Номер 9, страница 107 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

9. Решите неравенство $(x+2)\sqrt{(4-x)(5-x)} \ge 0$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ) неравенства. Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным:

$(4 - x)(5 - x) \ge 0$

Это квадратное неравенство. Корнями уравнения $(4 - x)(5 - x) = 0$ являются $x=4$ и $x=5$. Графиком функции $y = (4-x)(5-x) = x^2 - 9x + 20$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, выражение будет неотрицательным при значениях $x$, которые не лежат между корнями.

Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty, 4] \cup [5, \infty)$.

Решение исходного неравенства на этой области можно найти, рассмотрев два случая, которые в совокупности дают все решения.

Случай 1: Левая часть неравенства равна нулю.

Это происходит, когда $\sqrt{(4 - x)(5 - x)} = 0$, так как при этих значениях $x$ множитель $(x+2)$ не равен нулю. Условие $\sqrt{(4 - x)(5 - x)} = 0$ выполняется при $x = 4$ и $x = 5$. В этих точках неравенство принимает вид $0 \ge 0$, что является верным. Следовательно, $x=4$ и $x=5$ являются решениями.

Случай 2: Левая часть неравенства строго больше нуля.

Это возможно, только если оба множителя положительны (так как корень не может быть отрицательным). Это условие можно записать в виде системы неравенств:

Возведя второе неравенство в квадрат, получим равносильную систему:

Решая первое неравенство, получаем $x > -2$.

Решая второе неравенство, получаем $x \in (-\infty, 4) \cup (5, \infty)$.

Пересечение решений этих двух неравенств дает множество $x \in (-2, 4) \cup (5, \infty)$.

В качестве альтернативы для случая 2, можно было бы решать систему с нестрогим неравенством $x+2 \ge 0$ и строгим $(4-x)(5-x)>0$, что дало бы $x \in [-2, 4) \cup (5, \infty)$.

Итог:

Объединим решения, полученные в обоих случаях. Из первого случая имеем точки $\{4, 5\}$. Из второго случая — интервалы $[-2, 4) \cup (5, \infty)$ (используя второй подход, который сразу учитывает $x=-2$).

Объединение множеств $\{4, 5\} \cup ([-2, 4) \cup (5, \infty))$ дает итоговый результат.

Ответ: $x \in [-2, 4] \cup [5, \infty)$.