Номер 36.3, страница 267 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

36.3. Найдите производную функции:

1) $y = (x + 2)(x^2 - 4x + 5);$

2) $y = (3x + 5)(2x^2 - 1);$

3) $y = x^2 \sin x;$

4) $y = x \operatorname{ctg} x;$

5) $y = (2x + 1) \sqrt{x};$

6) $y = \sqrt{x} \cos x.$

1) Для нахождения производной функции $y = (x + 2)(x^2 - 4x + 5)$ воспользуемся правилом производной произведения: $(uv)' = u'v + uv'$.

Обозначим $u(x) = x + 2$ и $v(x) = x^2 - 4x + 5$.
Найдём их производные:
$u'(x) = (x + 2)' = 1$
$v'(x) = (x^2 - 4x + 5)' = 2x - 4$

Теперь подставим найденные производные в формулу:
$y' = u'v + uv' = 1 \cdot (x^2 - 4x + 5) + (x + 2)(2x - 4)$

Упростим полученное выражение, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые:
$y' = x^2 - 4x + 5 + (2x^2 - 4x + 4x - 8)$
$y' = x^2 - 4x + 5 + 2x^2 - 8$
$y' = 3x^2 - 4x - 3$

Ответ: $y' = 3x^2 - 4x - 3$.

2) Для функции $y = (3x + 5)(2x^2 - 1)$ применяем правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = 3x + 5$ и $v(x) = 2x^2 - 1$.
Их производные:
$u'(x) = (3x + 5)' = 3$
$v'(x) = (2x^2 - 1)' = 4x$

Подставляем в формулу:
$y' = u'v + uv' = 3(2x^2 - 1) + (3x + 5)(4x)$

Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:
$y' = 6x^2 - 3 + 12x^2 + 20x$
$y' = 18x^2 + 20x - 3$

Ответ: $y' = 18x^2 + 20x - 3$.

3) Для функции $y = x^2 \sin x$ используем правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$.

Здесь $u(x) = x^2$ и $v(x) = \sin x$.
Находим производные:
$u'(x) = (x^2)' = 2x$
$v'(x) = (\sin x)' = \cos x$

Подставляем в формулу:
$y' = u'v + uv' = (2x) \cdot \sin x + x^2 \cdot \cos x$

Ответ: $y' = 2x \sin x + x^2 \cos x$.

4) Для функции $y = x \operatorname{ctg} x$ используем правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = x$ и $v(x) = \operatorname{ctg} x$.
Производные этих функций:
$u'(x) = (x)' = 1$
$v'(x) = (\operatorname{ctg} x)' = -\frac{1}{\sin^2 x}$

Применяем правило производной произведения:
$y' = u'v + uv' = 1 \cdot \operatorname{ctg} x + x \cdot \left(-\frac{1}{\sin^2 x}\right)$

Упрощаем выражение:
$y' = \operatorname{ctg} x - \frac{x}{\sin^2 x}$

Ответ: $y' = \operatorname{ctg} x - \frac{x}{\sin^2 x}$.

5) Для функции $y = (2x + 1)\sqrt{x}$ применяем правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$.

Обозначим $u(x) = 2x + 1$ и $v(x) = \sqrt{x}$.
Найдём их производные:
$u'(x) = (2x + 1)' = 2$
$v'(x) = (\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

Подставляем в формулу:
$y' = u'v + uv' = 2 \cdot \sqrt{x} + (2x + 1) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}$

Приводим к общему знаменателю для упрощения:
$y' = \frac{2\sqrt{x} \cdot 2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}} + \frac{2x+1}{2\sqrt{x}} = \frac{4x + 2x + 1}{2\sqrt{x}}$
$y' = \frac{6x + 1}{2\sqrt{x}}$

Ответ: $y' = \frac{6x + 1}{2\sqrt{x}}$.

6) Для функции $y = \sqrt{x} \cos x$ используем правило производной произведения $(uv)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(x) = \sqrt{x}$ и $v(x) = \cos x$.
Их производные:
$u'(x) = (\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$
$v'(x) = (\cos x)' = -\sin x$

Подставляем в формулу:
$y' = u'v + uv' = \frac{1}{2\sqrt{x}} \cdot \cos x + \sqrt{x} \cdot (-\sin x)$

Упростим выражение, приведя к общему знаменателю:
$y' = \frac{\cos x}{2\sqrt{x}} - \frac{\sqrt{x}\sin x \cdot 2\sqrt{x}}{2\sqrt{x}} = \frac{\cos x - 2x \sin x}{2\sqrt{x}}$

Ответ: $y' = \frac{\cos x - 2x \sin x}{2\sqrt{x}}$.