Страница 270 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

36.25. Вычислите:

1) $f'(0)$, если $f(x) = \sqrt{\frac{x-1}{2x-1}}$;

2) $f'\left(\frac{\pi}{3}\right)$, если $f(x) = \sin^2 \frac{x}{2}$.

1) Дана функция $f(x) = \sqrt{\frac{x-1}{2x-1}}$. Чтобы найти значение производной $f'(0)$, сначала найдем производную функции $f(x)$. Это сложная функция, для нахождения производной которой воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции (цепным правилом) и правилом дифференцирования частного.
Пусть $u(x) = \frac{x-1}{2x-1}$. Тогда $f(x) = \sqrt{u(x)}$.
По цепному правилу, $f'(x) = (\sqrt{u(x)})' = \frac{1}{2\sqrt{u(x)}} \cdot u'(x)$.
Найдем производную $u'(x)$ по правилу частного:
$u'(x) = \left(\frac{x-1}{2x-1}\right)' = \frac{(x-1)'(2x-1) - (x-1)(2x-1)'}{(2x-1)^2} = \frac{1 \cdot (2x-1) - (x-1) \cdot 2}{(2x-1)^2} = \frac{2x-1-2x+2}{(2x-1)^2} = \frac{1}{(2x-1)^2}$.
Теперь подставим $u(x)$ и $u'(x)$ в формулу для $f'(x)$:
$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{2x-1}}} \cdot \frac{1}{(2x-1)^2}$.
Для удобства вычислений можно преобразовать первый множитель: $f'(x) = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{2x-1}{x-1}} \cdot \frac{1}{(2x-1)^2}$.
Теперь подставим значение $x=0$ в полученное выражение для производной:
$f'(0) = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{2 \cdot 0 - 1}{0 - 1}} \cdot \frac{1}{(2 \cdot 0 - 1)^2} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{-1}{-1}} \cdot \frac{1}{(-1)^2} = \frac{1}{2} \sqrt{1} \cdot \frac{1}{1} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

2) Дана функция $f(x) = \sin^2\frac{x}{2}$. Для нахождения производной $f'(x)$ удобно сначала упростить исходную функцию, используя тригонометрическую формулу понижения степени: $\sin^2\alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}$.
В нашем случае $\alpha = \frac{x}{2}$, поэтому $2\alpha = x$. Применим формулу:
$f(x) = \frac{1 - \cos(2 \cdot \frac{x}{2})}{2} = \frac{1 - \cos x}{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos x$.
Теперь найдем производную от полученного выражения:
$f'(x) = \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\cos x\right)' = (\frac{1}{2})' - (\frac{1}{2}\cos x)' = 0 - \frac{1}{2}(-\sin x) = \frac{1}{2}\sin x$.
Осталось вычислить значение этой производной в точке $x = \frac{\pi}{3}$:
$f'(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)$.
Поскольку $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:
$f'(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{4}$.

36.26. Запишите уравнение прямой, проходящей через точку $M(-2; -3)$ и параллельной оси абсцисс.

36.26.

Чтобы найти уравнение прямой, нужно учесть два условия, заданных в задаче: прямая проходит через заданную точку и параллельна оси абсцисс.

Ось абсцисс — это ось $Ox$. Прямая, параллельная оси $Ox$, является горизонтальной. Уравнение любой горизонтальной прямой имеет вид $y = c$, где $c$ — это константа, равная ординате (координате $y$) любой точки на этой прямой.

Другими словами, угловой коэффициент $k$ такой прямой равен нулю. Если подставить $k=0$ в общее уравнение прямой $y = kx + b$, получим:
$y = 0 \cdot x + b$
$y = b$

Нам известно, что искомая прямая проходит через точку $M(-2; -3)$. Это означает, что координаты этой точки должны удовлетворять уравнению прямой. То есть, для этой прямой координата $y$ всегда должна быть равна ординате точки $M$.

Ордината точки $M$ равна -3. Следовательно, для всех точек на искомой прямой координата $y$ будет равна -3.

Таким образом, уравнение прямой: $y = -3$.

Ответ: $y = -3$

36.27. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку $M (1; -4)$, если угловой коэффициент этой прямой равен:

1) $4$;

2) $0$;

3) $-1$.

Общий вид уравнения прямой с угловым коэффициентом $k$, проходящей через точку $M(x_0; y_0)$, задается формулой:

$y - y_0 = k(x - x_0)$

По условию задачи, прямая проходит через точку $M(1; -4)$, значит $x_0 = 1$ и $y_0 = -4$. Подставим эти значения в формулу для каждого из заданных угловых коэффициентов.

1) Угловой коэффициент $k = 4$.

Подставим известные значения в уравнение прямой:

$y - (-4) = 4(x - 1)$

Упростим полученное выражение:

$y + 4 = 4x - 4$

$y = 4x - 4 - 4$

$y = 4x - 8$

Ответ: $y = 4x - 8$

2) Угловой коэффициент $k = 0$.

Подставим известные значения в уравнение прямой:

$y - (-4) = 0 \cdot (x - 1)$

Упростим полученное выражение:

$y + 4 = 0$

$y = -4$

Это уравнение горизонтальной прямой, параллельной оси абсцисс.

Ответ: $y = -4$

3) Угловой коэффициент $k = -1$.

