Номер 10, страница 107 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

10. Решите неравенство $(x^2 - 1)\sqrt{x^2 - 4} \le 0$.

Решим неравенство $(x^2-1)\sqrt{x^2-4} \le 0$.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение, находящееся под знаком квадратного корня, должно быть неотрицательным:

$x^2 - 4 \ge 0$

Разложим левую часть неравенства на множители:

$(x-2)(x+2) \ge 0$

Решением данного квадратичного неравенства является объединение промежутков $x \in (-\infty, -2] \cup [2, \infty)$. Это и есть ОДЗ для исходного неравенства.

2. Теперь решим само неравенство. Оно представляет собой произведение двух множителей: $(x^2-1)$ и $\sqrt{x^2-4}$.

На всей области допустимых значений множитель $\sqrt{x^2-4}$ является неотрицательным, то есть $\sqrt{x^2-4} \ge 0$.

Произведение неотрицательного множителя $\sqrt{x^2-4}$ и множителя $(x^2-1)$ будет меньше или равно нулю в двух случаях:

• Когда произведение равно нулю. Это возможно, если один из множителей равен нулю (при условии, что второй множитель существует).

  Если $\sqrt{x^2-4} = 0$, то $x^2-4=0$, откуда получаем $x_1 = 2$ и $x_2 = -2$. Оба этих значения входят в ОДЗ, следовательно, они являются решениями.

  Если $x^2-1 = 0$, то $x_3 = 1$ и $x_4 = -1$. Однако, эти значения не входят в ОДЗ $x \in (-\infty, -2] \cup [2, \infty)$, поэтому они не являются решениями.

• Когда произведение строго меньше нуля. Так как для $x \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty)$ множитель $\sqrt{x^2-4}$ строго положителен, то для выполнения неравенства $(x^2-1)\sqrt{x^2-4} < 0$ необходимо, чтобы второй множитель был отрицательным:

  $x^2-1 < 0$

  $(x-1)(x+1) < 0$

  Решением этого неравенства является интервал $x \in (-1, 1)$.

3. Найдем общее решение. Для этого нужно найти пересечение множества решений $x \in (-1, 1)$ с той частью ОДЗ, где $\sqrt{x^2-4} > 0$, то есть с $x \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty)$.

Пересечение $(-1, 1) \cap \left( (-\infty, -2) \cup (2, \infty) \right)$ является пустым множеством, так как нет таких значений $x$, которые одновременно принадлежали бы обоим множествам.

Таким образом, единственными решениями исходного неравенства являются значения, при которых оно обращается в ноль.

Ответ: $\{-2, 2\}$.