Страница 269 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

36.16. Материальная точка движется по координатной прямой по закону

$s(t) = (t + 2)^2(t + 5)$ (перемещение измеряется в метрах, время — в секундах). Найдите её скорость движения в момент времени $t_0 = 3$ с.

Чтобы найти скорость движения материальной точки, необходимо найти производную функции перемещения $s(t)$ по времени $t$. Скорость $v(t)$ есть первая производная от перемещения: $v(t) = s'(t)$.

Закон движения задан функцией $s(t) = (t + 2)^2(t + 5)$.

Для нахождения производной воспользуемся правилом дифференцирования произведения двух функций: $(uv)' = u'v + uv'$.

Пусть $u(t) = (t + 2)^2$ и $v(t) = t + 5$.

Найдем их производные:
$u'(t) = ((t + 2)^2)' = 2(t + 2) \cdot (t+2)' = 2(t+2) \cdot 1 = 2(t+2)$.
$v'(t) = (t + 5)' = 1$.

Теперь применим формулу производной произведения:
$s'(t) = u'(t)v(t) + u(t)v'(t) = 2(t+2)(t+5) + (t+2)^2 \cdot 1$.

Таким образом, функция скорости:
$v(t) = s'(t) = 2(t+2)(t+5) + (t+2)^2$.

Найдем значение скорости в момент времени $t_0 = 3$ с, подставив это значение в полученную функцию:
$v(3) = 2(3+2)(3+5) + (3+2)^2$.
$v(3) = 2 \cdot 5 \cdot 8 + 5^2$.
$v(3) = 10 \cdot 8 + 25$.
$v(3) = 80 + 25 = 105$.

Поскольку перемещение измеряется в метрах, а время — в секундах, то скорость измеряется в метрах в секунду (м/с).

Ответ: 105 м/с.

36.17. Найдите угловой коэффициент касательной, проведённой к графику функции $f$ в точке с абсциссой $x_0$:

1) $f(x) = \sqrt{25 - x^2}, x_0 = -3$;

2) $f(x) = \cos^2 x, x_0 = \frac{\pi}{12}$.

Угловой коэффициент касательной, проведённой к графику функции $f$ в точке с абсциссой $x_0$, равен значению производной этой функции в данной точке, то есть $k = f'(x_0)$.

1) Дана функция $f(x) = \sqrt{25 - x^2}$ и точка $x_0 = -3$.

Сначала найдем производную функции $f(x)$. Это сложная функция, поэтому воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции: $(g(h(x)))' = g'(h(x)) \cdot h'(x)$.

$f'(x) = (\sqrt{25 - x^2})' = \frac{1}{2\sqrt{25 - x^2}} \cdot (25 - x^2)' = \frac{1}{2\sqrt{25 - x^2}} \cdot (-2x) = -\frac{x}{\sqrt{25 - x^2}}$.

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = -3$:

$k = f'(-3) = -\frac{-3}{\sqrt{25 - (-3)^2}} = \frac{3}{\sqrt{25 - 9}} = \frac{3}{\sqrt{16}} = \frac{3}{4}$.

Ответ: $\frac{3}{4}$.

2) Дана функция $f(x) = \cos^2 x$ и точка $x_0 = \frac{\pi}{12}$.

Сначала найдем производную функции $f(x)$. Это также сложная функция.

$f'(x) = (\cos^2 x)' = 2 \cos x \cdot (\cos x)' = 2 \cos x \cdot (-\sin x) = -2 \sin x \cos x$.

Используя формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha$, упростим выражение для производной:

$f'(x) = -\sin(2x)$.

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{12}$:

$k = f'(\frac{\pi}{12}) = -\sin(2 \cdot \frac{\pi}{12}) = -\sin(\frac{2\pi}{12}) = -\sin(\frac{\pi}{6})$.

Так как $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$, получаем:

$k = -\frac{1}{2}$.

Ответ: $-\frac{1}{2}$.

