Страница 268 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

36.8. Вычислите значение производной функции $f$ в точке $x_0$:

1) $f(x) = \sqrt{x} - 16x, x_0 = \frac{1}{4}$;

2) $f(x) = \frac{\cos x}{1-x}, x_0 = 0$;

3) $f(x) = x^{-2} - 4x^{-3}, x_0 = 2$;

4) $f(x) = \frac{2x^2 - 3x - 1}{x+1}, x_0 = 1$.

1) Для функции $f(x) = \sqrt{x} - 16x$ в точке $x_0 = \frac{1}{4}$.
Сначала найдем производную функции $f(x)$. Используем правило дифференцирования суммы и степенной функции. Функцию $\sqrt{x}$ можно представить как $x^{1/2}$.
$f'(x) = (\sqrt{x})' - (16x)' = (x^{1/2})' - 16 = \frac{1}{2}x^{1/2 - 1} - 16 = \frac{1}{2}x^{-1/2} - 16 = \frac{1}{2\sqrt{x}} - 16$.
Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{1}{4}$:
$f'(\frac{1}{4}) = \frac{1}{2\sqrt{\frac{1}{4}}} - 16 = \frac{1}{2 \cdot \frac{1}{2}} - 16 = \frac{1}{1} - 16 = -15$.
Ответ: -15

2) Для функции $f(x) = \frac{\cos x}{1 - x}$ в точке $x_0 = 0$.
Найдем производную функции, используя правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
В нашем случае, $u(x) = \cos x$ и $v(x) = 1 - x$. Их производные: $u'(x) = -\sin x$ и $v'(x) = -1$.
$f'(x) = \frac{(\cos x)'(1-x) - (\cos x)(1-x)'}{(1-x)^2} = \frac{(-\sin x)(1-x) - (\cos x)(-1)}{(1-x)^2} = \frac{-\sin x + x\sin x + \cos x}{(1-x)^2}$.
Вычислим значение производной в точке $x_0 = 0$:
$f'(0) = \frac{-\sin(0) + 0 \cdot \sin(0) + \cos(0)}{(1-0)^2} = \frac{-0 + 0 + 1}{1^2} = 1$.
Ответ: 1

3) Для функции $f(x) = x^{-2} - 4x^{-3}$ в точке $x_0 = 2$.
Найдем производную функции, используя правило дифференцирования степенной функции $(x^n)'=nx^{n-1}$.
$f'(x) = (x^{-2})' - (4x^{-3})' = -2x^{-2-1} - 4(-3)x^{-3-1} = -2x^{-3} + 12x^{-4}$.
Запишем производную в виде дробей для удобства вычислений: $f'(x) = -\frac{2}{x^3} + \frac{12}{x^4}$.
Вычислим значение производной в точке $x_0 = 2$:
$f'(2) = -\frac{2}{2^3} + \frac{12}{2^4} = -\frac{2}{8} + \frac{12}{16} = -\frac{1}{4} + \frac{3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$

4) Для функции $f(x) = \frac{2x^2 - 3x - 1}{x+1}$ в точке $x_0 = 1$.
Найдем производную, используя правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.
Пусть $u(x) = 2x^2 - 3x - 1$ и $v(x) = x+1$. Тогда их производные: $u'(x) = 4x - 3$ и $v'(x) = 1$.
$f'(x) = \frac{(4x-3)(x+1) - (2x^2 - 3x - 1)(1)}{(x+1)^2}$.
Раскроем скобки и упростим числитель:
$f'(x) = \frac{4x^2 + 4x - 3x - 3 - 2x^2 + 3x + 1}{(x+1)^2} = \frac{2x^2 + 4x - 2}{(x+1)^2}$.
Вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$:
$f'(1) = \frac{2(1)^2 + 4(1) - 2}{(1+1)^2} = \frac{2+4-2}{2^2} = \frac{4}{4} = 1$.
Ответ: 1

36.9. Задайте с помощью формул сложные функции $y = f(g(x))$ и $y = g(f(x))$, если:

1) $f(x) = \sin x, g(x) = x^2 - 1$;

2) $f(x) = x^4, g(x) = 5x + 2$;

3) $f(x) = \sqrt{x}, g(x) = \frac{x}{x-1}$;

4) $f(x) = \frac{1}{x}, g(x) = 2x^2 - 3x + 1$.

