Номер 33.7, страница 244 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

33.7. Выясните, является ли непрерывной функция $f$ в точке $x_0$:

1) $f(x) = \begin{cases} x^2, & \text{если } x < 2, \\ x+2, & \text{если } x \ge 2, \end{cases}$ $x_0 = 2;

2) $f(x) = \begin{cases} \frac{x}{x}, & \text{если } x \ne 0, \\ 1, & \text{если } x = 0, \end{cases}$ $x_0 = 0;

3) $f(x) = \begin{cases} x^2, & \text{если } x > 1, \\ x-2, & \text{если } x \le 1, \end{cases}$ $x_0 = 1.

Для того чтобы выяснить, является ли функция $f(x)$ непрерывной в точке $x_0$, необходимо проверить выполнение трех условий непрерывности:

1. Функция $f(x)$ определена в точке $x_0$, то есть существует значение $f(x_0)$.
2. Существует предел функции в точке $x_0$, то есть левосторонний и правосторонний пределы равны: $\lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x)$.
3. Предел функции в точке $x_0$ равен значению функции в этой точке: $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$.

1) Дана функция $f(x) = \begin{cases} x^2, & \text{если } x < 2, \\ x+2, & \text{если } x \ge 2 \end{cases}$ в точке $x_0=2$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0=2$.
Поскольку $x_0=2$ удовлетворяет условию $x \ge 2$, используем вторую ветвь функции:
$f(2) = 2 + 2 = 4$.
Функция определена в точке $x_0=2$.

2. Найдем левосторонний и правосторонний пределы функции в точке $x_0=2$.
Левосторонний предел (при $x \to 2^-$, то есть $x < 2$):
$\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} x^2 = 2^2 = 4$.
Правосторонний предел (при $x \to 2^+$, то есть $x > 2$):
$\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} (x+2) = 2+2 = 4$.

3. Сравним пределы и значение функции.
Левосторонний и правосторонний пределы равны, значит, предел функции в точке $x_0=2$ существует: $\lim_{x \to 2} f(x) = 4$.
Значение предела совпадает со значением функции в этой точке: $\lim_{x \to 2} f(x) = f(2) = 4$.
Все три условия непрерывности выполняются.

Ответ: функция является непрерывной в точке $x_0=2$.

2) Дана функция $f(x) = \begin{cases} \frac{x}{x}, & \text{если } x \ne 0, \\ 1, & \text{если } x = 0 \end{cases}$ в точке $x_0=0$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0=0$.
По определению функции, при $x=0$ имеем:
$f(0) = 1$.
Функция определена в точке $x_0=0$.

2. Найдем предел функции в точке $x_0=0$.
При $x \to 0$, $x$ не равно нулю ($x \ne 0$), поэтому используем первую ветвь функции:
$\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} \frac{x}{x} = \lim_{x \to 0} 1 = 1$.
Предел существует и равен 1.

3. Сравним предел и значение функции.
Значение предела совпадает со значением функции в этой точке: $\lim_{x \to 0} f(x) = f(0) = 1$.
Все три условия непрерывности выполняются.

Ответ: функция является непрерывной в точке $x_0=0$.

3) Дана функция $f(x) = \begin{cases} x^2, & \text{если } x > 1, \\ x-2, & \text{если } x \le 1 \end{cases}$ в точке $x_0=1$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0=1$.
Поскольку $x_0=1$ удовлетворяет условию $x \le 1$, используем вторую ветвь функции:
$f(1) = 1 - 2 = -1$.
Функция определена в точке $x_0=1$.

2. Найдем левосторонний и правосторонний пределы функции в точке $x_0=1$.
Левосторонний предел (при $x \to 1^-$, то есть $x < 1$):
$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (x-2) = 1-2 = -1$.
Правосторонний предел (при $x \to 1^+$, то есть $x > 1$):
$\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} x^2 = 1^2 = 1$.

3. Сравним пределы.
Левосторонний предел не равен правостороннему: $\lim_{x \to 1^-} f(x) \ne \lim_{x \to 1^+} f(x)$, так как $-1 \ne 1$.
Следовательно, предел функции в точке $x_0=1$ не существует. Второе условие непрерывности не выполняется, поэтому функция имеет разрыв первого рода (скачок).

Ответ: функция не является непрерывной в точке $x_0=1$.