Номер 15, страница 107 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

15. Решите систему уравнений $ \begin{cases} \sqrt{2x+y+1} - \sqrt{x+y} = 1, \\ 3x+2y = 4. \end{cases} $

Решение:

1. Анализ системы и ОДЗ:
Выражения под корнями должны быть неотрицательными:
$2x + y + 1 \ge 0$ и $x + y \ge 0$.

2. Работа со вторым уравнением:
Заметим интересную особенность. Сумма выражений под корнями из первого уравнения связана со вторым уравнением:
$(2x + y + 1) + (x + y) = 3x + 2y + 1$.
Так как из второго уравнения $3x + 2y = 4$, то:
$(2x + y + 1) + (x + y) = 4 + 1 = 5$.

3. Введение замены:
Пусть $u = \sqrt{2x + y + 1}$ и $v = \sqrt{x + y}$, где $u, v \ge 0$.
Теперь мы можем переписать систему относительно $u$ и $v$:
$ \begin{cases} u - v = 1 \\ u^2 + v^2 = 5 \end{cases} $

4. Решение вспомогательной системы:
Из первого уравнения выразим $u$: $u = v + 1$.
Подставим во второе:
$(v + 1)^2 + v^2 = 5$
$v^2 + 2v + 1 + v^2 = 5$
$2v^2 + 2v - 4 = 0$
$v^2 + v - 2 = 0$
По теореме Виета корни: $v_1 = 1$, $v_2 = -2$.
Так как $v$ — это значение корня, оно не может быть отрицательным. Значит, подходит только $v = 1$.
Тогда $u = 1 + 1 = 2$.

5. Возврат к переменным $x$ и $y$:
Составим новую систему:
$ \begin{cases} \sqrt{x + y} = 1 \\ 3x + 2y = 4 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x + y = 1 \\ 3x + 2y = 4 \end{cases} $
Выразим $y$ из первого уравнения: $y = 1 - x$.
Подставим во второе:
$3x + 2(1 - x) = 4$
$3x + 2 - 2x = 4$
$x = 2$
Найдем $y$: $y = 1 - 2 = -1$.

6. Проверка ОДЗ:
Подставим $x=2, y=-1$ в подкоренные выражения:
$2(2) + (-1) + 1 = 4 > 0$ (верно)
$2 + (-1) = 1 > 0$ (верно)

Ответ: $(2; -1)$