Страница 260 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

35.16. На рисунке 35.8 изображён график функции $f$. Укажите несколько значений аргумента $x$, для которых:

1) $f'(x) > 0$;

2) $f'(x) < 0$;

3) $f'(x) = 0$.

Рис. 35.8

1) $f'(x) > 0;$
Значение производной функции $f'(x)$ в точке $x_0$ равно тангенсу угла наклона касательной, проведенной к графику функции $f(x)$ в этой точке. Условие $f'(x) > 0$ означает, что угол наклона касательной острый, то есть функция $f(x)$ возрастает.
Из графика видно, что функция возрастает на интервалах (приблизительно) от $x=-4$ до $x=-2$ и от $x=1$ до $x=3$. Мы можем выбрать любые значения аргумента $x$ из этих интервалов.
Например, при $x=-3$ функция возрастает, значит $f'(-3) > 0$. Аналогично, при $x=2$ функция возрастает, значит $f'(2) > 0$.
Ответ: например, $x = -3, x = 2$.

2) $f'(x) < 0;$
Условие $f'(x) < 0$ означает, что угол наклона касательной тупой, то есть функция $f(x)$ убывает.
Из графика видно, что функция убывает на интервалах (приблизительно) левее $x=-4$, от $x=-2$ до $x=1$ и правее $x=3$. Мы можем выбрать любые значения аргумента $x$ из этих интервалов.
Например, при $x=-1$ и $x=0$ функция убывает, значит $f'(-1) < 0$ и $f'(0) < 0$. Также при $x=4$ функция убывает, следовательно $f'(4) < 0$.
Ответ: например, $x = -1, x = 0, x = 4$.

3) $f'(x) = 0.$
Условие $f'(x) = 0$ означает, что касательная к графику функции в этой точке горизонтальна. Это происходит в точках локального максимума и локального минимума функции, которые называются точками экстремума.
По графику видно, что точки экстремума находятся при значениях $x$, приблизительно равных:
- $x = -4$ (точка минимума)
- $x = -2$ (точка максимума)
- $x = 1$ (точка минимума)
- $x = 3$ (точка максимума)
В этих точках производная равна нулю.
Ответ: $x = -4, x = -2, x = 1, x = 3$.

35.17. К графику функции $f$ в точке с абсциссой $x_0$ проведена касательная (рис. 35.9). Найдите $f'(x_0)$.

Рис. 35.8

Рис. 35.9

Согласно геометрическому смыслу производной, значение производной функции $f$ в точке с абсциссой $x_0$, то есть $f'(x_0)$, равно угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции $f(x)$ в этой точке.

Чтобы найти $f'(x_0)$, нам необходимо вычислить угловой коэффициент $k$ прямой, изображенной на рисунке 35.9. Угловой коэффициент прямой, проходящей через две точки с координатами $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, находится по формуле: $k = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

Для расчета выберем на графике касательной две точки, которые лежат на пересечениях линий сетки, чтобы их координаты были целыми числами.
Первая точка, которую удобно взять, — это точка пересечения касательной с осью абсцисс. Ее координаты: $(x_1, y_1) = (1, 0)$.
Вторая точка — это непосредственно точка касания. Ее координаты: $(x_2, y_2) = (3, 1)$.

Теперь подставим координаты этих двух точек в формулу для углового коэффициента: $k = \frac{1 - 0}{3 - 1} = \frac{1}{2} = 0.5$

Так как угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке касания, получаем: $f'(x_0) = k = 0.5$

Ответ: 0.5

35.18. К графику функции $f$ в точке с абсциссой $x_0$ проведена касательная (рис. 35.10). Найдите $f'(x_0)$.

Рис. 35.10

Значение производной функции $f$ в точке с абсциссой $x_0$, то есть $f'(x_0)$, равно угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке.

Угловой коэффициент $k$ прямой, проходящей через две точки с координатами $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, находится по формуле:

$k = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

Чтобы найти угловой коэффициент касательной, изображенной на графике, выберем на ней две точки, координаты которых легко определить по клеткам.

Первая точка — это сама точка касания. Её координаты $(2, 3)$.

В качестве второй точки можно взять точку с координатами $(3, 1)$.

Теперь вычислим угловой коэффициент касательной, используя координаты этих двух точек:

$x_1 = 2, y_1 = 3$

$x_2 = 3, y_2 = 1$

$k = \frac{1 - 3}{3 - 2} = \frac{-2}{1} = -2$

Таким образом, угловой коэффициент касательной равен -2. Следовательно, $f'(x_0) = -2$.

Ответ: -2

35.19. На рисунке 35.11 изображён график функции $f$. Укажите точки, в которых производная равна нулю, и точки, в которых производная не существует.

Рис. 35.10

Рис. 35.11

Точки, в которых производная равна нулю

Геометрический смысл производной функции в точке — это тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику функции в этой точке. Производная равна нулю там, где касательная к графику горизонтальна, то есть параллельна оси абсцисс. Это происходит в точках локальных экстремумов (максимумов и минимумов) гладкой функции.