36.18. Найдите угловой коэффициент касательной, проведённой к графику функции $f$ в точке с абсциссой $x_0$:

1) $f(x) = \sqrt{4 - 3x}, x_0 = 0;$

2) $f(x) = \text{tg } 2x, x_0 = \frac{\pi}{8}.$

Угловой коэффициент касательной к графику функции в точке $x_0$ равен значению производной функции в этой точке, то есть $k = f'(x_0)$.

1) Дана функция $f(x) = \sqrt{4 - 3x}$ и точка $x_0 = 0$.

Сначала найдем производную функции $f(x)$. Это сложная функция, поэтому используем правило дифференцирования сложной функции $(g(h(x)))' = g'(h(x)) \cdot h'(x)$.

$f'(x) = (\sqrt{4 - 3x})' = ((4 - 3x)^{1/2})' = \frac{1}{2}(4 - 3x)^{1/2 - 1} \cdot (4 - 3x)'$

$f'(x) = \frac{1}{2}(4 - 3x)^{-1/2} \cdot (-3) = -\frac{3}{2\sqrt{4 - 3x}}$

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = 0$:

$k = f'(0) = -\frac{3}{2\sqrt{4 - 3 \cdot 0}} = -\frac{3}{2\sqrt{4}} = -\frac{3}{2 \cdot 2} = -\frac{3}{4}$

Ответ: $-\frac{3}{4}$

2) Дана функция $f(x) = \operatorname{tg} 2x$ и точка $x_0 = \frac{\pi}{8}$.

Сначала найдем производную функции $f(x)$. Это также сложная функция.

$f'(x) = (\operatorname{tg} 2x)' = \frac{1}{\cos^2(2x)} \cdot (2x)' = \frac{2}{\cos^2(2x)}$

Теперь вычислим значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{8}$:

$k = f'(\frac{\pi}{8}) = \frac{2}{\cos^2(2 \cdot \frac{\pi}{8})} = \frac{2}{\cos^2(\frac{\pi}{4})}$

Мы знаем, что $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Тогда:

$\cos^2(\frac{\pi}{4}) = (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Подставим это значение в выражение для углового коэффициента:

$k = \frac{2}{1/2} = 4$

Ответ: $4$

36.19. Найдите производную функции:

1) $y = \frac{1}{x^9} - \frac{3}{x^3};$

2) $y = x\sqrt{2x + 1};$

3) $y = \sin x \cos 2x;$

4) $y = \operatorname{tg} x \sin (2x + 5);$

5) $y = \frac{\cos 3x}{x - 1};$

6) $y = \frac{\sqrt{x - 1}}{\sqrt{x + 1}};$

7) $y = (x + 1)^3(x - 2)^4;$

8) $y = \frac{\sqrt{x^2 + 1}}{x}.$

1)

Исходная функция: $y = \frac{1}{x^9} - \frac{3}{x^3}$.

Для нахождения производной представим функцию в виде степенных функций:

$y = x^{-9} - 3x^{-3}$

Теперь воспользуемся правилом дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ и правилом дифференцирования суммы/разности функций $(u \pm v)' = u' \pm v'$.

$y' = (x^{-9})' - (3x^{-3})' = -9x^{-9-1} - 3(-3)x^{-3-1} = -9x^{-10} + 9x^{-4}$.

Вернемся к записи с дробями:

$y' = -\frac{9}{x^{10}} + \frac{9}{x^4}$.

Ответ: $y' = \frac{9}{x^4} - \frac{9}{x^{10}}$.

2)

Исходная функция: $y = x\sqrt{2x + 1}$.

Это произведение двух функций: $u(x) = x$ и $v(x) = \sqrt{2x+1}$.

Используем правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$.

Найдем производные $u'$ и $v'$:

$u' = (x)' = 1$.

Для нахождения $v'$ используем правило дифференцирования сложной функции. $v(x) = (2x+1)^{1/2}$.

