Страница 251 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

34.7. Материальная точка движется по координатной прямой по закону $s(t) = 2t^2 + 3$ (перемещение измеряется в метрах, время – в секундах).Найдите мгновенную скорость материальной точки в момент времени $t_0 = 2$ с.

Мгновенная скорость материальной точки является первой производной от функции перемещения по времени. Физический смысл производной от пути по времени — это скорость.

Закон движения материальной точки задан функцией $s(t) = 2t^2 + 3$.

Чтобы найти функцию скорости $v(t)$, необходимо найти производную от функции перемещения $s(t)$:
$v(t) = s'(t) = (2t^2 + 3)'$

Используя правила дифференцирования, а именно производную степенной функции $(t^n)' = n \cdot t^{n-1}$ и производную константы $(C)' = 0$, получаем:
$v(t) = (2t^2)' + (3)' = 2 \cdot 2t^{2-1} + 0 = 4t$

Теперь найдем значение мгновенной скорости в момент времени $t_0 = 2$ с. Для этого подставим значение $t=2$ в полученное выражение для скорости:
$v(2) = 4 \cdot 2 = 8$

Поскольку перемещение измеряется в метрах (м), а время — в секундах (с), то скорость будет измеряться в метрах в секунду (м/с).
Ответ: 8 м/с.

34.8. Тело движется по координатной прямой по закону $s(t) = 5t^2$ (перемещение измеряется в метрах, время – в секундах). Найдите:

1) среднюю скорость тела при изменении времени от $t_0 = 1$ с до $t_1 = 3$ с;

2) мгновенную скорость тела в момент $t_0 = 1$ с.

1) Средняя скорость тела $v_{ср}$ на временном промежутке от $t_0$ до $t_1$ вычисляется как отношение изменения перемещения $\Delta s$ к изменению времени $\Delta t$. Формула для средней скорости имеет вид:
$v_{ср} = \frac{\Delta s}{\Delta t} = \frac{s(t_1) - s(t_0)}{t_1 - t_0}$
Закон движения тела задан уравнением $s(t) = 5t^2$. В задаче даны моменты времени $t_0 = 1$ с и $t_1 = 3$ с.
Сначала найдем перемещение тела в эти моменты времени:
При $t_0 = 1$ с, перемещение составляет: $s(1) = 5 \cdot 1^2 = 5$ м.
При $t_1 = 3$ с, перемещение составляет: $s(3) = 5 \cdot 3^2 = 5 \cdot 9 = 45$ м.
Теперь найдем изменение перемещения и изменение времени:
$\Delta s = s(3) - s(1) = 45 - 5 = 40$ м.
$\Delta t = 3 - 1 = 2$ с.
Подставим эти значения в формулу для средней скорости:
$v_{ср} = \frac{40 \text{ м}}{2 \text{ с}} = 20$ м/с.
Ответ: 20 м/с.

2) Мгновенная скорость тела $v(t)$ в определенный момент времени является производной от функции перемещения $s(t)$ по времени $t$. Это физический смысл производной.
$v(t) = s'(t)$
Найдем производную от заданной функции $s(t) = 5t^2$:
$v(t) = s'(t) = (5t^2)' = 5 \cdot (t^2)' = 5 \cdot 2t = 10t$.
Мы получили закон изменения мгновенной скорости со временем. Теперь найдем значение мгновенной скорости в момент времени $t_0 = 1$ с, подставив это значение в полученное выражение:
$v(1) = 10 \cdot 1 = 10$ м/с.
Ответ: 10 м/с.

34.9. Найдите угловой коэффициент:

1) секущей графика функции $y = x^2$, проходящей через точки графика с абсциссами $x_0 = 1$ и $x_1 = 1,6$;

2) касательной к графику функции $y = x^2$ в точке с абсциссой $x_0 = 1$.

1) Угловой коэффициент секущей, проходящей через две точки графика функции $(x_0, f(x_0))$ и $(x_1, f(x_1))$, вычисляется по формуле:

$k = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0}$

Дана функция $f(x) = x^2$ и абсциссы точек $x_0 = 1$ и $x_1 = 1,6$.

Найдем соответствующие ординаты (значения функции) в этих точках:

$f(x_0) = f(1) = 1^2 = 1$

$f(x_1) = f(1,6) = (1,6)^2 = 2,56$

Теперь подставим найденные значения в формулу для углового коэффициента:

$k = \frac{2,56 - 1}{1,6 - 1} = \frac{1,56}{0,6} = \frac{15,6}{6} = 2,6$

Ответ: $2,6$

2) Угловой коэффициент касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной этой функции в данной точке. Формула для углового коэффициента касательной:

$k = f'(x_0)$

Сначала найдем производную функции $f(x) = x^2$:

$f'(x) = (x^2)' = 2x$

Далее вычислим значение производной в точке с абсциссой $x_0 = 1$:

$k = f'(1) = 2 \cdot 1 = 2$

Ответ: $2$

34.10. Найдите угловой коэффициент:

1) секущей графика функции $y = x^3$, проходящей через точки графика с абсциссами $x_0 = 2$ и $x_1 = 1$;

2) касательной к графику функции $y = x^3$ в точке с абсциссой $x_0 = 2$.

1) Угловой коэффициент секущей, проходящей через две точки графика функции $(x_0, f(x_0))$ и $(x_1, f(x_1))$, вычисляется по формуле:
$k = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0}$

В данном случае функция $y = f(x) = x^3$, а абсциссы точек равны $x_0 = 2$ и $x_1 = 1$.

Найдем соответствующие ординаты (значения функции) в этих точках:
$y_0 = f(x_0) = f(2) = 2^3 = 8$
$y_1 = f(x_1) = f(1) = 1^3 = 1$

Таким образом, секущая проходит через точки с координатами $(2, 8)$ и $(1, 1)$.

