Номер 16, страница 107 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

16. Решите систему уравнений

$ \begin{cases} 9x^2 + \sqrt{9x^2 + 2y + 1} = 1 - 2y, \\ 6x + y = 2. \end{cases} $

Рассмотрим данную систему уравнений:

$\begin{cases}9x^2 + \sqrt{9x^2 + 2y + 1} = 1 - 2y, \\6x + y = 2.\end{cases}$

Преобразуем первое уравнение системы. Заметим, что выражение $9x^2$ присутствует как вне, так и внутри корня. Перенесем слагаемое $-2y$ из правой части в левую:

$9x^2 + 2y + \sqrt{9x^2 + 2y + 1} = 1$

Чтобы сделать выражение вне корня идентичным подкоренному выражению, прибавим 1 к обеим частям уравнения:

$(9x^2 + 2y + 1) + \sqrt{9x^2 + 2y + 1} = 1 + 1$

$(9x^2 + 2y + 1) + \sqrt{9x^2 + 2y + 1} = 2$

Введем новую переменную для упрощения уравнения. Пусть $t = \sqrt{9x^2 + 2y + 1}$. Согласно определению арифметического квадратного корня, должно выполняться условие $t \ge 0$.

Тогда $t^2 = (\sqrt{9x^2 + 2y + 1})^2 = 9x^2 + 2y + 1$.

Подставим $t$ и $t^2$ в преобразованное уравнение:

$t^2 + t = 2$

Перенесем 2 в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$t^2 + t - 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $t$. По теореме Виета, сумма корней равна $-1$, а их произведение равно $-2$. Корнями являются:

$t_1 = 1$ и $t_2 = -2$.

Так как мы ввели условие $t \ge 0$, корень $t_2 = -2$ является посторонним и не подходит.

Таким образом, остается единственный корень $t = 1$.

Выполним обратную замену:

$\sqrt{9x^2 + 2y + 1} = 1$

Возведем обе части в квадрат:

$9x^2 + 2y + 1 = 1^2$

$9x^2 + 2y + 1 = 1$

$9x^2 + 2y = 0$

Теперь исходная система может быть заменена на более простую эквивалентную систему:

$\begin{cases}9x^2 + 2y = 0, \\6x + y = 2.\end{cases}$

Решим эту систему методом подстановки. Из второго уравнения выразим $y$ через $x$:

$y = 2 - 6x$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$9x^2 + 2(2 - 6x) = 0$

$9x^2 + 4 - 12x = 0$

$9x^2 - 12x + 4 = 0$

Полученное квадратное уравнение для $x$ является полным квадратом разности:

$(3x)^2 - 2 \cdot (3x) \cdot 2 + 2^2 = 0$

$(3x - 2)^2 = 0$

Отсюда следует, что:

$3x - 2 = 0 \implies 3x = 2 \implies x = \frac{2}{3}$

Теперь найдем соответствующее значение $y$, подставив $x = \frac{2}{3}$ в выражение $y = 2 - 6x$:

$y = 2 - 6 \cdot \frac{2}{3} = 2 - 2 \cdot 2 = 2 - 4 = -2$

Таким образом, мы нашли единственное возможное решение системы: $(\frac{2}{3}, -2)$.

Проверим, удовлетворяет ли найденная пара чисел исходной системе.

Подставим $x = \frac{2}{3}$ и $y = -2$ во второе уравнение:

$6(\frac{2}{3}) + (-2) = 4 - 2 = 2$. Равенство $2=2$ верно.

Подставим $x = \frac{2}{3}$ и $y = -2$ в первое уравнение:

$9(\frac{2}{3})^2 + \sqrt{9(\frac{2}{3})^2 + 2(-2) + 1} = 1 - 2(-2)$

$9 \cdot \frac{4}{9} + \sqrt{9 \cdot \frac{4}{9} - 4 + 1} = 1 + 4$

$4 + \sqrt{4 - 4 + 1} = 5$

$4 + \sqrt{1} = 5$

$4 + 1 = 5$

$5 = 5$. Равенство верно.

Оба уравнения обращаются в верные равенства, значит, решение найдено правильно.

Ответ: $(\frac{2}{3}; -2)$.