$v' = (\sqrt{2x+1})' = \frac{1}{2\sqrt{2x+1}} \cdot (2x+1)' = \frac{1}{2\sqrt{2x+1}} \cdot 2 = \frac{1}{\sqrt{2x+1}}$.

Теперь подставим все в формулу производной произведения:

$y' = 1 \cdot \sqrt{2x+1} + x \cdot \frac{1}{\sqrt{2x+1}} = \sqrt{2x+1} + \frac{x}{\sqrt{2x+1}}$.

Приведем к общему знаменателю:

$y' = \frac{(\sqrt{2x+1})^2 + x}{\sqrt{2x+1}} = \frac{2x+1+x}{\sqrt{2x+1}} = \frac{3x+1}{\sqrt{2x+1}}$.

Ответ: $y' = \frac{3x+1}{\sqrt{2x+1}}$.

3)

Исходная функция: $y = \sin x \cos 2x$.

Для упрощения дифференцирования воспользуемся тригонометрической формулой произведения синуса на косинус: $\sin A \cos B = \frac{1}{2}(\sin(A-B) + \sin(A+B))$.

$y = \frac{1}{2}(\sin(x-2x) + \sin(x+2x)) = \frac{1}{2}(\sin(-x) + \sin(3x))$.

Так как $\sin(-x) = -\sin x$, получаем:

$y = \frac{1}{2}(\sin(3x) - \sin x)$.

Теперь найдем производную:

$y' = \frac{1}{2}(\sin(3x) - \sin x)' = \frac{1}{2}((\sin(3x))' - (\sin x)') = \frac{1}{2}(\cos(3x) \cdot (3x)' - \cos x) = \frac{1}{2}(3\cos(3x) - \cos x)$.

Ответ: $y' = \frac{3}{2}\cos(3x) - \frac{1}{2}\cos x$.

4)

Исходная функция: $y = \operatorname{tg} x \sin(2x+5)$.

Используем правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$, где $u = \operatorname{tg} x$ и $v = \sin(2x+5)$.

Найдем производные $u'$ и $v'$:

$u' = (\operatorname{tg} x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$.

$v' = (\sin(2x+5))' = \cos(2x+5) \cdot (2x+5)' = 2\cos(2x+5)$.

Подставляем в формулу:

$y' = \frac{1}{\cos^2 x} \cdot \sin(2x+5) + \operatorname{tg} x \cdot 2\cos(2x+5) = \frac{\sin(2x+5)}{\cos^2 x} + 2\operatorname{tg} x \cos(2x+5)$.

Ответ: $y' = \frac{\sin(2x+5)}{\cos^2 x} + 2\operatorname{tg} x \cos(2x+5)$.

5)

Исходная функция: $y = \frac{\cos 3x}{x-1}$.

Используем правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$, где $u = \cos 3x$ и $v = x-1$.

Найдем производные $u'$ и $v'$:

$u' = (\cos 3x)' = -\sin(3x) \cdot (3x)' = -3\sin(3x)$.

$v' = (x-1)' = 1$.

Подставляем в формулу:

$y' = \frac{-3\sin(3x) \cdot (x-1) - \cos(3x) \cdot 1}{(x-1)^2} = \frac{-3(x-1)\sin(3x) - \cos(3x)}{(x-1)^2}$.

Вынесем минус за скобку в числителе для более аккуратного вида:

$y' = -\frac{3(x-1)\sin(3x) + \cos(3x)}{(x-1)^2}$.

Ответ: $y' = -\frac{3(x-1)\sin(3x) + \cos(3x)}{(x-1)^2}$.

6)

Исходная функция: $y = \frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}$.

Используем правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$, где $u = \sqrt{x}-1$ и $v = \sqrt{x}+1$.

Найдем производные $u'$ и $v'$:

$u' = (\sqrt{x}-1)' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

$v' = (\sqrt{x}+1)' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Подставляем в формулу:

$y' = \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}(\sqrt{x}+1) - (\sqrt{x}-1)\frac{1}{2\sqrt{x}}}{(\sqrt{x}+1)^2}$.