1) Даны функции $f(x) = \sin x$ и $g(x) = x^2 - 1$.

Для того чтобы найти сложную функцию $y = f(g(x))$, необходимо подставить выражение для функции $g(x)$ в функцию $f(x)$ вместо переменной $x$.

$y = f(g(x)) = f(x^2 - 1) = \sin(x^2 - 1)$.

Для того чтобы найти сложную функцию $y = g(f(x))$, необходимо подставить выражение для функции $f(x)$ в функцию $g(x)$ вместо переменной $x$.

$y = g(f(x)) = g(\sin x) = (\sin x)^2 - 1 = \sin^2 x - 1$.

Ответ: $y = f(g(x)) = \sin(x^2 - 1)$; $y = g(f(x)) = \sin^2 x - 1$.

2) Даны функции $f(x) = x^4$ и $g(x) = 5x + 2$.

Находим $y = f(g(x))$, подставляя $g(x)$ в $f(x)$:

$y = f(g(x)) = f(5x + 2) = (5x + 2)^4$.

Находим $y = g(f(x))$, подставляя $f(x)$ в $g(x)$:

$y = g(f(x)) = g(x^4) = 5(x^4) + 2 = 5x^4 + 2$.

Ответ: $y = f(g(x)) = (5x + 2)^4$; $y = g(f(x)) = 5x^4 + 2$.

3) Даны функции $f(x) = \sqrt{x}$ и $g(x) = \frac{x}{x-1}$.

Находим $y = f(g(x))$, подставляя $g(x)$ в $f(x)$:

$y = f(g(x)) = f\left(\frac{x}{x-1}\right) = \sqrt{\frac{x}{x-1}}$.

Находим $y = g(f(x))$, подставляя $f(x)$ в $g(x)$:

$y = g(f(x)) = g(\sqrt{x}) = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}$.

Ответ: $y = f(g(x)) = \sqrt{\frac{x}{x-1}}$; $y = g(f(x)) = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}$.

4) Даны функции $f(x) = \frac{1}{x}$ и $g(x) = 2x^2 - 3x + 1$.

Находим $y = f(g(x))$, подставляя $g(x)$ в $f(x)$:

$y = f(g(x)) = f(2x^2 - 3x + 1) = \frac{1}{2x^2 - 3x + 1}$.

Находим $y = g(f(x))$, подставляя $f(x)$ в $g(x)$:

$y = g(f(x)) = g\left(\frac{1}{x}\right) = 2\left(\frac{1}{x}\right)^2 - 3\left(\frac{1}{x}\right) + 1 = \frac{2}{x^2} - \frac{3}{x} + 1$.

Приведем полученное выражение к общему знаменателю: $\frac{2}{x^2} - \frac{3x}{x^2} + \frac{x^2}{x^2} = \frac{x^2 - 3x + 2}{x^2}$.

Ответ: $y = f(g(x)) = \frac{1}{2x^2 - 3x + 1}$; $y = g(f(x)) = \frac{x^2 - 3x + 2}{x^2}$.

36.10. Задайте с помощью формул сложные функции $y = f(g(x))$ и $y = g(f(x))$, если:

1) $f(x) = x^2$, $g(x) = \operatorname{tg} x$;

2) $f(x) = \sqrt[3]{x}$, $g(x) = \frac{x+1}{x+2}$.

1) Даны функции $f(x) = x^2$ и $g(x) = \tan x$.

Для того чтобы найти сложную функцию $y = f(g(x))$, нужно в выражение для функции $f(x)$ подставить вместо переменной $x$ выражение для функции $g(x)$.

$y = f(g(x)) = (g(x))^2 = (\tan x)^2 = \tan^2 x$.

