Страница 258 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

35.1. Найдите производную функции:

1) $y = 5x - 6$;

2) $y = \frac{1 - x}{3}$;

3) $y = 9$;

4) $y = 8 - 3x$.

1) Для функции $y = 5x - 6$ найдем производную. Используем правило дифференцирования суммы/разности функций $(u \pm v)' = u' \pm v'$, а также основные формулы дифференцирования: производная степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ и производная константы $(C)' = 0$.

Производная от $x$ равна $(x^1)' = 1 \cdot x^{1-1} = 1$.

Производная от константы, умноженной на функцию, равна $(C \cdot f(x))' = C \cdot f'(x)$.

Следовательно:

$y' = (5x - 6)' = (5x)' - (6)' = 5 \cdot (x)' - 0 = 5 \cdot 1 = 5$.

Ответ: 5

2) Для функции $y = \frac{1 - x}{3}$ найдем производную. Сначала преобразуем выражение, представив его в виде разности двух дробей: $y = \frac{1}{3} - \frac{1}{3}x$.

Теперь найдем производную, используя те же правила, что и в предыдущем пункте:

$y' = (\frac{1}{3} - \frac{1}{3}x)' = (\frac{1}{3})' - (\frac{1}{3}x)' = 0 - \frac{1}{3} \cdot (x)' = -\frac{1}{3} \cdot 1 = -\frac{1}{3}$.

Ответ: $-\frac{1}{3}$

3) Для функции $y = 9$ найдем производную. Эта функция является константой, то есть ее значение не зависит от переменной $x$.

Производная от любой константы равна нулю.

$y' = (9)' = 0$.

Ответ: 0

4) Для функции $y = 8 - 3x$ найдем производную. Эта функция является линейной.

Применяем правило дифференцирования разности и основные формулы:

$y' = (8 - 3x)' = (8)' - (3x)' = 0 - 3 \cdot (x)' = -3 \cdot 1 = -3$.

Ответ: -3

35.2. Найдите производную функции:

1) $y = x^4$;

2) $y = x^{-15}$;

3) $y = \frac{1}{x^{17}}$;

4) $y = x^{\frac{1}{5}}$.

Для решения всех пунктов используется общая формула производной степенной функции: $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$.

1) Дана функция $y = x^4$.

В этом случае показатель степени $n=4$. Применяем формулу производной степенной функции:

$y' = (x^4)' = 4 \cdot x^{4-1} = 4x^3$.

Ответ: $4x^3$.

2) Дана функция $y = x^{-15}$.

Здесь показатель степени $n=-15$. Находим производную по той же формуле:

$y' = (x^{-15})' = -15 \cdot x^{-15-1} = -15x^{-16}$.

Данное выражение также можно записать в виде дроби: $y' = -\frac{15}{x^{16}}$.

Ответ: $-15x^{-16}$.

3) Дана функция $y = \frac{1}{x^{17}}$.

Сначала преобразуем функцию, используя свойство степени с отрицательным показателем $\frac{1}{a^m} = a^{-m}$:

$y = x^{-17}$.

Теперь находим производную, где $n=-17$:

$y' = (x^{-17})' = -17 \cdot x^{-17-1} = -17x^{-18}$.

В виде дроби это выражение выглядит так: $y' = -\frac{17}{x^{18}}$.

Ответ: $-17x^{-18}$.

4) Дана функция $y = x^{\frac{1}{5}}$.

Показатель степени в данном случае является дробным числом $n = \frac{1}{5}$. Формула производной остается прежней:

$y' = (x^{\frac{1}{5}})' = \frac{1}{5} \cdot x^{\frac{1}{5}-1}$.

Вычислим новый показатель степени: $\frac{1}{5} - 1 = \frac{1}{5} - \frac{5}{5} = -\frac{4}{5}$.

Таким образом, производная равна:

$y' = \frac{1}{5}x^{-\frac{4}{5}}$.

Это выражение можно также записать с использованием знака корня: $y' = \frac{1}{5\sqrt[5]{x^4}}$.

Ответ: $\frac{1}{5}x^{-\frac{4}{5}}$.

35.3. Найдите производную функции:

1) $y = x^{10};$

2) $y = \frac{1}{x^8};$

3) $y = x^{\frac{7}{6}};$

4) $y = x^{-0,2}.$

Для нахождения производной степенной функции вида $y = x^p$ используется следующая формула: $y' = (x^p)' = p \cdot x^{p-1}$.

