Страница 245 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

33.8. Является ли непрерывной функция $f$ в точке $x_0$:

1) $f(x) = \begin{cases} \frac{6}{x}, & \text{если } x < -2, \\ x - 1, & \text{если } x \ge -2, \end{cases}$ $x_0 = -2;$

2) $f(x) = \begin{cases} 0,5x^2, & \text{если } x \le -1, \\ x + 3, & \text{если } x > -1, \end{cases}$ $x_0 = -1?$

1)

Функция является непрерывной в точке $x_0$, если ее предел в этой точке существует и равен значению функции в этой точке. Это означает, что левосторонний и правосторонний пределы должны существовать, быть равными друг другу и равняться значению функции в точке $x_0$: $\lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x) = f(x_0)$.

Проверим это условие для функции $f(x) = \begin{cases} \frac{6}{x}, & \text{если } x < -2 \\ x-1, & \text{если } x \ge -2 \end{cases}$ в точке $x_0 = -2$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = -2$.
Поскольку $-2 \ge -2$, используем второе выражение: $f(x) = x-1$.
$f(-2) = -2 - 1 = -3$.

2. Найдем левосторонний предел (при $x \to -2^-$, то есть $x < -2$).
Используем первое выражение: $f(x) = \frac{6}{x}$.
$\lim_{x \to -2^-} f(x) = \lim_{x \to -2^-} \frac{6}{x} = \frac{6}{-2} = -3$.

3. Найдем правосторонний предел (при $x \to -2^+$, то есть $x > -2$).
Используем второе выражение: $f(x) = x-1$.
$\lim_{x \to -2^+} f(x) = \lim_{x \to -2^+} (x-1) = -2 - 1 = -3$.

Так как левосторонний предел, правосторонний предел и значение функции в точке равны между собой: $\lim_{x \to -2^-} f(x) = \lim_{x \to -2^+} f(x) = f(-2) = -3$, то функция является непрерывной в точке $x_0 = -2$.

Ответ: да, функция непрерывна в точке $x_0 = -2$.

2)

Проверим непрерывность функции $f(x) = \begin{cases} 0,5x^2, & \text{если } x \le -1 \\ x+3, & \text{если } x > -1 \end{cases}$ в точке $x_0 = -1$.

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = -1$.
Поскольку $-1 \le -1$, используем первое выражение: $f(x) = 0,5x^2$.
$f(-1) = 0,5 \cdot (-1)^2 = 0,5 \cdot 1 = 0,5$.

2. Найдем левосторонний предел (при $x \to -1^-$, то есть $x < -1$).
Используем первое выражение: $f(x) = 0,5x^2$.
$\lim_{x \to -1^-} f(x) = \lim_{x \to -1^-} 0,5x^2 = 0,5 \cdot (-1)^2 = 0,5$.

3. Найдем правосторонний предел (при $x \to -1^+$, то есть $x > -1$).
Используем второе выражение: $f(x) = x+3$.
$\lim_{x \to -1^+} f(x) = \lim_{x \to -1^+} (x+3) = -1 + 3 = 2$.

Так как левосторонний предел не равен правостороннему пределу ($\lim_{x \to -1^-} f(x) = 0,5$, а $\lim_{x \to -1^+} f(x) = 2$), то предел функции в точке $x_0 = -1$ не существует. Следовательно, функция не является непрерывной в этой точке (имеет разрыв первого рода).

Ответ: нет, функция не является непрерывной в точке $x_0 = -1$.

33.9. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку $A(-3; 7)$, угловой коэффициент которой равен:

1) 4;

2) -3;

3) 0.

Для нахождения уравнения прямой, проходящей через заданную точку $A(x_0; y_0)$ с известным угловым коэффициентом $k$, используется формула:

$y - y_0 = k(x - x_0)$

В данном случае, точка $A$ имеет координаты $(-3; 7)$, то есть $x_0 = -3$ и $y_0 = 7$.

1) Угловой коэффициент $k = 4$.

Подставляем значения в формулу:

$y - 7 = 4(x - (-3))$

$y - 7 = 4(x + 3)$

Раскроем скобки и выразим $y$:

$y - 7 = 4x + 12$

$y = 4x + 12 + 7$

$y = 4x + 19$

Ответ: $y = 4x + 19$.

2) Угловой коэффициент $k = -3$.

Подставляем значения в формулу:

$y - 7 = -3(x - (-3))$

$y - 7 = -3(x + 3)$

Раскроем скобки и выразим $y$:

$y - 7 = -3x - 9$

$y = -3x - 9 + 7$

$y = -3x - 2$

Ответ: $y = -3x - 2$.