Теперь подставим найденные значения в формулу для углового коэффициента:
$k = \frac{1 - 8}{1 - 2} = \frac{-7}{-1} = 7$

Ответ: 7

2) Угловой коэффициент касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной этой функции в данной точке: $k = f'(x_0)$.

Наша функция: $f(x) = x^3$.

Сначала найдем производную этой функции. Используя правило степенной дифференциации $(x^n)' = nx^{n-1}$, получаем:
$f'(x) = (x^3)' = 3x^{3-1} = 3x^2$

Теперь вычислим значение производной в точке с абсциссой $x_0 = 2$:
$k = f'(2) = 3 \cdot (2)^2 = 3 \cdot 4 = 12$

Следовательно, угловой коэффициент касательной равен 12.

Ответ: 12

34.11. Известно, что $ \text{tg } \alpha = \sqrt{3} $ и $ \alpha \in \left(0; \frac{\pi}{2}\right) $. Найдите угол $ \alpha $.

Для того чтобы найти угол $\alpha$, нам нужно решить тригонометрическое уравнение $\tg \alpha = \sqrt{3}$ с учетом дополнительного условия, что угол $\alpha$ находится в интервале $\left(0; \frac{\pi}{2}\right)$.

1. Решение уравнения $\tg \alpha = \sqrt{3}$

Общее решение тригонометрического уравнения для тангенса имеет вид $\alpha = \operatorname{arctg}(a) + \pi n$, где $a$ - значение тангенса, а $n$ - любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).

В нашем случае $a = \sqrt{3}$. Таким образом, общее решение:

$\alpha = \operatorname{arctg}(\sqrt{3}) + \pi n$

Из таблицы значений тригонометрических функций известно, что $\operatorname{arctg}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{3}$ (или 60°).

Подставляем это значение в формулу общего решения:

$\alpha = \frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2. Учет интервала $\alpha \in \left(0; \frac{\pi}{2}\right)$

Теперь нам нужно выбрать из всех возможных решений те, которые попадают в заданный интервал, то есть удовлетворяют неравенству:

$0 < \frac{\pi}{3} + \pi n < \frac{\pi}{2}$

Рассмотрим различные целые значения $n$:

• Если $n = 0$, то $\alpha = \frac{\pi}{3} + \pi \cdot 0 = \frac{\pi}{3}$.
  Проверим, попадает ли это значение в интервал: $0 < \frac{\pi}{3} < \frac{\pi}{2}$. Это неравенство верно, так как $\frac{1}{3}$ находится между 0 и $\frac{1}{2}$. Следовательно, $\alpha = \frac{\pi}{3}$ является решением.
• Если $n = 1$, то $\alpha = \frac{\pi}{3} + \pi \cdot 1 = \frac{4\pi}{3}$.
  Это значение больше, чем $\frac{\pi}{2}$, поэтому оно не удовлетворяет условию.
• Если $n = -1$, то $\alpha = \frac{\pi}{3} + \pi \cdot (-1) = -\frac{2\pi}{3}$.
  Это значение меньше 0, поэтому оно также не удовлетворяет условию.

Таким образом, единственное значение угла $\alpha$, удовлетворяющее обоим условиям, — это $\frac{\pi}{3}$.

Ответ: $\alpha = \frac{\pi}{3}$.

34.12. Известно, что $tg \alpha = -1$ и $\alpha \in \left(\frac{\pi}{2}; \pi\right)$. Найдите угол $\alpha$.

По условию задачи нам дано тригонометрическое уравнение $\tg \alpha = -1$ и ограничение на угол $\alpha \in \left(\frac{\pi}{2}; \pi\right)$. Нам нужно найти значение угла $\alpha$, удовлетворяющее обоим условиям.

1. Сначала решим уравнение $\tg \alpha = -1$.
Общее решение этого уравнения имеет вид:
$\alpha = \operatorname{arctg}(-1) + \pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).

Так как значение арктангенса от -1 равно $-\frac{\pi}{4}$, то общее решение можно записать как:
$\alpha = -\frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2. Теперь нам нужно выбрать из этого множества решений то, которое принадлежит интервалу $\left(\frac{\pi}{2}; \pi\right)$. Этот интервал соответствует второй четверти координатной плоскости, где тангенс действительно отрицателен.

Будем подставлять различные целые значения $n$ в формулу общего решения, чтобы найти подходящий угол:

• При $n=0$, получаем $\alpha = -\frac{\pi}{4} + \pi \cdot 0 = -\frac{\pi}{4}$. Этот угол не попадает в интервал $\left(\frac{\pi}{2}; \pi\right)$.
• При $n=1$, получаем $\alpha = -\frac{\pi}{4} + \pi \cdot 1 = \frac{-\pi + 4\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.
  Проверим, принадлежит ли этот угол заданному интервалу. Интервал $\left(\frac{\pi}{2}; \pi\right)$ можно записать как $\left(\frac{2\pi}{4}; \frac{4\pi}{4}\right)$.
  Неравенство $\frac{2\pi}{4} < \frac{3\pi}{4} < \frac{4\pi}{4}$ является верным. Следовательно, угол $\alpha = \frac{3\pi}{4}$ является искомым решением.
• При $n=2$, получаем $\alpha = -\frac{\pi}{4} + \pi \cdot 2 = \frac{7\pi}{4}$. Этот угол также не попадает в интервал $\left(\frac{\pi}{2}; \pi\right)$.

Таким образом, единственное решение, удовлетворяющее всем условиям задачи, это $\alpha = \frac{3\pi}{4}$.

Ответ: $\alpha = \frac{3\pi}{4}$