1) Дана функция $y = x^{10}$.
В данном случае показатель степени $p = 10$. Применяем формулу для производной степенной функции:
$y' = (x^{10})' = 10 \cdot x^{10-1} = 10x^9$.
Ответ: $10x^9$.

2) Дана функция $y = \frac{1}{x^8}$.
Сначала преобразуем функцию, чтобы представить ее в виде $x^p$. Используя свойство степеней $\frac{1}{a^n} = a^{-n}$, получаем:
$y = x^{-8}$.
Теперь находим производную. Здесь $p = -8$:
$y' = (x^{-8})' = -8 \cdot x^{-8-1} = -8x^{-9}$.
Запишем результат с положительным показателем степени в знаменателе:
$y' = -\frac{8}{x^9}$.
Ответ: $-\frac{8}{x^9}$.

3) Дана функция $y = x^{\frac{7}{6}}$.
Показатель степени $p = \frac{7}{6}$. Находим производную по общей формуле:
$y' = (x^{\frac{7}{6}})' = \frac{7}{6} \cdot x^{\frac{7}{6}-1}$.
Вычислим новый показатель степени: $\frac{7}{6} - 1 = \frac{7}{6} - \frac{6}{6} = \frac{1}{6}$.
Следовательно, производная равна:
$y' = \frac{7}{6}x^{\frac{1}{6}}$.
Ответ: $\frac{7}{6}x^{\frac{1}{6}}$.

4) Дана функция $y = x^{-0.2}$.
Показатель степени $p = -0.2$. Применяем формулу производной:
$y' = (x^{-0.2})' = -0.2 \cdot x^{-0.2-1}$.
Вычисляем новый показатель степени: $-0.2 - 1 = -1.2$.
Таким образом, производная равна:
$y' = -0.2x^{-1.2}$.
Ответ: $-0.2x^{-1.2}$.

35.4. Продифференцируйте функцию:

1) $y = \sqrt[4]{x}$;

2) $y = \sqrt[8]{x^7}$;

3) $y = \frac{1}{\sqrt{x}}$;

4) $y = \frac{1}{\sqrt[8]{x^5}}$.

1) Для дифференцирования функции $y = \sqrt[4]{x}$ необходимо сначала представить ее в виде степенной функции. Используя свойство корня $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$, получаем:
$y = \sqrt[4]{x} = x^{\frac{1}{4}}$
Теперь применим правило дифференцирования степенной функции $(x^k)' = k \cdot x^{k-1}$:
$y' = (x^{\frac{1}{4}})' = \frac{1}{4} \cdot x^{\frac{1}{4}-1} = \frac{1}{4}x^{\frac{1}{4}-\frac{4}{4}} = \frac{1}{4}x^{-\frac{3}{4}}$
Результат можно также записать с использованием корня: $y' = \frac{1}{4\sqrt[4]{x^3}}$.
Ответ: $y' = \frac{1}{4}x^{-\frac{3}{4}}$

2) Представим функцию $y = \sqrt[8]{x^7}$ в виде степенной функции:
$y = x^{\frac{7}{8}}$
Найдем производную, используя правило дифференцирования степенной функции:
$y' = (x^{\frac{7}{8}})' = \frac{7}{8} \cdot x^{\frac{7}{8}-1} = \frac{7}{8}x^{\frac{7}{8}-\frac{8}{8}} = \frac{7}{8}x^{-\frac{1}{8}}$
Результат можно также записать с использованием корня: $y' = \frac{7}{8\sqrt[8]{x}}$.
Ответ: $y' = \frac{7}{8}x^{-\frac{1}{8}}$

3) Для дифференцирования функции $y = \frac{1}{\sqrt{x}}$ сначала преобразуем ее в степенную форму. Используя свойства $\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$ и $\frac{1}{a^n} = a^{-n}$, получаем:
$y = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} = x^{-\frac{1}{2}}$
Теперь находим производную:
$y' = (x^{-\frac{1}{2}})' = -\frac{1}{2} \cdot x^{-\frac{1}{2}-1} = -\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}-\frac{2}{2}} = -\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}$
Результат можно также записать с использованием корня: $y' = -\frac{1}{2\sqrt{x^3}}$.
Ответ: $y' = -\frac{1}{2}x^{-\frac{3}{2}}$

