Номер 36.9, страница 268 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

36.9. Задайте с помощью формул сложные функции $y = f(g(x))$ и $y = g(f(x))$, если:

1) $f(x) = \sin x, g(x) = x^2 - 1$;

2) $f(x) = x^4, g(x) = 5x + 2$;

3) $f(x) = \sqrt{x}, g(x) = \frac{x}{x-1}$;

4) $f(x) = \frac{1}{x}, g(x) = 2x^2 - 3x + 1$.

1) Даны функции $f(x) = \sin x$ и $g(x) = x^2 - 1$.

Для того чтобы найти сложную функцию $y = f(g(x))$, необходимо подставить выражение для функции $g(x)$ в функцию $f(x)$ вместо переменной $x$.

$y = f(g(x)) = f(x^2 - 1) = \sin(x^2 - 1)$.

Для того чтобы найти сложную функцию $y = g(f(x))$, необходимо подставить выражение для функции $f(x)$ в функцию $g(x)$ вместо переменной $x$.

$y = g(f(x)) = g(\sin x) = (\sin x)^2 - 1 = \sin^2 x - 1$.

Ответ: $y = f(g(x)) = \sin(x^2 - 1)$; $y = g(f(x)) = \sin^2 x - 1$.

2) Даны функции $f(x) = x^4$ и $g(x) = 5x + 2$.

Находим $y = f(g(x))$, подставляя $g(x)$ в $f(x)$:

$y = f(g(x)) = f(5x + 2) = (5x + 2)^4$.

Находим $y = g(f(x))$, подставляя $f(x)$ в $g(x)$:

$y = g(f(x)) = g(x^4) = 5(x^4) + 2 = 5x^4 + 2$.

Ответ: $y = f(g(x)) = (5x + 2)^4$; $y = g(f(x)) = 5x^4 + 2$.

3) Даны функции $f(x) = \sqrt{x}$ и $g(x) = \frac{x}{x-1}$.

Находим $y = f(g(x))$, подставляя $g(x)$ в $f(x)$:

$y = f(g(x)) = f\left(\frac{x}{x-1}\right) = \sqrt{\frac{x}{x-1}}$.

Находим $y = g(f(x))$, подставляя $f(x)$ в $g(x)$:

$y = g(f(x)) = g(\sqrt{x}) = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}$.

Ответ: $y = f(g(x)) = \sqrt{\frac{x}{x-1}}$; $y = g(f(x)) = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}$.

4) Даны функции $f(x) = \frac{1}{x}$ и $g(x) = 2x^2 - 3x + 1$.

Находим $y = f(g(x))$, подставляя $g(x)$ в $f(x)$:

$y = f(g(x)) = f(2x^2 - 3x + 1) = \frac{1}{2x^2 - 3x + 1}$.

Находим $y = g(f(x))$, подставляя $f(x)$ в $g(x)$:

$y = g(f(x)) = g\left(\frac{1}{x}\right) = 2\left(\frac{1}{x}\right)^2 - 3\left(\frac{1}{x}\right) + 1 = \frac{2}{x^2} - \frac{3}{x} + 1$.

Приведем полученное выражение к общему знаменателю: $\frac{2}{x^2} - \frac{3x}{x^2} + \frac{x^2}{x^2} = \frac{x^2 - 3x + 2}{x^2}$.

Ответ: $y = f(g(x)) = \frac{1}{2x^2 - 3x + 1}$; $y = g(f(x)) = \frac{x^2 - 3x + 2}{x^2}$.