3) Угловой коэффициент $k = 0$.

Подставляем значения в формулу:

$y - 7 = 0(x - (-3))$

$y - 7 = 0$

$y = 7$

Это уравнение прямой, параллельной оси абсцисс.

Ответ: $y = 7$.

33.10. Какой угол образует с положительным направлением оси абсцисс прямая:

1) $y = x - 6$;

2) $y = 1 - x$;

3) $y = 3?$

Угол $\alpha$, который образует прямая с положительным направлением оси абсцисс, определяется через ее угловой коэффициент $k$ в уравнении прямой $y = kx + b$. Связь задается формулой $k = \tan(\alpha)$. Угол наклона прямой $\alpha$ по определению находится в диапазоне $[0^\circ; 180^\circ)$.

1) $y = x - 6$
Данное уравнение представлено в стандартном виде $y = kx + b$. Сравнивая его с заданным уравнением $y = 1 \cdot x - 6$, находим угловой коэффициент $k$.
$k = 1$.
Теперь найдем угол $\alpha$ из соотношения $k = \tan(\alpha)$.
$\tan(\alpha) = 1$.
Угол в диапазоне $[0^\circ; 180^\circ)$, тангенс которого равен 1, это $45^\circ$.
$\alpha = \arctan(1) = 45^\circ$.
Ответ: $45^\circ$.

2) $y = 1 - x$
Для нахождения углового коэффициента представим уравнение в стандартном виде $y = kx + b$:
$y = -x + 1$ или $y = (-1) \cdot x + 1$.
Отсюда угловой коэффициент $k = -1$.
Найдем угол $\alpha$ из соотношения $k = \tan(\alpha)$.
$\tan(\alpha) = -1$.
Так как угловой коэффициент отрицательный, угол наклона будет тупым ($90^\circ < \alpha < 180^\circ$). Угол в искомом диапазоне, тангенс которого равен -1, это $135^\circ$.
$\alpha = \arctan(-1) = 135^\circ$.
Ответ: $135^\circ$.

3) $y = 3$
Это уравнение горизонтальной прямой, которая параллельна оси абсцисс. Представим его в стандартном виде $y = kx + b$:
$y = 0 \cdot x + 3$.
Угловой коэффициент $k = 0$.
Найдем угол $\alpha$ из соотношения $k = \tan(\alpha)$.
$\tan(\alpha) = 0$.
Угол в диапазоне $[0^\circ; 180^\circ)$, тангенс которого равен 0, это $0^\circ$.
$\alpha = \arctan(0) = 0^\circ$.
Ответ: $0^\circ$.

33.11. Составьте уравнение прямой, которая проходит через точку A (2; 6) и образует с положительным направлением оси абсцисс угол:

1) $60^\circ$;

2) $120^\circ$.

Для решения задачи воспользуемся уравнением прямой, проходящей через заданную точку $(x_0; y_0)$ с известным угловым коэффициентом $k$: $y - y_0 = k(x - x_0)$.

Угловой коэффициент $k$ прямой равен тангенсу угла $\alpha$, который эта прямая образует с положительным направлением оси абсцисс: $k = \tan(\alpha)$.

По условию задачи прямая проходит через точку $A(2; 6)$, значит $x_0 = 2$ и $y_0 = 6$.

Найдем угловой коэффициент $k$ для угла $\alpha = 60°$.

$k = \tan(60°) = \sqrt{3}$

Теперь подставим известные значения $x_0 = 2$, $y_0 = 6$ и $k = \sqrt{3}$ в уравнение прямой:

$y - 6 = \sqrt{3}(x - 2)$

Преобразуем уравнение к виду $y = kx + b$:

$y - 6 = \sqrt{3}x - 2\sqrt{3}$

$y = \sqrt{3}x + 6 - 2\sqrt{3}$

Ответ: $y = \sqrt{3}x + 6 - 2\sqrt{3}$.

Найдем угловой коэффициент $k$ для угла $\alpha = 120°$.

$k = \tan(120°) = \tan(180° - 60°) = -\tan(60°) = -\sqrt{3}$

Подставим известные значения $x_0 = 2$, $y_0 = 6$ и $k = -\sqrt{3}$ в уравнение прямой:

$y - 6 = -\sqrt{3}(x - 2)$

Преобразуем уравнение к виду $y = kx + b$:

$y - 6 = -\sqrt{3}x + 2\sqrt{3}$

$y = -\sqrt{3}x + 6 + 2\sqrt{3}$

Ответ: $y = -\sqrt{3}x + 6 + 2\sqrt{3}$.