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ в числителе:

$y' = \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}((\sqrt{x}+1) - (\sqrt{x}-1))}{(\sqrt{x}+1)^2} = \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}(\sqrt{x}+1 - \sqrt{x}+1)}{(\sqrt{x}+1)^2} = \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}} \cdot 2}{(\sqrt{x}+1)^2}$.

Упрощаем:

$y' = \frac{\frac{1}{\sqrt{x}}}{(\sqrt{x}+1)^2} = \frac{1}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)^2}$.

Ответ: $y' = \frac{1}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)^2}$.

7)

Исходная функция: $y = (x+1)^3(x-2)^4$.

Используем правило дифференцирования произведения $(uv)' = u'v + uv'$, где $u=(x+1)^3$ и $v=(x-2)^4$.

Найдем производные $u'$ и $v'$ по правилу для сложной функции:

$u' = ((x+1)^3)' = 3(x+1)^2 \cdot (x+1)' = 3(x+1)^2$.

$v' = ((x-2)^4)' = 4(x-2)^3 \cdot (x-2)' = 4(x-2)^3$.

Подставляем в формулу:

$y' = 3(x+1)^2(x-2)^4 + (x+1)^3 \cdot 4(x-2)^3$.

Вынесем общие множители $(x+1)^2$ и $(x-2)^3$ за скобки:

$y' = (x+1)^2(x-2)^3 [3(x-2) + 4(x+1)]$.

Упростим выражение в квадратных скобках:

$y' = (x+1)^2(x-2)^3 [3x-6 + 4x+4] = (x+1)^2(x-2)^3(7x-2)$.

Ответ: $y' = (x+1)^2(x-2)^3(7x-2)$.

8)

Исходная функция: $y = \frac{\sqrt{x^2+1}}{x}$.

Используем правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$, где $u=\sqrt{x^2+1}$ и $v=x$.

Найдем производные $u'$ и $v'$:

$u' = (\sqrt{x^2+1})' = \frac{1}{2\sqrt{x^2+1}} \cdot (x^2+1)' = \frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}} = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$.

$v' = (x)' = 1$.

Подставляем в формулу:

$y' = \frac{\frac{x}{\sqrt{x^2+1}} \cdot x - \sqrt{x^2+1} \cdot 1}{x^2} = \frac{\frac{x^2}{\sqrt{x^2+1}} - \sqrt{x^2+1}}{x^2}$.

Приведем числитель к общему знаменателю $\sqrt{x^2+1}$:

$y' = \frac{\frac{x^2 - (\sqrt{x^2+1})^2}{\sqrt{x^2+1}}}{x^2} = \frac{\frac{x^2 - (x^2+1)}{\sqrt{x^2+1}}}{x^2} = \frac{\frac{x^2-x^2-1}{\sqrt{x^2+1}}}{x^2} = \frac{\frac{-1}{\sqrt{x^2+1}}}{x^2}$.

Упрощаем:

$y' = -\frac{1}{x^2\sqrt{x^2+1}}$.

Ответ: $y' = -\frac{1}{x^2\sqrt{x^2+1}}$.

36.20. Найдите производную функции:

1) $y = \frac{1}{x} + \frac{6}{x^2} - \frac{5}{x^6}$;

2) $y = x\sqrt{x+3}$;

3) $y = \sin 2x \cos x$;

4) $y = (x+2)^5(x-3)^4$.

1) Дана функция $y = \frac{1}{x} + \frac{6}{x^2} - \frac{5}{x^6}$.

