Номер 35.27, страница 261 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

35.27. Решите уравнение

$\frac{5}{x^2 - 4x + 4} - \frac{4}{x^2 - 4} - \frac{1}{x + 2} = 0.$

Для решения данного уравнения сначала преобразуем знаменатели дробей, разложив их на множители.

1. Анализ знаменателей:

• Знаменатель первой дроби, $x^2 - 4x + 4$, является полным квадратом разности: $x^2 - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 = (x - 2)^2$.
• Знаменатель второй дроби, $x^2 - 4$, является разностью квадратов: $x^2 - 2^2 = (x - 2)(x + 2)$.
• Третий знаменатель, $x + 2$, является простым выражением.

После подстановки разложенных знаменателей уравнение принимает вид: $$ \frac{5}{(x - 2)^2} - \frac{4}{(x - 2)(x + 2)} - \frac{1}{x + 2} = 0 $$

2. Определение Области Допустимых Значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не должны обращаться в ноль.

• $(x - 2)^2 \ne 0 \implies x \ne 2$
• $(x - 2)(x + 2) \ne 0 \implies x \ne 2$ и $x \ne -2$
• $x + 2 \ne 0 \implies x \ne -2$

Таким образом, ОДЗ уравнения: $x \ne 2$ и $x \ne -2$.

3. Приведение к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель (НОЗ) для всех дробей — это $(x - 2)^2(x + 2)$. Умножим обе части уравнения на НОЗ, чтобы избавиться от дробей (при условии, что $x$ принадлежит ОДЗ): $$ 5(x + 2) - 4(x - 2) - 1(x - 2)^2 = 0 $$

4. Решение полученного уравнения. Раскроем скобки: $$ 5x + 10 - 4(x - 2) - (x^2 - 4x + 4) = 0 $$ $$ 5x + 10 - 4x + 8 - x^2 + 4x - 4 = 0 $$

Приведем подобные слагаемые: $$ -x^2 + (5x - 4x + 4x) + (10 + 8 - 4) = 0 $$ $$ -x^2 + 5x + 14 = 0 $$ Умножим уравнение на $-1$ для удобства: $$ x^2 - 5x - 14 = 0 $$

5. Нахождение корней квадратного уравнения. Решим уравнение с помощью теоремы Виета: $ \begin{cases} x_1 + x_2 = 5 \\ x_1 \cdot x_2 = -14 \end{cases} $ Подбором находим корни: $x_1 = 7$ и $x_2 = -2$.

6. Проверка корней на соответствие ОДЗ. Мы установили, что ОДЗ: $x \ne 2$ и $x \ne -2$.

• Корень $x_1 = 7$ удовлетворяет ОДЗ, так как $7 \ne 2$ и $7 \ne -2$.
• Корень $x_2 = -2$ не удовлетворяет ОДЗ. Это посторонний корень, так как при $x = -2$ знаменатели второй и третьей дробей исходного уравнения обращаются в ноль.

Следовательно, уравнение имеет только одно решение.

Ответ: 7