Номер 15, страница 107 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

15. Решите систему уравнений $ \begin{cases} \sqrt{2x+y+1} - \sqrt{x+y} = 1, \\ 3x+2y = 4. \end{cases} $

Запишем исходную систему уравнений:

$$\begin{cases}\sqrt{2x + y + 1} - \sqrt{x + y} = 1 \\3x + 2y = 4\end{cases}$$

Для решения этой системы удобно использовать метод введения новых переменных. Пусть $a = \sqrt{2x + y + 1}$ и $b = \sqrt{x + y}$. Поскольку значение квадратного корня не может быть отрицательным, должно выполняться условие $a \ge 0$ и $b \ge 0$.

С новыми переменными первое уравнение системы принимает вид:

$a - b = 1$

Из этого уравнения следует, что $a = b + 1$. Так как $b \ge 0$, то $a \ge 1$.

Теперь выразим $x$ и $y$ через $a$ и $b$. Для этого возведем в квадрат выражения для $a$ и $b$:

$a^2 = 2x + y + 1$

$b^2 = x + y$

Вычтем из первого выражения второе, чтобы найти связь с $x$:

$a^2 - b^2 = (2x + y + 1) - (x + y) = 2x + y + 1 - x - y = x + 1$

Отсюда получаем выражение для $x$:

$x = a^2 - b^2 - 1$

Теперь найдем $y$. Из выражения $b^2 = x + y$ следует $y = b^2 - x$. Подставим найденное выражение для $x$:

$y = b^2 - (a^2 - b^2 - 1) = b^2 - a^2 + b^2 + 1 = 2b^2 - a^2 + 1$

Подставим полученные выражения для $x$ и $y$ во второе уравнение исходной системы $3x + 2y = 4$:

$3(a^2 - b^2 - 1) + 2(2b^2 - a^2 + 1) = 4$

Раскроем скобки и упростим уравнение:

$3a^2 - 3b^2 - 3 + 4b^2 - 2a^2 + 2 = 4$

$a^2 + b^2 - 1 = 4$

$a^2 + b^2 = 5$

Теперь у нас есть система уравнений для $a$ и $b$:

$$\begin{cases}a - b = 1 \\a^2 + b^2 = 5\end{cases}$$

Из первого уравнения выразим $a = b + 1$ и подставим во второе:

$(b+1)^2 + b^2 = 5$

$b^2 + 2b + 1 + b^2 = 5$

$2b^2 + 2b - 4 = 0$

Разделим уравнение на 2:

$b^2 + b - 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Его можно разложить на множители:

$(b+2)(b-1) = 0$

Корни уравнения: $b_1 = -2$ и $b_2 = 1$.

Согласно условию $b = \sqrt{x+y} \ge 0$, корень $b_1 = -2$ является посторонним. Следовательно, единственное возможное значение для $b$ это $b = 1$.

Найдем соответствующее значение $a$:

$a = b + 1 = 1 + 1 = 2$.

Значение $a=2$ удовлетворяет условию $a \ge 1$.

Теперь, зная значения $a=2$ и $b=1$, найдем $x$ и $y$:

$x = a^2 - b^2 - 1 = 2^2 - 1^2 - 1 = 4 -