Для того чтобы найти сложную функцию $y = g(f(x))$, нужно в выражение для функции $g(x)$ подставить вместо переменной $x$ выражение для функции $f(x)$.

$y = g(f(x)) = \tan(f(x)) = \tan(x^2)$.

Ответ: $y = f(g(x)) = \tan^2 x$; $y = g(f(x)) = \tan(x^2)$.

2) Даны функции $f(x) = \sqrt[3]{x}$ и $g(x) = \frac{x+1}{x+2}$.

Найдем сложную функцию $y = f(g(x))$. Для этого в функцию $f(x)$ вместо аргумента $x$ подставим функцию $g(x)$.

$y = f(g(x)) = \sqrt[3]{g(x)} = \sqrt[3]{\frac{x+1}{x+2}}$.

Найдем сложную функцию $y = g(f(x))$. Для этого в функцию $g(x)$ вместо аргумента $x$ подставим функцию $f(x)$.

$y = g(f(x)) = \frac{f(x)+1}{f(x)+2} = \frac{\sqrt[3]{x}+1}{\sqrt[3]{x}+2}$.

Ответ: $y = f(g(x)) = \sqrt[3]{\frac{x+1}{x+2}}$; $y = g(f(x)) = \frac{\sqrt[3]{x}+1}{\sqrt[3]{x}+2}$.

36.11. Могут ли две разные функции иметь равные производные? Ответ проиллюстрируйте примерами.

Да, две различные функции могут иметь равные производные.

Теоретическое обоснование

Этот факт является прямым следствием того, что производная постоянной величины (константы) равна нулю. Если мы рассмотрим две функции $f(x)$ и $g(x)$, которые отличаются друг от друга на некоторую постоянную величину $C$ (где $C \neq 0$), то они будут являться различными функциями. То есть, можно записать, что $g(x) = f(x) + C$.

Найдем производную функции $g(x)$, используя правило дифференцирования суммы и тот факт, что производная константы равна нулю ($C' = 0$):

$g'(x) = (f(x) + C)' = f'(x) + C' = f'(x) + 0 = f'(x)$

Таким образом, производные функций $f(x)$ и $g(x)$ оказываются равными ($g'(x) = f'(x)$), в то время как сами функции различны. С геометрической точки зрения, график функции $g(x) = f(x) + C$ является копией графика $f(x)$, сдвинутой по вертикали на $C$ единиц. Вследствие этого, углы наклона касательных в точках с одинаковой абсциссой у этих двух графиков совпадают, что и означает равенство их производных.

Иллюстрация примерами

Пример 1. Степенные функции

Возьмем две разные функции: $f_1(x) = x^2 + 4x$ и $f_2(x) = x^2 + 4x - 15$.

Они очевидно различны, так как для любого значения $x$ их значения отличаются на 15.

Найдем их производные:

$f_1'(x) = (x^2 + 4x)' = 2x + 4$

$f_2'(x) = (x^2 + 4x - 15)' = (x^2)' + (4x)' - (15)' = 2x + 4 - 0 = 2x + 4$

Производные этих функций равны: $f_1'(x) = f_2'(x)$.

Пример 2. Тригонометрические функции

Рассмотрим функции $g_1(x) = \sin(x)$ и $g_2(x) = \sin(x) + 100$.

Эти функции также различны.

Найдем их производные:

$g_1'(x) = (\sin(x))' = \cos(x)$

$g_2'(x) = (\sin(x) + 100)' = (\sin(x))' + (100)' = \cos(x) + 0 = \cos(x)$

И в этом случае производные равны: $g_1'(x) = g_2'(x)$.

Ответ: да, могут. Любые две функции, отличающиеся на константу, например, $f(x)$ и $f(x) + C$ (где $C$ - любое ненулевое число), являются разными, но имеют одинаковую производную $f'(x)$.