Подставим известные значения в уравнение прямой:

$y - (-4) = -1 \cdot (x - 1)$

Упростим полученное выражение:

$y + 4 = -x + 1$

$y = -x + 1 - 4$

$y = -x - 3$

Ответ: $y = -x - 3$

36.28. Среди прямых, заданных уравнениями, укажите пары параллельных:

1) $y = 3x - 5;$
2) $y = -3x - 5;$
3) $y = -3x;$
4) $y = 7 - 3x;$
5) $y - 3x + 2 = 0;$
6) $y = \frac{1}{3}x + 7.$

Две прямые на плоскости параллельны, если их угловые коэффициенты равны, а свободные члены — различны. Уравнение прямой с угловым коэффициентом имеет вид $y = kx + b$, где $k$ — это угловой коэффициент, а $b$ — свободный член, который соответствует ординате точки пересечения прямой с осью OY.

Чтобы определить параллельные прямые, необходимо привести каждое из данных уравнений к виду $y = kx + b$ и найти их угловые коэффициенты.

1) $y = 3x - 5$
Уравнение уже представлено в стандартной форме. Угловой коэффициент $k_1 = 3$.

2) $y = -3x - 5$
Уравнение представлено в стандартной форме. Угловой коэффициент $k_2 = -3$.

3) $y = -3x$
Уравнение представлено в стандартной форме со свободным членом $b=0$. Угловой коэффициент $k_3 = -3$.

4) $y = 7 - 3x$
Приведем уравнение к стандартному виду: $y = -3x + 7$. Угловой коэффициент $k_4 = -3$.

5) $y - 3x + 2 = 0$
Выразим $y$ из уравнения: $y = 3x - 2$. Угловой коэффициент $k_5 = 3$.

6) $y = \frac{1}{3}x + 7$
Уравнение представлено в стандартной форме. Угловой коэффициент $k_6 = \frac{1}{3}$.

Теперь проведем сравнение угловых коэффициентов и свободных членов для всех прямых.

• Прямые 1 и 5 имеют одинаковый угловой коэффициент $k = 3$. Их уравнения: $y = 3x - 5$ и $y = 3x - 2$. Свободные члены $b_1 = -5$ и $b_5 = -2$ различны, следовательно, прямые 1 и 5 параллельны.
• Прямые 2, 3 и 4 имеют одинаковый угловой коэффициент $k = -3$. Их уравнения: $y = -3x - 5$, $y = -3x$ и $y = -3x + 7$. Свободные члены $b_2 = -5$, $b_3 = 0$ и $b_4 = 7$ все различны. Следовательно, эти три прямые попарно параллельны. Это образует три пары параллельных прямых: (2 и 3), (2 и 4), (3 и 4).
• Прямая 6 с угловым коэффициентом $k = \frac{1}{3}$ не имеет параллельных прямых в данном списке.

Ответ: Парами параллельных прямых являются:
• 1) $y=3x-5$ и 5) $y-3x+2=0$
• 2) $y=-3x-5$ и 3) $y=-3x$
• 2) $y=-3x-5$ и 4) $y=7-3x$
• 3) $y=-3x$ и 4) $y=7-3x$

36.29. Составьте уравнение прямой, проходящей через точку A $(-1; 9)$ и параллельной прямой $y = 9x - 16$.

Уравнение прямой имеет вид $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент, а $b$ — свободный член (ордината точки пересечения прямой с осью $y$).

По условию, искомая прямая должна быть параллельна прямой $y = 9x - 16$. Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда их угловые коэффициенты равны. Угловой коэффициент данной прямой $y = 9x - 16$ равен $k=9$.

Следовательно, угловой коэффициент искомой прямой также равен 9. Таким образом, ее уравнение можно записать в виде $y = 9x + b$.

Чтобы найти значение коэффициента $b$, воспользуемся вторым условием: прямая проходит через точку $A(-1; 9)$. Это означает, что координаты этой точки удовлетворяют уравнению прямой. Подставим значения $x = -1$ и $y = 9$ в уравнение $y = 9x + b$:

$9 = 9 \cdot (-1) + b$

Решим полученное уравнение относительно $b$:

$9 = -9 + b$
$b = 9 + 9$
$b = 18$

Теперь мы знаем оба параметра искомой прямой: $k=9$ и $b=18$. Подставляем их в общее уравнение прямой.

Ответ: $y = 9x + 18$

36.30. Составьте уравнение прямой, которая параллельна прямой $y = 4x + 2$ и пересекает прямую $y = -8x + 9$ в точке, принадлежащей оси ординат.

Будем искать уравнение искомой прямой в виде $y = kx + b$, где $k$ – это угловой коэффициент, а $b$ – ордината точки пересечения прямой с осью $Oy$.

1. Найдем угловой коэффициент $k$
По условию, искомая прямая параллельна прямой $y = 4x + 2$. Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда их угловые коэффициенты равны. Угловой коэффициент прямой $y = 4x + 2$ равен $4$. Следовательно, угловой коэффициент искомой прямой $k$ также равен $4$.
Таким образом, уравнение искомой прямой имеет вид $y = 4x + b$.

2. Найдем коэффициент $b$
По условию, искомая прямая пересекает прямую $y = -8x + 9$ в точке, принадлежащей оси ординат. Точка, принадлежащая оси ординат (оси $Oy$), имеет абсциссу (координату $x$) равную нулю.
Найдем координаты точки пересечения прямой $y = -8x + 9$ с осью ординат, подставив в ее уравнение $x = 0$:
$y = -8 \cdot 0 + 9 = 9$.
Таким образом, точка пересечения имеет координаты $(0; 9)$.

3. Составим уравнение прямой
Искомая прямая $y = 4x + b$ проходит через точку $(0; 9)$. Подставим координаты этой точки в уравнение, чтобы найти значение коэффициента $b$:
$9 = 4 \cdot 0 + b$
$9 = 0 + b$
$b = 9$.
Мы нашли угловой коэффициент $k=4$ и коэффициент $b=9$. Подставляем эти значения в общее уравнение прямой.
Ответ: $y = 4x + 9$