Страница 250 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

34.1. Найдите приращение функции $f$ в точке $x_0$, если:

1) $f(x) = 2x - 1, x_0 = -1, \Delta x = 0,2;$

2) $f(x) = 3x^2 - 2x, x_0 = 2, \Delta x = 0,1;$

3) $f(x) = \frac{6}{x}, x_0 = 1,2, \Delta x = -0,3.$

Приращение функции $Δf$ в точке $x_0$ — это разность между значением функции в новой точке $x_0 + Δx$ и значением функции в начальной точке $x_0$. Оно вычисляется по формуле:

$Δf = f(x_0 + Δx) - f(x_0)$

Для решения каждой задачи мы будем следовать этому определению.

1) Дано: $f(x) = 2x - 1$, $x_0 = -1$, $Δx = 0,2$.

Сначала найдем значение аргумента в новой точке:

$x_0 + Δx = -1 + 0,2 = -0,8$.

Теперь вычислим значения функции в начальной точке $x_0$ и в новой точке $x_0 + Δx$:

$f(x_0) = f(-1) = 2 \cdot (-1) - 1 = -2 - 1 = -3$.

$f(x_0 + Δx) = f(-0,8) = 2 \cdot (-0,8) - 1 = -1,6 - 1 = -2,6$.

Найдем приращение функции как разность этих значений:

$Δf = f(x_0 + Δx) - f(x_0) = -2,6 - (-3) = -2,6 + 3 = 0,4$.

Ответ: $0,4$.

2) Дано: $f(x) = 3x^2 - 2x$, $x_0 = 2$, $Δx = 0,1$.

Найдем значение аргумента в новой точке:

$x_0 + Δx = 2 + 0,1 = 2,1$.

Вычислим значения функции в точках $x_0$ и $x_0 + Δx$:

$f(x_0) = f(2) = 3 \cdot 2^2 - 2 \cdot 2 = 3 \cdot 4 - 4 = 12 - 4 = 8$.

$f(x_0 + Δx) = f(2,1) = 3 \cdot (2,1)^2 - 2 \cdot 2,1 = 3 \cdot 4,41 - 4,2 = 13,23 - 4,2 = 9,03$.

Теперь найдем приращение функции:

$Δf = f(x_0 + Δx) - f(x_0) = 9,03 - 8 = 1,03$.

Ответ: $1,03$.

3) Дано: $f(x) = \frac{6}{x}$, $x_0 = 1,2$, $Δx = -0,3$.

Найдем значение аргумента в новой точке:

$x_0 + Δx = 1,2 + (-0,3) = 1,2 - 0,3 = 0,9$.

Вычислим значения функции в начальной и новой точках:

$f(x_0) = f(1,2) = \frac{6}{1,2} = \frac{60}{12} = 5$.

$f(x_0 + Δx) = f(0,9) = \frac{6}{0,9} = \frac{60}{9} = \frac{20}{3}$.

Найдем приращение функции:

$Δf = f(x_0 + Δx) - f(x_0) = \frac{20}{3} - 5 = \frac{20}{3} - \frac{15}{3} = \frac{5}{3}$.

Ответ: $\frac{5}{3}$.

34.2. Найдите приращение функции $f$ в точке $x_0$, если:

1) $f(x) = 4 - 3x$, $x_0 = 1$, $\Delta x = 0,3$;

2) $f(x) = 0,5x^2$, $x_0 = -2$, $\Delta x = 0,8$.

1) Приращение функции $Δf$ в точке $x_0$ вычисляется по формуле $Δf = f(x_0 + Δx) - f(x_0)$.
По условию имеем: $f(x) = 4 - 3x$, $x_0 = 1$, $Δx = 0,3$.
Сначала найдем значение функции в начальной точке $x_0$:
$f(x_0) = f(1) = 4 - 3 \cdot 1 = 4 - 3 = 1$.
Далее найдем новое значение аргумента $x_0 + Δx$:
$x_0 + Δx = 1 + 0,3 = 1,3$.
Теперь вычислим значение функции в новой точке $f(x_0 + Δx)$:
$f(1,3) = 4 - 3 \cdot 1,3 = 4 - 3,9 = 0,1$.
Наконец, найдем приращение функции как разность значений функции в новой и начальной точках:
$Δf = f(x_0 + Δx) - f(x_0) = 0,1 - 1 = -0,9$.
Ответ: -0,9