4) Преобразуем функцию $y = \frac{1}{\sqrt[8]{x^5}}$ в степенную форму:
$y = \frac{1}{x^{\frac{5}{8}}} = x^{-\frac{5}{8}}$
Применим правило дифференцирования степенной функции:
$y' = (x^{-\frac{5}{8}})' = -\frac{5}{8} \cdot x^{-\frac{5}{8}-1} = -\frac{5}{8}x^{-\frac{5}{8}-\frac{8}{8}} = -\frac{5}{8}x^{-\frac{13}{8}}$
Результат можно также записать с использованием корня: $y' = -\frac{5}{8\sqrt[8]{x^{13}}}$.
Ответ: $y' = -\frac{5}{8}x^{-\frac{13}{8}}$

35.5. Продифференцируйте функцию:

1) $y = \sqrt[9]{x};$

2) $y = \sqrt[6]{x^5};$

3) $y = \frac{1}{\sqrt[12]{x^7}}.$

1) Чтобы найти производную функции $y = \sqrt[9]{x}$, сначала представим ее в виде степенной функции. Используем свойство корня: $\sqrt[n]{x^m} = x^{\frac{m}{n}}$.

В данном случае $n=9$ и $m=1$, поэтому:

$y = \sqrt[9]{x} = x^{\frac{1}{9}}$

Теперь применим формулу для нахождения производной степенной функции $(x^k)' = k \cdot x^{k-1}$.

$y' = (x^{\frac{1}{9}})' = \frac{1}{9}x^{\frac{1}{9}-1} = \frac{1}{9}x^{\frac{1}{9}-\frac{9}{9}} = \frac{1}{9}x^{-\frac{8}{9}}$

Для удобства вернемся к записи с корнем, используя свойство $a^{-k} = \frac{1}{a^k}$:

$y' = \frac{1}{9x^{\frac{8}{9}}} = \frac{1}{9\sqrt[9]{x^8}}$

Ответ: $y' = \frac{1}{9\sqrt[9]{x^8}}$

2) Продифференцируем функцию $y = \sqrt[6]{x^5}$. Аналогично первому пункту, преобразуем ее в степенную функцию:

$y = \sqrt[6]{x^5} = x^{\frac{5}{6}}$

Применим формулу производной степенной функции $(x^k)' = k \cdot x^{k-1}$.

$y' = (x^{\frac{5}{6}})' = \frac{5}{6}x^{\frac{5}{6}-1} = \frac{5}{6}x^{\frac{5}{6}-\frac{6}{6}} = \frac{5}{6}x^{-\frac{1}{6}}$

Представим результат в виде выражения с корнем:

$y' = \frac{5}{6x^{\frac{1}{6}}} = \frac{5}{6\sqrt[6]{x}}$

Ответ: $y' = \frac{5}{6\sqrt[6]{x}}$

3) Найдем производную функции $y = \frac{1}{\sqrt[12]{x^7}}$. Сначала представим это выражение в виде степени с отрицательным показателем. Для этого используем два свойства: $\sqrt[n]{x^m} = x^{\frac{m}{n}}$ и $\frac{1}{a^k} = a^{-k}$.

Преобразуем знаменатель:

$\sqrt[12]{x^7} = x^{\frac{7}{12}}$

Теперь преобразуем всю функцию:

$y = \frac{1}{x^{\frac{7}{12}}} = x^{-\frac{7}{12}}$

Находим производную по формуле $(x^k)' = k \cdot x^{k-1}$.

$y' = (x^{-\frac{7}{12}})' = -\frac{7}{12}x^{-\frac{7}{12}-1} = -\frac{7}{12}x^{-\frac{7}{12}-\frac{12}{12}} = -\frac{7}{12}x^{-\frac{19}{12}}$

Запишем ответ в виде дроби с корнем в знаменателе:

$y' = -\frac{7}{12x^{\frac{19}{12}}} = -\frac{7}{12\sqrt[12]{x^{19}}}$

Полученный корень можно упростить: $\sqrt[12]{x^{19}} = \sqrt[12]{x^{12} \cdot x^7} = x\sqrt[12]{x^7}$. Тогда производная примет вид:

$y' = -\frac{7}{12x\sqrt[12]{x^7}}$

Ответ: $y' = -\frac{7}{12\sqrt[12]{x^{19}}}$ (или в упрощенном виде $y' = -\frac{7}{12x\sqrt[12]{x^7}}$)

35.6. Вычислите значение производной функции $f$ в точке $x_0$:

1) $f(x) = \sin x, x_0 = \frac{\pi}{4};$

2) $f(x) = \cos x, x_0 = -\frac{\pi}{6}.$

1)

Дана функция $f(x) = \sin x$ и точка $x_0 = \frac{\pi}{4}$. Чтобы найти значение производной функции в точке, сначала нужно найти саму производную.