36.12. Найдите производную функции:

1) $y = (2x + 3)^5$;

2) $y = \left(\frac{1}{3}x - 6\right)^{18}$;

3) $y = \cos 2x$;

4) $y = \sin^2 x$;

5) $y = 3\cot \frac{x}{5}$;

6) $y = \sqrt{2x + 1}$;

7) $y = \sqrt[3]{1 - x}$;

8) $y = \sqrt{x^2 + 1}$;

9) $y = \frac{1}{4x + 5}$;

10) $y = \left(\frac{x^2}{2} + 4x - 1\right)^{-6}$;

11) $y = \sqrt{\sin x}$;

12) $y = \sin \sqrt{x}$;

1) Для нахождения производной функции $y = (2x + 3)^5$ применяется правило дифференцирования сложной функции (цепное правило).
Пусть внешняя функция $f(u) = u^5$, а внутренняя функция $u(x) = 2x + 3$. Тогда производная находится по формуле $y' = (f(u(x)))' = f'(u) \cdot u'(x)$.
$y' = 5(2x + 3)^{5-1} \cdot (2x + 3)'$
Находим производную внутренней функции: $(2x + 3)' = 2$.
Подставляем и получаем: $y' = 5(2x + 3)^4 \cdot 2 = 10(2x + 3)^4$.
Ответ: $y' = 10(2x + 3)^4$.

2) Для функции $y = (\frac{1}{3}x - 6)^{18}$ также используем цепное правило.
$y' = 18(\frac{1}{3}x - 6)^{18-1} \cdot (\frac{1}{3}x - 6)'$
Производная внутренней функции $(\frac{1}{3}x - 6)' = \frac{1}{3}$.
$y' = 18(\frac{1}{3}x - 6)^{17} \cdot \frac{1}{3} = 6(\frac{1}{3}x - 6)^{17}$.
Ответ: $y' = 6(\frac{1}{3}x - 6)^{17}$.

3) Для функции $y = \cos(2x)$ используем цепное правило и производную косинуса.
$y' = (\cos(2x))' = -\sin(2x) \cdot (2x)'$
Производная внутренней функции $(2x)' = 2$.
$y' = -\sin(2x) \cdot 2 = -2\sin(2x)$.
Ответ: $y' = -2\sin(2x)$.

4) Функцию $y = \sin^2 x$ можно записать как $y = (\sin x)^2$. Применяем цепное правило.
$y' = ((\sin x)^2)' = 2(\sin x)^{2-1} \cdot (\sin x)'$
Производная внутренней функции $(\sin x)' = \cos x$.
$y' = 2\sin x \cdot \cos x$.
Используя формулу двойного угла, ответ можно также записать как $y' = \sin(2x)$.
Ответ: $y' = 2\sin x \cos x$ (или $y' = \sin(2x)$).

5) Для функции $y = 3\ctg \frac{x}{5}$ (или $y = 3\cot \frac{x}{5}$) используем цепное правило и производную котангенса.
Производная котангенса $(\cot u)' = -\frac{1}{\sin^2 u}$.
$y' = 3 \cdot (-\frac{1}{\sin^2(\frac{x}{5})}) \cdot (\frac{x}{5})'$
Производная внутренней функции $(\frac{x}{5})' = \frac{1}{5}$.
$y' = 3 \cdot (-\frac{1}{\sin^2(\frac{x}{5})}) \cdot \frac{1}{5} = -\frac{3}{5\sin^2(\frac{x}{5})}$.
Ответ: $y' = -\frac{3}{5\sin^2(\frac{x}{5})}$.

6) Для функции $y = \sqrt{2x + 1}$ представим корень как степень $y = (2x + 1)^{1/2}$ и применим цепное правило.
$y' = \frac{1}{2}(2x + 1)^{\frac{1}{2}-1} \cdot (2x + 1)' = \frac{1}{2}(2x + 1)^{-1/2} \cdot (2x + 1)'$
Производная внутренней функции $(2x + 1)' = 2$.
$y' = \frac{1}{2\sqrt{2x + 1}} \cdot 2 = \frac{1}{\sqrt{2x + 1}}$.
Ответ: $y' = \frac{1}{\sqrt{2x + 1}}$.