2) Используем ту же формулу для нахождения приращения функции: $Δf = f(x_0 + Δx) - f(x_0)$.
По условию имеем: $f(x) = 0,5x^2$, $x_0 = -2$, $Δx = 0,8$.
Найдем значение функции в точке $x_0$:
$f(x_0) = f(-2) = 0,5 \cdot (-2)^2 = 0,5 \cdot 4 = 2$.
Найдем новое значение аргумента $x_0 + Δx$:
$x_0 + Δx = -2 + 0,8 = -1,2$.
Вычислим значение функции в точке $x_0 + Δx$:
$f(-1,2) = 0,5 \cdot (-1,2)^2 = 0,5 \cdot 1,44 = 0,72$.
Теперь можем найти приращение функции:
$Δf = f(x_0 + Δx) - f(x_0) = 0,72 - 2 = -1,28$.
Ответ: -1,28

34.3. Для функции $f(x)=x^2-3x$ выразите приращение $\Delta f$ функции $f$ в точке $x_0$ через $x_0$ и $x$. Найдите $\Delta f$, если:

1) $x_0=3, x=2,5;$

2) $x_0=-2, x=-1.$

Приращение функции $\Delta f$ в точке $x_0$ определяется как разность значений функции в точках $x$ и $x_0$: $\Delta f = f(x) - f(x_0)$.
Для данной функции $f(x) = x^2 - 3x$ найдем выражение для $\Delta f$ через $x_0$ и $x$.
Сначала найдем значения функции в точках $x$ и $x_0$:
$f(x) = x^2 - 3x$
$f(x_0) = x_0^2 - 3x_0$
Теперь вычтем $f(x_0)$ из $f(x)$:
$\Delta f = (x^2 - 3x) - (x_0^2 - 3x_0) = x^2 - 3x - x_0^2 + 3x_0$
Сгруппируем слагаемые для упрощения:
$\Delta f = (x^2 - x_0^2) - (3x - 3x_0)$
Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ и вынесем общий множитель -3 из второй скобки:
$\Delta f = (x - x_0)(x + x_0) - 3(x - x_0)$
Вынесем общий множитель $(x - x_0)$ за скобки и получим итоговое выражение для приращения функции:
$\Delta f = (x - x_0)(x + x_0 - 3)$

Теперь используем эту формулу для нахождения $\Delta f$ в заданных случаях.

1) Дано: $x_0 = 3$, $x = 2,5$.
Подставим значения в полученную формулу:
$\Delta f = (2,5 - 3)(2,5 + 3 - 3) = (-0,5)(2,5) = -1,25$.
Ответ: $-1,25$.

2) Дано: $x_0 = -2$, $x = -1$.
Подставим значения в формулу:
$\Delta f = (-1 - (-2))(-1 + (-2) - 3) = (-1 + 2)(-1 - 2 - 3) = (1)(-6) = -6$.
Ответ: $-6$.

34.4. Для функции $f(x) = x^3$ выразите приращение $\Delta f$ функции $f$ в точке $x_0$ через $x_0$ и $x$. Найдите $\Delta f$, если $x_0 = 0,5$, $x = 0,4$.

Для функции $f(x) = x^3$ выразите приращение $\Delta f$ функции $f$ в точке $x_0$ через $x_0$ и $x$.

Приращение функции $\Delta f$ в точке $x_0$ представляет собой разность между значением функции в новой точке $x$ и значением функции в исходной точке $x_0$. Общая формула для приращения функции выглядит следующим образом:

$$ \Delta f = f(x) - f(x_0) $$

В нашем случае дана функция $f(x) = x^3$.

Подставим выражение для нашей функции в общую формулу приращения:

$$ \Delta f = x^3 - x_0^3 $$

Это и есть выражение для приращения функции $f(x) = x^3$ в точке $x_0$.

Ответ: $\Delta f = x^3 - x_0^3$.

Найдите $\Delta f$, если $x_0 = 0,5$, $x = 0,4$.

Воспользуемся полученной выше формулой $\Delta f = x^3 - x_0^3$ и подставим в нее заданные значения $x_0 = 0,5$ и $x = 0,4$.

$$ \Delta f = (0,4)^3 - (0,5)^3 $$

Вычислим значения кубов каждого из чисел:

$$ (0,4)^3 = 0,4 \cdot 0,4 \cdot 0,4 = 0,16 \cdot 0,4 = 0,064 $$

$$ (0,5)^3 = 0,5 \cdot 0,5 \cdot 0,5 = 0,25 \cdot 0,5 = 0,125 $$

Теперь найдем разность, чтобы вычислить приращение функции:

$$ \Delta f = 0,064 - 0,125 = -0,061 $$

Ответ: $-0,061$.