Производная функции синус является стандартной и равна косинусу:
$f'(x) = (\sin x)' = \cos x$.

Теперь вычислим значение этой производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{4}$, подставив это значение в выражение для производной:
$f'(\frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{4})$.

Значение косинуса для угла $\frac{\pi}{4}$ (или 45°) является табличным значением:
$\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

2)

Дана функция $f(x) = \cos x$ и точка $x_0 = -\frac{\pi}{6}$.
Сначала найдем производную функции $f(x)$.

Производная функции косинус является стандартной и равна минус синусу:
$f'(x) = (\cos x)' = -\sin x$.

Далее вычислим значение производной в точке $x_0 = -\frac{\pi}{6}$:
$f'(-\frac{\pi}{6}) = -\sin(-\frac{\pi}{6})$.

Воспользуемся свойством нечетности функции синус: $\sin(-a) = -\sin(a)$.
$f'(-\frac{\pi}{6}) = -(-\sin(\frac{\pi}{6})) = \sin(\frac{\pi}{6})$.

Значение синуса для угла $\frac{\pi}{6}$ (или 30°) является табличным значением:
$\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$

35.7. Вычислите значение производной функции $f$ в точке $x_0$:

1) $f(x) = \sin x, x_0 = \frac{\pi}{6}$;

2) $f(x) = \cos x, x_0 = -\frac{\pi}{4}$.

1) Дана функция $f(x) = \sin x$ и точка $x_0 = \frac{\pi}{6}$.

Чтобы найти значение производной в точке, сначала нужно найти саму производную функции. Производная функции синус известна из таблицы производных:

$f'(x) = (\sin x)' = \cos x$.

Теперь, чтобы вычислить значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{6}$, нужно подставить это значение в найденное выражение для производной:

$f'(\frac{\pi}{6}) = \cos(\frac{\pi}{6})$.

Значение $\cos(\frac{\pi}{6})$ является табличным значением тригонометрической функции:

$\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Следовательно, значение производной функции $f(x) = \sin x$ в точке $x_0 = \frac{\pi}{6}$ равно $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

2) Дана функция $f(x) = \cos x$ и точка $x_0 = -\frac{\pi}{4}$.

Сначала найдем производную функции $f(x)$. Производная функции косинус также является табличной:

$f'(x) = (\cos x)' = -\sin x$.

Далее вычислим значение производной в заданной точке $x_0 = -\frac{\pi}{4}$, подставив это значение в выражение для $f'(x)$:

$f'(-\frac{\pi}{4}) = -\sin(-\frac{\pi}{4})$.

Воспользуемся свойством нечетности функции синус, согласно которому $\sin(-a) = -\sin(a)$:

$-\sin(-\frac{\pi}{4}) = -(-\sin(\frac{\pi}{4})) = \sin(\frac{\pi}{4})$.

Значение $\sin(\frac{\pi}{4})$ является табличным:

$\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Таким образом, значение производной функции $f(x) = \cos x$ в точке $x_0 = -\frac{\pi}{4}$ равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

35.8. Вычислите значение производной функции $f$ в точке $x_0$:

1) $f(x) = x\sqrt{x}, x_0 = 81;$

2) $f(x) = x^3 \sqrt[4]{x}, x_0 = 1;$

3) $f(x) = \sqrt{x\sqrt{x}}, x_0 = 16;$

4) $f(x) = \frac{x^2}{\sqrt[6]{x}}, x_0 = 64.$

1) $f(x) = x\sqrt{x}$, $x_0 = 81$

Для того чтобы найти производную, сначала упростим функцию, представив ее в виде степенной функции.
Используем свойство степеней $x^a \cdot x^b = x^{a+b}$ и определение корня $\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}$:
$f(x) = x^1 \cdot x^{\frac{1}{2}} = x^{1+\frac{1}{2}} = x^{\frac{3}{2}}$
Теперь найдем производную функции, используя формулу $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$:
$f'(x) = \left(x^{\frac{3}{2}}\right)' = \frac{3}{2}x^{\frac{3}{2}-1} = \frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}} = \frac{3}{2}\sqrt{x}$
Вычислим значение производной в точке $x_0 = 81$:
$f'(81) = \frac{3}{2}\sqrt{81} = \frac{3}{2} \cdot 9 = \frac{27}{2} = 13,5$