7) Для функции $y = \sqrt[3]{1 - x}$ представим корень как степень $y = (1 - x)^{1/3}$ и применим цепное правило.
$y' = \frac{1}{3}(1 - x)^{\frac{1}{3}-1} \cdot (1 - x)' = \frac{1}{3}(1 - x)^{-2/3} \cdot (1 - x)'$
Производная внутренней функции $(1 - x)' = -1$.
$y' = \frac{1}{3}(1 - x)^{-2/3} \cdot (-1) = -\frac{1}{3(1-x)^{2/3}} = -\frac{1}{3\sqrt[3]{(1-x)^2}}$.
Ответ: $y' = -\frac{1}{3\sqrt[3]{(1-x)^2}}$.

8) Для функции $y = \sqrt{x^2 + 1}$ представим корень как степень $y = (x^2 + 1)^{1/2}$ и применим цепное правило.
$y' = \frac{1}{2}(x^2 + 1)^{\frac{1}{2}-1} \cdot (x^2 + 1)' = \frac{1}{2\sqrt{x^2+1}} \cdot (x^2 + 1)'$
Производная внутренней функции $(x^2 + 1)' = 2x$.
$y' = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 1}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$.
Ответ: $y' = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$.

9) Функцию $y = \frac{1}{4x + 5}$ запишем в виде степени $y = (4x + 5)^{-1}$ и применим цепное правило.
$y' = -1(4x + 5)^{-1-1} \cdot (4x + 5)' = -1(4x + 5)^{-2} \cdot (4x + 5)'$
Производная внутренней функции $(4x + 5)' = 4$.
$y' = -1(4x + 5)^{-2} \cdot 4 = -\frac{4}{(4x + 5)^2}$.
Ответ: $y' = -\frac{4}{(4x + 5)^2}$.

10) Для функции $y = (\frac{x^2}{2} + 4x - 1)^{-6}$ применяем цепное правило.
$y' = -6(\frac{x^2}{2} + 4x - 1)^{-6-1} \cdot (\frac{x^2}{2} + 4x - 1)'$
Производная внутренней функции $(\frac{x^2}{2} + 4x - 1)' = \frac{2x}{2} + 4 = x + 4$.
$y' = -6(\frac{x^2}{2} + 4x - 1)^{-7} \cdot (x + 4) = -\frac{6(x+4)}{(\frac{x^2}{2} + 4x - 1)^7}$.
Ответ: $y' = -\frac{6(x+4)}{(\frac{x^2}{2} + 4x - 1)^7}$.

11) Для функции $y = \sqrt{\sin x}$ представим корень как степень $y = (\sin x)^{1/2}$ и применим цепное правило.
$y' = \frac{1}{2}(\sin x)^{\frac{1}{2}-1} \cdot (\sin x)' = \frac{1}{2\sqrt{\sin x}} \cdot (\sin x)'$
Производная внутренней функции $(\sin x)' = \cos x$.
$y' = \frac{1}{2\sqrt{\sin x}} \cdot \cos x = \frac{\cos x}{2\sqrt{\sin x}}$.
Ответ: $y' = \frac{\cos x}{2\sqrt{\sin x}}$.

12) Для функции $y = \sin \sqrt{x}$ используем цепное правило.
$y' = (\sin \sqrt{x})' = \cos(\sqrt{x}) \cdot (\sqrt{x})'$
Производная внутренней функции $(\sqrt{x})' = (x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
$y' = \cos(\sqrt{x}) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{\cos \sqrt{x}}{2\sqrt{x}}$.
Ответ: $y' = \frac{\cos \sqrt{x}}{2\sqrt{x}}$.

36.13. Найдите производную функции:

1) $y = (3x - 5)^6$;

2) $y = \sin \frac{x}{3}$;

3) $y = \cos^2 x$;

4) $y = 2\text{tg}\ 4x$;

5) $y = \cos \left(\frac{\pi}{4} - x\right)$;

6) $y = \sqrt{1 - x^2}$;

7) $y = \sqrt[4]{6x + 8}$;

8) $y = (9x - 2)^{-3}$;

9) $y = \sqrt{\cos x}$.