34.5. Для функции $f(x) = x^2 - x$ и точки $x_0$ найдите $\frac{\Delta f}{\Delta x}$ и $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x}$.

Найдем $\frac{\Delta f}{\Delta x}$
Для функции $f(x) = x^2 - x$ и точки $x_0$ найдем приращение функции $\Delta f$. По определению, приращение функции равно:
$\Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$.
Сначала вычислим значения функции в точках $x_0 + \Delta x$ и $x_0$:
$f(x_0) = x_0^2 - x_0$
$f(x_0 + \Delta x) = (x_0 + \Delta x)^2 - (x_0 + \Delta x) = (x_0^2 + 2x_0\Delta x + (\Delta x)^2) - x_0 - \Delta x = x_0^2 + 2x_0\Delta x + (\Delta x)^2 - x_0 - \Delta x$.
Теперь найдем разность этих значений, чтобы получить $\Delta f$:
$\Delta f = (x_0^2 + 2x_0\Delta x + (\Delta x)^2 - x_0 - \Delta x) - (x_0^2 - x_0)$.
Раскроем скобки и упростим выражение, приведя подобные слагаемые:
$\Delta f = x_0^2 + 2x_0\Delta x + (\Delta x)^2 - x_0 - \Delta x - x_0^2 + x_0 = 2x_0\Delta x + (\Delta x)^2 - \Delta x$.
Далее, найдем отношение приращения функции к приращению аргумента, разделив $\Delta f$ на $\Delta x$ (при условии, что $\Delta x \neq 0$):
$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{2x_0\Delta x + (\Delta x)^2 - \Delta x}{\Delta x}$.
Вынесем в числителе общий множитель $\Delta x$ за скобки и сократим дробь:
$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{\Delta x (2x_0 + \Delta x - 1)}{\Delta x} = 2x_0 + \Delta x - 1$.
Ответ: $2x_0 + \Delta x - 1$.

Найдем $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x}$
Теперь найдем предел полученного отношения при $\Delta x$, стремящемся к нулю. Этот предел по определению является производной функции $f(x)$ в точке $x_0$.
$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} (2x_0 + \Delta x - 1)$.
Когда $\Delta x \to 0$, значение слагаемого $\Delta x$ также стремится к нулю. Таким образом, мы можем подставить 0 вместо $\Delta x$ в выражение под знаком предела:
$\lim_{\Delta x \to 0} (2x_0 + \Delta x - 1) = 2x_0 + 0 - 1 = 2x_0 - 1$.
Ответ: $2x_0 - 1$.

34.6. Для функции $f(x) = 5x + 1$ и точки $x_0$ найдите $\frac{\Delta f}{\Delta x}$ и $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x}$.

Для решения задачи нам необходимо найти приращение функции $\Delta f$ в точке $x_0$ и затем использовать его для вычисления требуемых величин. Приращение функции определяется формулой $\Delta f = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$.

Для заданной функции $f(x) = 5x + 1$ найдем значения $f(x_0)$ и $f(x_0 + \Delta x)$:

$f(x_0) = 5x_0 + 1$

$f(x_0 + \Delta x) = 5(x_0 + \Delta x) + 1 = 5x_0 + 5\Delta x + 1$

Теперь вычислим приращение функции $\Delta f$:

$\Delta f = (5x_0 + 5\Delta x + 1) - (5x_0 + 1) = 5x_0 + 5\Delta x + 1 - 5x_0 - 1 = 5\Delta x$

Используя найденное значение $\Delta f$, найдем искомые выражения.

$\frac{\Delta f}{\Delta x}$

Найдем отношение приращения функции к приращению аргумента. Для этого разделим найденное выражение для $\Delta f$ на $\Delta x$ (при условии, что $\Delta x \neq 0$):

$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{5\Delta x}{\Delta x} = 5$

Ответ: $\frac{\Delta f}{\Delta x} = 5$.

$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x}$

Найдем предел полученного отношения при $\Delta x$, стремящемся к нулю. Этот предел по определению является производной функции $f(x)$ в точке $x_0$.

$\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} 5$

Предел постоянной величины равен самой этой величине. Таким образом:

$\lim_{\Delta x \to 0} 5 = 5$

Ответ: $\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x} = 5$.