Ответ: $13,5$

2) $f(x) = x^3\sqrt[4]{x}$, $x_0 = 1$

Упростим функцию, используя свойство степеней $x^a \cdot x^b = x^{a+b}$ и определение корня $\sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}}$:
$f(x) = x^3 \cdot x^{\frac{1}{4}} = x^{3+\frac{1}{4}} = x^{\frac{12}{4}+\frac{1}{4}} = x^{\frac{13}{4}}$
Найдем производную функции:
$f'(x) = \left(x^{\frac{13}{4}}\right)' = \frac{13}{4}x^{\frac{13}{4}-1} = \frac{13}{4}x^{\frac{9}{4}}$
Вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$:
$f'(1) = \frac{13}{4} \cdot 1^{\frac{9}{4}} = \frac{13}{4} \cdot 1 = \frac{13}{4} = 3,25$

Ответ: $3,25$

3) $f(x) = \sqrt{x\sqrt{x}}$, $x_0 = 16$

Упростим функцию. Сначала преобразуем выражение под корнем, а затем и всю функцию:
$x\sqrt{x} = x^1 \cdot x^{\frac{1}{2}} = x^{1+\frac{1}{2}} = x^{\frac{3}{2}}$
$f(x) = \sqrt{x^{\frac{3}{2}}} = \left(x^{\frac{3}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}$
Используем свойство степени $(x^a)^b = x^{ab}$:
$f(x) = x^{\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}} = x^{\frac{3}{4}}$
Найдем производную функции:
$f'(x) = \left(x^{\frac{3}{4}}\right)' = \frac{3}{4}x^{\frac{3}{4}-1} = \frac{3}{4}x^{-\frac{1}{4}} = \frac{3}{4\sqrt[4]{x}}$
Вычислим значение производной в точке $x_0 = 16$:
$f'(16) = \frac{3}{4\sqrt[4]{16}} = \frac{3}{4 \cdot 2} = \frac{3}{8}$

Ответ: $\frac{3}{8}$

4) $f(x) = \frac{x^2}{\sqrt[6]{x}}$, $x_0 = 64$

Упростим функцию, используя свойство степеней $\frac{x^a}{x^b} = x^{a-b}$:
$f(x) = \frac{x^2}{x^{\frac{1}{6}}} = x^{2-\frac{1}{6}} = x^{\frac{12}{6}-\frac{1}{6}} = x^{\frac{11}{6}}$
Найдем производную функции:
$f'(x) = \left(x^{\frac{11}{6}}\right)' = \frac{11}{6}x^{\frac{11}{6}-1} = \frac{11}{6}x^{\frac{5}{6}}$
Вычислим значение производной в точке $x_0 = 64$:
$f'(64) = \frac{11}{6} \cdot 64^{\frac{5}{6}}$
Для вычисления $64^{\frac{5}{6}}$ представим его как $(\sqrt[6]{64})^5$. Так как $2^6=64$, то $\sqrt[6]{64}=2$.
$64^{\frac{5}{6}} = (\sqrt[6]{64})^5 = 2^5 = 32$
Подставим это значение обратно в выражение для производной:
$f'(64) = \frac{11}{6} \cdot 32 = \frac{11 \cdot 16}{3} = \frac{176}{3}$

Ответ: $\frac{176}{3}$

35.9. Вычислите значение производной функции $f$ в точке $x_0$:

1) $f(x) = x \sqrt[4]{x}, x_0 = 256;$

2) $f(x) = \sqrt[8]{x \sqrt{x}}, x_0 = 1.$

1)

Для того чтобы найти производную функции $f(x) = x\sqrt[4]{x}$, сначала упростим ее, представив в виде степенной функции. Используем свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ и определение корня $\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}$:

$f(x) = x^1 \cdot x^{\frac{1}{4}} = x^{1+\frac{1}{4}} = x^{\frac{5}{4}}$.

