Номер 33.6, страница 244 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

33.6. Выясните, является ли непрерывной функция $f$ в точке $x_0$:

1) $f(x) = x^2 - 1$, $x_0 = -1$;

2) $f(x) = \sqrt{x}$, $x_0 = 4$;

3) $f(x) = \frac{|x|}{x}$, $x_0 = 1$;

4) $f(x) = \sqrt{-x}$, $x_0 = -1$.

1) Для функции $f(x) = x^2 - 1$ в точке $x_0 = -1$.
Функция считается непрерывной в точке $x_0$, если она определена в этой точке и ее предел в этой точке равен ее значению, то есть $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$.
1. Найдем значение функции в точке $x_0 = -1$:
$f(-1) = (-1)^2 - 1 = 1 - 1 = 0$.
2. Найдем предел функции в этой точке. Так как $f(x)$ — это многочлен, она является элементарной функцией, непрерывной на всей числовой оси. Поэтому предел можно найти прямой подстановкой:
$\lim_{x \to -1} (x^2 - 1) = (-1)^2 - 1 = 0$.
3. Сравниваем значение функции и ее предел в точке $x_0 = -1$:
$f(-1) = 0$ и $\lim_{x \to -1} f(x) = 0$.
Поскольку предел функции равен ее значению в точке $x_0 = -1$, функция является непрерывной в этой точке.
Ответ: да, является непрерывной.

2) Для функции $f(x) = \sqrt{x}$ в точке $x_0 = 4$.
Область определения функции $D(f): x \ge 0$, то есть $D(f) = [0; +\infty)$. Точка $x_0 = 4$ принадлежит области определения.
1. Найдем значение функции в точке $x_0 = 4$:
$f(4) = \sqrt{4} = 2$.
2. Найдем предел функции в этой точке. Функция $f(x) = \sqrt{x}$ является элементарной и непрерывна во всех точках своей области определения.
$\lim_{x \to 4} \sqrt{x} = \sqrt{4} = 2$.
3. Сравниваем: $\lim_{x \to 4} f(x) = 2$ и $f(4) = 2$.
Поскольку предел функции равен ее значению в точке $x_0 = 4$, функция является непрерывной в этой точке.
Ответ: да, является непрерывной.

3) Для функции $f(x) = \frac{|x|}{x}$ в точке $x_0 = 1$.
Область определения функции $D(f): x \ne 0$, то есть $D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Точка $x_0 = 1$ принадлежит области определения.
1. Найдем значение функции в точке $x_0 = 1$:
$f(1) = \frac{|1|}{1} = \frac{1}{1} = 1$.
2. Найдем предел функции в этой точке. В окрестности точки $x_0 = 1$ (например, при $x > 0$), имеем $|x| = x$. Таким образом, для всех $x > 0$ функция принимает вид $f(x) = \frac{x}{x} = 1$.
Следовательно, предел функции равен:
$\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} 1 = 1$.
3. Сравниваем: $\lim_{x \to 1} f(x) = 1$ и $f(1) = 1$.
Поскольку предел функции равен ее значению в точке $x_0 = 1$, функция является непрерывной в этой точке.
Ответ: да, является непрерывной.

4) Для функции $f(x) = \sqrt{-x}$ в точке $x_0 = -1$.
Область определения функции задается условием $-x \ge 0$, то есть $x \le 0$. Таким образом, $D(f) = (-\infty; 0]$. Точка $x_0 = -1$ принадлежит области определения.
1. Найдем значение функции в точке $x_0 = -1$:
$f(-1) = \sqrt{-(-1)} = \sqrt{1} = 1$.
2. Найдем предел функции в этой точке. Функция $f(x) = \sqrt{-x}$ является элементарной и непрерывна во всех точках своей области определения.
$\lim_{x \to -1} \sqrt{-x} = \sqrt{-(-1)} = \sqrt{1} = 1$.
3. Сравниваем: $\lim_{x \to -1} f(x) = 1$ и $f(-1) = 1$.
Поскольку предел функции равен ее значению в точке $x_0 = -1$, функция является непрерывной в этой точке.
Ответ: да, является непрерывной.