1)

Дана функция $y = (3x - 5)^6$. Это сложная функция, где внешняя функция — степенная $u^6$, а внутренняя — линейная $u = 3x - 5$.

Для нахождения производной используем правило дифференцирования сложной функции (цепное правило): $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.

$y' = ((3x - 5)^6)' = 6 \cdot (3x - 5)^{6-1} \cdot (3x - 5)'$

Находим производную внутренней функции: $(3x - 5)' = 3$.

Подставляем и получаем результат:

$y' = 6 \cdot (3x - 5)^5 \cdot 3 = 18(3x - 5)^5$

Ответ: $18(3x - 5)^5$

2)

Дана функция $y = \sin\frac{x}{3}$. Это сложная функция, где внешняя функция — тригонометрическая $\sin(u)$, а внутренняя — $u = \frac{x}{3}$.

Применяем цепное правило. Производная синуса $(\sin u)' = \cos u$.

$y' = (\sin\frac{x}{3})' = \cos(\frac{x}{3}) \cdot (\frac{x}{3})'$

Находим производную внутренней функции: $(\frac{x}{3})' = \frac{1}{3}$.

Подставляем и получаем результат:

$y' = \cos(\frac{x}{3}) \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{3}\cos(\frac{x}{3})$

Ответ: $\frac{1}{3}\cos(\frac{x}{3})$

3)

Дана функция $y = \cos^2x$, которую можно записать как $y = (\cos x)^2$. Это сложная функция, где внешняя функция — степенная $u^2$, а внутренняя — $u = \cos x$.

Применяем цепное правило:

$y' = ((\cos x)^2)' = 2 \cdot (\cos x)^{2-1} \cdot (\cos x)'$

Находим производную внутренней функции: $(\cos x)' = -\sin x$.

Подставляем и получаем результат:

$y' = 2\cos x \cdot (-\sin x) = -2\sin x\cos x$

Используя формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin\alpha\cos\alpha$, упрощаем выражение:

$y' = -\sin(2x)$

Ответ: $-\sin(2x)$

4)

Дана функция $y = 2\tg 4x$. Это сложная функция, умноженная на константу. Внешняя функция — $2\tg(u)$, внутренняя — $u = 4x$.

Применяем цепное правило и правило дифференцирования константы: $(c \cdot f(x))' = c \cdot f'(x)$. Производная тангенса $(\tg u)' = \frac{1}{\cos^2 u}$.

$y' = (2\tg 4x)' = 2 \cdot (\tg 4x)' = 2 \cdot \frac{1}{\cos^2(4x)} \cdot (4x)'$

Находим производную внутренней функции: $(4x)' = 4$.

Подставляем и получаем результат:

$y' = 2 \cdot \frac{1}{\cos^2(4x)} \cdot 4 = \frac{8}{\cos^2(4x)}$

Ответ: $\frac{8}{\cos^2(4x)}$

5)

Дана функция $y = \cos(\frac{\pi}{4} - x)$. Это сложная функция, где внешняя функция — $\cos(u)$, а внутренняя — $u = \frac{\pi}{4} - x$.

Применяем цепное правило. Производная косинуса $(\cos u)' = -\sin u$.

$y' = (\cos(\frac{\pi}{4} - x))' = -\sin(\frac{\pi}{4} - x) \cdot (\frac{\pi}{4} - x)'$

Находим производную внутренней функции: $(\frac{\pi}{4} - x)' = 0 - 1 = -1$.

Подставляем и получаем результат:

$y' = -\sin(\frac{\pi}{4} - x) \cdot (-1) = \sin(\frac{\pi}{4} - x)$

Ответ: $\sin(\frac{\pi}{4} - x)$

6)

Дана функция $y = \sqrt{1 - x^2}$. Представим ее в виде $y = (1 - x^2)^{1/2}$. Это сложная функция, где внешняя — степенная $u^{1/2}$, а внутренняя — $u = 1 - x^2$.