Теперь найдем производную функции $f(x) = x^{\frac{5}{4}}$, используя формулу производной степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$:

$f'(x) = \left(x^{\frac{5}{4}}\right)' = \frac{5}{4}x^{\frac{5}{4}-1} = \frac{5}{4}x^{\frac{1}{4}}$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = 256$:

$f'(256) = \frac{5}{4} \cdot 256^{\frac{1}{4}} = \frac{5}{4} \cdot \sqrt[4]{256}$.

Поскольку $4^4 = 256$, то $\sqrt[4]{256} = 4$.

$f'(256) = \frac{5}{4} \cdot 4 = 5$.

Ответ: 5

2)

Сначала упростим функцию $f(x) = \sqrt[8]{x\sqrt{x}}$, представив ее в виде степенной функции. Преобразуем выражение под корнем: $x\sqrt{x} = x^1 \cdot x^{\frac{1}{2}} = x^{1+\frac{1}{2}} = x^{\frac{3}{2}}$.

Теперь подставим это обратно в функцию:

$f(x) = \sqrt[8]{x^{\frac{3}{2}}}$.

Используя свойство степеней $(a^m)^n = a^{mn}$, получим:

$f(x) = \left(x^{\frac{3}{2}}\right)^{\frac{1}{8}} = x^{\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{8}} = x^{\frac{3}{16}}$.

Найдем производную функции $f(x) = x^{\frac{3}{16}}$ по формуле $(x^n)' = nx^{n-1}$:

$f'(x) = \left(x^{\frac{3}{16}}\right)' = \frac{3}{16}x^{\frac{3}{16}-1} = \frac{3}{16}x^{-\frac{13}{16}}$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$:

$f'(1) = \frac{3}{16} \cdot 1^{-\frac{13}{16}}$.

Поскольку любое число 1 в любой степени равно 1, то $1^{-\frac{13}{16}} = 1$.

$f'(1) = \frac{3}{16} \cdot 1 = \frac{3}{16}$.

Ответ: $\frac{3}{16}$

35.10. Пользуясь определением производной, найдите $f'(x)$, если:

1) $f(x) = \frac{3}{x}$;

2) $f(x) = 4 - x^2$.

Для нахождения производной функции $f(x)$ по определению используется следующая формула (предел отношения приращения функции к приращению аргумента):

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$

1) Найдем производную для функции $f(x) = \frac{3}{x}$.

Шаг 1: Найдём значение функции в точке $x + \Delta x$.

$f(x + \Delta x) = \frac{3}{x + \Delta x}$.

Шаг 2: Составим отношение приращения функции к приращению аргумента.

$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} = \frac{\frac{3}{x + \Delta x} - \frac{3}{x}}{\Delta x}$.

Шаг 3: Упростим выражение в числителе, приведя дроби к общему знаменателю $x(x + \Delta x)$.

$\frac{3}{x + \Delta x} - \frac{3}{x} = \frac{3x - 3(x + \Delta x)}{x(x + \Delta x)} = \frac{3x - 3x - 3\Delta x}{x(x + \Delta x)} = \frac{-3\Delta x}{x(x + \Delta x)}$.

Шаг 4: Подставим упрощенный числитель обратно в отношение.

$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{\frac{-3\Delta x}{x(x + \Delta x)}}{\Delta x} = \frac{-3\Delta x}{x(x + \Delta x)\Delta x}$.

Шаг 5: Сократим дробь на $\Delta x$.

$\frac{-3}{x(x + \Delta x)}$.

Шаг 6: Найдем предел полученного выражения при $\Delta x \to 0$.

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{-3}{x(x + \Delta x)} = \frac{-3}{x(x + 0)} = -\frac{3}{x^2}$.

Ответ: $f'(x) = -\frac{3}{x^2}$.

2) Найдем производную для функции $f(x) = 4 - x^2$.

Шаг 1: Найдём значение функции в точке $x + \Delta x$.

$f(x + \Delta x) = 4 - (x + \Delta x)^2 = 4 - (x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2) = 4 - x^2 - 2x\Delta x - (\Delta x)^2$.

Шаг 2: Составим разность $f(x + \Delta x) - f(x)$.

$f(x + \Delta x) - f(x) = (4 - x^2 - 2x\Delta x - (\Delta x)^2) - (4 - x^2)$.

Шаг 3: Упростим полученное выражение.

$4 - x^2 - 2x\Delta x - (\Delta x)^2 - 4 + x^2 = -2x\Delta x - (\Delta x)^2$.

