6} + \sqrt{x-2}$
Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения:
$x - 2 - \sqrt{x+6} - \sqrt{x-2} + \sqrt{x+6} \cdot \sqrt{x-2} = 0$
Сгруппируем слагаемые для разложения на множители:
$(x - 2 - \sqrt{x-2}) + (\sqrt{x+6}\sqrt{x-2} - \sqrt{x+6}) = 0$
Вынесем общие множители из каждой группы. Заметим, что $x-2$ можно представить как $(\sqrt{x-2})^2$:
$((\sqrt{x-2})^2 - \sqrt{x-2}) + \sqrt{x+6}(\sqrt{x-2} - 1) = 0$
$\sqrt{x-2}(\sqrt{x-2} - 1) + \sqrt{x+6}(\sqrt{x-2} - 1) = 0$
Теперь вынесем за скобки общий множитель $(\sqrt{x-2} - 1)$:
$(\sqrt{x-2} - 1)(\sqrt{x-2} + \sqrt{x+6}) = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

Случай А:
$\sqrt{x-2} - 1 = 0$
$\sqrt{x-2} = 1$
Возведем обе части в квадрат:
$x - 2 = 1$
$x = 3$
Найденный корень $x=3$ принадлежит ОДЗ ($3 \ge 2$), следовательно, является решением.

Случай Б:
$\sqrt{x-2} + \sqrt{x+6} = 0$
На ОДЗ $x \ge 2$ оба слагаемых $\sqrt{x-2}$ и $\sqrt{x+6}$ являются неотрицательными. Их сумма может быть равна нулю только в том случае, если оба слагаемых равны нулю одновременно.
$\sqrt{x-2} = 0 \Rightarrow x=2$
$\sqrt{x+6} = 0 \Rightarrow x=-6$
Так как не существует значения $x$, при котором оба условия выполняются одновременно, в этом случае решений нет.

3. Проверка
Единственное полученное решение - $x=3$. Выполним проверку, подставив его в исходное уравнение:
$3 + \sqrt{(3+6)(3-2)} = 2 + \sqrt{3+6} + \sqrt{3-2}$
$3 + \sqrt{9 \cdot 1} = 2 + \sqrt{9} + \sqrt{1}$
$3 + 3 = 2 + 3 + 1$
$6 = 6$
Равенство верное.

Ответ: $3$