Номер 35.21, страница 260 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

35.21. На рисунке 35.13 изображён график функции $f$. Сравните:

1) $f'(-5)$ и $f'(1)$;

2) $f'(-1)$ и $f'(6)$;

3) $f'(-2)$ и $f'(4)$;

4) $f'(0)$ и $f'(5)$.

Рис. 35.13

Значение производной функции $f'(x)$ в некоторой точке равно угловому коэффициенту (тангенсу угла наклона) касательной к графику функции $f(x)$ в этой точке. Если функция возрастает, касательная направлена вверх, и производная положительна ($f'(x) > 0$). Если функция убывает, касательная направлена вниз, и производная отрицательна ($f'(x) < 0$). В точках экстремума (локальных максимумах и минимумах) касательная горизонтальна, и производная равна нулю ($f'(x) = 0$). Крутизна подъема или спуска графика соответствует модулю значения производной.

В точке $x=-5$ функция убывает, следовательно, $f'(-5) < 0$.
В точке $x=1$ функция также убывает, следовательно, $f'(1) < 0$.
Для сравнения двух отрицательных значений оценим крутизну графика в этих точках. Визуально, в точке $x=-5$ график убывает более круто, чем в точке $x=1$. Это означает, что наклон касательной в точке $x=-5$ является более отрицательным числом (например, $-2$ меньше, чем $-1$). Таким образом, $f'(-5) < f'(1)$.

Ответ: $f'(-5) < f'(1)$.

В точке $x=-1$ функция возрастает, следовательно, $f'(-1) > 0$.
В точке $x=6$ функция также возрастает, следовательно, $f'(6) > 0$.
Для сравнения двух положительных значений оценим, в какой точке функция возрастает быстрее. Визуально, в точке $x=6$ график идет вверх более круто, чем в точке $x=-1$. Это означает, что угловой коэффициент касательной в точке $x=6$ больше, чем в точке $x=-1$. Таким образом, $f'(-1) < f'(6)$.

Ответ: $f'(-1) < f'(6)$.

В точке $x=-2$ на графике находится локальный максимум. В точках экстремума касательная к графику горизонтальна, а её угловой коэффициент равен нулю. Следовательно, $f'(-2) = 0$.
В точке $x=4$ на графике находится локальный минимум. Здесь касательная также горизонтальна, и её угловой коэффициент равен нулю. Следовательно, $f'(4) = 0$.
Сравнивая эти значения, получаем, что они равны.

Ответ: $f'(-2) = f'(4)$.

В точке $x=0$ функция убывает, поэтому её производная в этой точке отрицательна: $f'(0) < 0$.
В точке $x=5$ функция возрастает, поэтому её производная в этой точке положительна: $f'(5) > 0$.
Любое отрицательное число меньше любого положительного числа. Следовательно, $f'(0) < f'(5)$.

Ответ: $f'(0) < f'(5)$.