Шаг 4: Составим отношение приращения функции к приращению аргумента.

$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{-2x\Delta x - (\Delta x)^2}{\Delta x}$.

Шаг 5: Вынесем $\Delta x$ в числителе за скобки и сократим дробь.

$\frac{\Delta x(-2x - \Delta x)}{\Delta x} = -2x - \Delta x$.

Шаг 6: Найдем предел полученного выражения при $\Delta x \to 0$.

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} (-2x - \Delta x) = -2x - 0 = -2x$.

Ответ: $f'(x) = -2x$.

35.11. Пользуясь определением производной, найдите $f'(x)$, если:

1) $f(x) = -\frac{1}{x^2}$;

2) $f(x) = x^2 + 3x - 2$.

Определение производной функции $f(x)$ в точке $x$ имеет вид:

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta f}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x}$

где $\Delta x$ – приращение аргумента, а $\Delta f$ – приращение функции.

1) Для функции $f(x) = -\frac{1}{x^2}$

1. Найдём приращение функции $\Delta f$. Сначала вычислим значение функции при аргументе $x + \Delta x$:

$f(x + \Delta x) = -\frac{1}{(x + \Delta x)^2}$

Теперь найдём разность $f(x + \Delta x) - f(x)$:

$\Delta f = f(x + \Delta x) - f(x) = -\frac{1}{(x + \Delta x)^2} - (-\frac{1}{x^2}) = \frac{1}{x^2} - \frac{1}{(x + \Delta x)^2}$

Приведём дроби к общему знаменателю $x^2(x + \Delta x)^2$:

$\Delta f = \frac{(x + \Delta x)^2 - x^2}{x^2(x + \Delta x)^2}$

Раскроем скобки в числителе, используя формулу разности квадратов или квадрат суммы:

$(x + \Delta x)^2 - x^2 = x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2 - x^2 = 2x\Delta x + (\Delta x)^2$

Таким образом, приращение функции равно:

$\Delta f = \frac{2x\Delta x + (\Delta x)^2}{x^2(x + \Delta x)^2}$

2. Найдём отношение приращения функции к приращению аргумента:

$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{\frac{2x\Delta x + (\Delta x)^2}{x^2(x + \Delta x)^2}}{\Delta x} = \frac{2x\Delta x + (\Delta x)^2}{\Delta x \cdot x^2(x + \Delta x)^2}$

Вынесем в числителе общий множитель $\Delta x$ за скобки и сократим дробь:

$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{\Delta x (2x + \Delta x)}{\Delta x \cdot x^2(x + \Delta x)^2} = \frac{2x + \Delta x}{x^2(x + \Delta x)^2}$

3. Вычислим предел этого отношения при $\Delta x \to 0$:

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{2x + \Delta x}{x^2(x + \Delta x)^2} = \frac{2x + 0}{x^2(x + 0)^2} = \frac{2x}{x^2 \cdot x^2} = \frac{2x}{x^4} = \frac{2}{x^3}$

Ответ: $f'(x) = \frac{2}{x^3}$.

2) Для функции $f(x) = x^2 + 3x - 2$

1. Найдём приращение функции $\Delta f$. Сначала вычислим значение функции при аргументе $x + \Delta x$:

$f(x + \Delta x) = (x + \Delta x)^2 + 3(x + \Delta x) - 2 = (x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2) + (3x + 3\Delta x) - 2$

Теперь найдём разность $f(x + \Delta x) - f(x)$:

$\Delta f = (x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2 + 3x + 3\Delta x - 2) - (x^2 + 3x - 2)$

Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

$\Delta f = x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2 + 3x + 3\Delta x - 2 - x^2 - 3x + 2 = 2x\Delta x + (\Delta x)^2 + 3\Delta x$

2. Найдём отношение приращения функции к приращению аргумента:

$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{2x\Delta x + (\Delta x)^2 + 3\Delta x}{\Delta x}$

Вынесем в числителе общий множитель $\Delta x$ за скобки и сократим дробь:

$\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{\Delta x (2x + \Delta x + 3)}{\Delta x} = 2x + \Delta x + 3$

3. Вычислим предел этого отношения при $\Delta x \to 0$:

$f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} (2x + \Delta x + 3) = 2x + 0 + 3 = 2x + 3$

Ответ: $f'(x) = 2x + 3$.