На представленном графике можно выделить две такие точки:

• Точка локального максимума с абсциссой $x = -3$. В этой точке вершина кривой, и касательная к ней будет горизонтальной.
• Точка локального минимума с абсциссой $x = 2$. В этой точке "впадина", и касательная также будет горизонтальной.

Следовательно, в этих точках производная функции $f$ равна нулю.

Ответ: $x = -3$, $x = 2$.

Точки, в которых производная не существует

Производная функции не существует в точках, где график имеет разрыв или излом (острый угол, "пик"). В таких точках невозможно однозначно провести касательную, так как пределы, определяющие производную слева и справа, не совпадают.

На графике функции $f$ видна одна такая точка:

• Точка с абсциссой $x = 4$. В этой точке график имеет резкий излом (острый пик). Слева от $x=4$ функция возрастает, а справа — убывает, образуя угол. Из-за этого излома производная в данной точке не определена.

Ответ: $x = 4$.

35.20. На рисунке 35.12 изображён график функции $f$. Укажите точки, в которых производная равна нулю, и точки, в которых производная не существует.

Рис. 35.12

График функции с осями $x$ и $y$. На оси $x$ отмечены точки -5, -3, 0, 1, 3.

Точки, в которых производная равна нулю

С геометрической точки зрения, производная функции в точке равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции в этой точке. Если производная равна нулю, то есть $f'(x) = 0$, то касательная к графику горизонтальна. Это происходит в точках локальных экстремумов (максимумов и минимумов), где график является гладкой кривой.
На данном графике видно, что касательная будет горизонтальной в следующих точках:
- В точке локального максимума при $x = -3$.
- В точке локального минимума при $x = 0$.
- В точке локального максимума при $x = 3$.
Следовательно, в этих точках производная функции равна нулю.

Ответ: $x = -3, x = 0, x = 3$.

Точки, в которых производная не существует

Производная функции не существует в точках, где график имеет разрывы или "изломы" (острые углы, точки заострения). В таких точках невозможно провести единственную касательную к графику.
На представленном графике можно выделить одну такую точку:
- В точке при $x = -5$ график имеет излом (острый угол). В этой точке касательные, проведенные к графику слева и справа, не совпадают, поэтому производная не существует.

Ответ: $x = -5$.

35.21. На рисунке 35.13 изображён график функции $f$. Сравните:

1) $f'(-5)$ и $f'(1)$;

2) $f'(-1)$ и $f'(6)$;

3) $f'(-2)$ и $f'(4)$;

4) $f'(0)$ и $f'(5)$.

Рис. 35.13

Значение производной функции $f'(x)$ в некоторой точке равно угловому коэффициенту (тангенсу угла наклона) касательной к графику функции $f(x)$ в этой точке. Если функция возрастает, касательная направлена вверх, и производная положительна ($f'(x) > 0$). Если функция убывает, касательная направлена вниз, и производная отрицательна ($f'(x) < 0$). В точках экстремума (локальных максимумах и минимумах) касательная горизонтальна, и производная равна нулю ($f'(x) = 0$). Крутизна подъема или спуска графика соответствует модулю значения производной.

В точке $x=-5$ функция убывает, следовательно, $f'(-5) < 0$.
В точке $x=1$ функция также убывает, следовательно, $f'(1) < 0$.
Для сравнения двух отрицательных значений оценим крутизну графика в этих точках. Визуально, в точке $x=-5$ график убывает более круто, чем в точке $x=1$. Это означает, что наклон касательной в точке $x=-5$ является более отрицательным числом (например, $-2$ меньше, чем $-1$). Таким образом, $f'(-5) < f'(1)$.

Ответ: $f'(-5) < f'(1)$.

В точке $x=-1$ функция возрастает, следовательно, $f'(-1) > 0$.
В точке $x=6$ функция также возрастает, следовательно, $f'(6) > 0$.
Для сравнения двух положительных значений оценим, в какой точке функция возрастает быстрее. Визуально, в точке $x=6$ график идет вверх более круто, чем в точке $x=-1$. Это означает, что угловой коэффициент касательной в точке $x=6$ больше, чем в точке $x=-1$. Таким образом, $f'(-1) < f'(6)$.

Ответ: $f'(-1) < f'(6)$.

В точке $x=-2$ на графике находится локальный максимум. В точках экстремума касательная к графику горизонтальна, а её угловой коэффициент равен нулю. Следовательно, $f'(-2) = 0$.
В точке $x=4$ на графике находится локальный минимум. Здесь касательная также горизонтальна, и её угловой коэффициент равен нулю. Следовательно, $f'(4) = 0$.
Сравнивая эти значения, получаем, что они равны.

Ответ: $f'(-2) = f'(4)$.

В точке $x=0$ функция убывает, поэтому её производная в этой точке отрицательна: $f'(0) < 0$.
В точке $x=5$ функция возрастает, поэтому её производная в этой точке положительна: $f'(5) > 0$.
Любое отрицательное число меньше любого положительного числа. Следовательно, $f'(0) < f'(5)$.

Ответ: $f'(0) < f'(5)$.