Применяем цепное правило. Производная корня $(\sqrt{u})' = \frac{1}{2\sqrt{u}}$.

$y' = (\sqrt{1 - x^2})' = \frac{1}{2\sqrt{1 - x^2}} \cdot (1 - x^2)'$

Находим производную внутренней функции: $(1 - x^2)' = -2x$.

Подставляем и получаем результат:

$y' = \frac{1}{2\sqrt{1 - x^2}} \cdot (-2x) = -\frac{2x}{2\sqrt{1 - x^2}} = -\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}$

Ответ: $-\frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}$

7)

Дана функция $y = \sqrt[4]{6x + 8}$. Представим ее в виде $y = (6x + 8)^{1/4}$. Это сложная функция, где внешняя — степенная $u^{1/4}$, а внутренняя — $u = 6x + 8$.

Применяем цепное правило:

$y' = ((6x + 8)^{1/4})' = \frac{1}{4}(6x + 8)^{\frac{1}{4}-1} \cdot (6x + 8)' = \frac{1}{4}(6x + 8)^{-3/4} \cdot (6x + 8)'$

Находим производную внутренней функции: $(6x + 8)' = 6$.

Подставляем и получаем результат:

$y' = \frac{1}{4}(6x + 8)^{-3/4} \cdot 6 = \frac{6}{4}(6x + 8)^{-3/4} = \frac{3}{2(6x+8)^{3/4}} = \frac{3}{2\sqrt[4]{(6x+8)^3}}$

Ответ: $\frac{3}{2\sqrt[4]{(6x+8)^3}}$

8)

Дана функция $y = (9x - 2)^{-3}$. Это сложная функция, где внешняя — степенная $u^{-3}$, а внутренняя — $u = 9x - 2$.

Применяем цепное правило:

$y' = ((9x - 2)^{-3})' = -3(9x - 2)^{-3-1} \cdot (9x - 2)' = -3(9x - 2)^{-4} \cdot (9x - 2)'$

Находим производную внутренней функции: $(9x - 2)' = 9$.

Подставляем и получаем результат:

$y' = -3(9x - 2)^{-4} \cdot 9 = -27(9x - 2)^{-4} = -\frac{27}{(9x - 2)^4}$

Ответ: $-\frac{27}{(9x - 2)^4}$

9)

Дана функция $y = \sqrt{\cos x}$. Представим ее в виде $y = (\cos x)^{1/2}$. Это сложная функция, где внешняя — степенная $u^{1/2}$, а внутренняя — $u = \cos x$.

Применяем цепное правило. Производная корня $(\sqrt{u})' = \frac{1}{2\sqrt{u}}$.

$y' = (\sqrt{\cos x})' = \frac{1}{2\sqrt{\cos x}} \cdot (\cos x)'$

Находим производную внутренней функции: $(\cos x)' = -\sin x$.

Подставляем и получаем результат:

$y' = \frac{1}{2\sqrt{\cos x}} \cdot (-\sin x) = -\frac{\sin x}{2\sqrt{\cos x}}$

Ответ: $-\frac{\sin x}{2\sqrt{\cos x}}$

36.14. Ученик предлагает находить производную функции $y = \sin 2x$ так:

1) делает замену $2x = t$ и получает функцию $y = \sin t$;

2) далее пишет: $y' = (\sin t)' = \cos t$;

3) потом подставляет значение $2x = t$ и делает вывод, что $(\sin 2x)' = \cos 2x$.

В чём ошибка этого ученика?

Ошибка ученика заключается в неправильном применении правила дифференцирования сложной функции. Функция $y = \sin(2x)$ является сложной (или композитной), так как состоит из внешней функции $f(t) = \sin(t)$ и внутренней функции $g(x) = 2x$, где $t = g(x)$.

Для нахождения производной сложной функции $y = f(g(x))$ необходимо использовать правило цепочки (chain rule), которое гласит: производная сложной функции равна произведению производной внешней функции (по её аргументу) на производную внутренней функции (по независимой переменной). Формула выглядит так:$y' = (f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$

В данном случае, производная внешней функции $f'(t) = (\sin t)' = \cos t$. Производная внутренней функции $g'(x) = (2x)' = 2$.

Ученик правильно нашел производную внешней функции, получив $\cos(t)$, и после обратной подстановки $t=2x$ получил $\cos(2x)$. Однако он совершил ошибку, пропустив второй шаг — умножение на производную внутренней функции $g'(x)$, которая равна $2$.

Правильное нахождение производной должно выглядеть следующим образом:

$y' = (\sin(2x))' = \cos(2x) \cdot (2x)' = \cos(2x) \cdot 2 = 2\cos(2x)$

Таким образом, ученик фактически нашел производную $\frac{dy}{dt}$, а не $\frac{dy}{dx}$. Правильное соотношение по правилу цепочки: $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dt} \cdot \frac{dt}{dx}$. Ученик пропустил множитель $\frac{dt}{dx} = 2$.

Ответ: Ошибка ученика состоит в том, что при нахождении производной сложной функции $y = \sin(2x)$ он не применил правило цепочки в полном объеме. Он нашел производную только от внешней функции ($\sin$), но забыл умножить результат на производную от внутренней функции ($2x$), которая равна $2$. Правильная производная равна $2\cos(2x)$, а не $\cos(2x)$.

36.15. Тело движется по координатной прямой по закону $s(t) = \sqrt{4t^2 - 6t + 11}$ (перемещение измеряется в метрах, время — в секундах). Найдите скорость движения тела в момент времени $t_0 = 5$ с.

По физическому смыслу производной, скорость движения тела является производной от функции перемещения по времени. То есть, чтобы найти скорость $v(t)$, нужно найти производную функции $s(t)$.

Дана функция перемещения: $s(t) = \sqrt{4t^2 - 6t + 11}$

Скорость $v(t)$ находится по формуле: $v(t) = s'(t)$

Для нахождения производной данной функции воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции. Пусть внутренняя функция $u(t) = 4t^2 - 6t + 11$, а внешняя $f(u) = \sqrt{u}$. Тогда производная будет равна $s'(t) = f'(u) \cdot u'(t)$.

Находим производную внутренней функции $u(t)$: $u'(t) = (4t^2 - 6t + 11)' = 4 \cdot 2t - 6 = 8t - 6$

Производная внешней функции $f(u) = \sqrt{u}$ равна $f'(u) = \frac{1}{2\sqrt{u}}$.

Теперь собираем производную сложной функции: $v(t) = s'(t) = \frac{1}{2\sqrt{4t^2 - 6t + 11}} \cdot (8t - 6)$

Упростим полученное выражение: $v(t) = \frac{8t - 6}{2\sqrt{4t^2 - 6t + 11}} = \frac{2(4t - 3)}{2\sqrt{4t^2 - 6t + 11}} = \frac{4t - 3}{\sqrt{4t^2 - 6t + 11}}$

Теперь найдем скорость движения тела в момент времени $t_0 = 5$ с, подставив это значение в формулу для скорости $v(t)$:

$v(5) = \frac{4 \cdot 5 - 3}{\sqrt{4 \cdot 5^2 - 6 \cdot 5 + 11}}$

Вычислим значение числителя: $4 \cdot 5 - 3 = 20 - 3 = 17$

Вычислим значение выражения под корнем в знаменателе: $4 \cdot 5^2 - 6 \cdot 5 + 11 = 4 \cdot 25 - 30 + 11 = 100 - 30 + 11 = 81$

Значит, знаменатель равен: $\sqrt{81} = 9$

Таким образом, скорость тела в момент времени $t_0 = 5$ с составляет: $v(5) = \frac{17}{9}$ м/с.

Ответ: $\frac{17}{9}$ м/с.