Для нахождения производной представим функцию в виде суммы степенных функций, используя свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:

$y = x^{-1} + 6x^{-2} - 5x^{-6}$

Теперь воспользуемся правилом дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ и правилом дифференцирования суммы функций $(u+v)' = u' + v'$. Дифференцируем каждое слагаемое:

$y' = (x^{-1})' + (6x^{-2})' - (5x^{-6})' = (-1) \cdot x^{-1-1} + 6 \cdot (-2)x^{-2-1} - 5 \cdot (-6)x^{-6-1}$

Выполняем вычисления:

$y' = -x^{-2} - 12x^{-3} + 30x^{-7}$

Запишем результат, вернувшись к представлению в виде дробей:

$y' = -\frac{1}{x^2} - \frac{12}{x^3} + \frac{30}{x^8}$

Ответ: $y' = -\frac{1}{x^2} - \frac{12}{x^3} + \frac{30}{x^8}$.

2) Дана функция $y = x\sqrt{x+3}$.

Эта функция представляет собой произведение двух функций: $u(x) = x$ и $v(x) = \sqrt{x+3}$. Для нахождения производной воспользуемся правилом дифференцирования произведения: $(uv)' = u'v + uv'$.

Найдем производные для каждой из функций:

$u'(x) = (x)' = 1$.

Для нахождения производной $v(x) = \sqrt{x+3} = (x+3)^{1/2}$ воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции. Производная внешней степенной функции $(\sqrt{t})' = \frac{1}{2\sqrt{t}}$, а производная внутренней функции $(x+3)' = 1$.

$v'(x) = ((x+3)^{1/2})' = \frac{1}{2}(x+3)^{\frac{1}{2}-1} \cdot (x+3)' = \frac{1}{2}(x+3)^{-1/2} \cdot 1 = \frac{1}{2\sqrt{x+3}}$.

Теперь подставим найденные производные в формулу производной произведения:

$y' = u'v + uv' = 1 \cdot \sqrt{x+3} + x \cdot \frac{1}{2\sqrt{x+3}} = \sqrt{x+3} + \frac{x}{2\sqrt{x+3}}$.

Приведем выражение к общему знаменателю для упрощения:

$y' = \frac{\sqrt{x+3} \cdot 2\sqrt{x+3}}{2\sqrt{x+3}} + \frac{x}{2\sqrt{x+3}} = \frac{2(x+3) + x}{2\sqrt{x+3}} = \frac{2x+6+x}{2\sqrt{x+3}} = \frac{3x+6}{2\sqrt{x+3}}$.

Ответ: $y' = \frac{3x+6}{2\sqrt{x+3}}$.

3) Дана функция $y = \sin 2x \cos x$.

Для упрощения дифференцирования преобразуем исходное выражение, используя тригонометрическую формулу произведения синуса на косинус: $\sin\alpha \cos\beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta))$.

В нашем случае $\alpha = 2x$ и $\beta = x$.

$y = \frac{1}{2}(\sin(2x+x) + \sin(2x-x)) = \frac{1}{2}(\sin(3x) + \sin x)$.

Теперь найти производную гораздо проще. Используем правило дифференцирования суммы и производные тригонометрических функций $(\sin(kx))' = k\cos(kx)$ и $(\sin x)' = \cos x$.

$y' = \left(\frac{1}{2}(\sin(3x) + \sin x)\right)' = \frac{1}{2}((\sin(3x))' + (\sin x)')$.

$y' = \frac{1}{2}(3\cos(3x) + \cos x)$.

Ответ: $y' = \frac{1}{2}(3\cos 3x + \cos x)$.

4) Дана функция $y = (x+2)^5(x-3)^4$.

Эта функция является произведением двух функций: $u(x) = (x+2)^5$ и $v(x) = (x-3)^4$. Применим правило дифференцирования произведения: $(uv)' = u'v + uv'$.

Найдем производные $u'(x)$ и $v'(x)$ используя правило дифференцирования сложной функции $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$.

$u'(x) = ((x+2)^5)' = 5(x+2)^{5-1} \cdot (x+2)' = 5(x+2)^4 \cdot 1 = 5(x+2)^4$.

$v'(x) = ((x-3)^4)' = 4(x-3)^{4-1} \cdot (x-3)' = 4(x-3)^3 \cdot 1 = 4(x-3)^3$.

Подставим найденные производные в формулу производной произведения:

$y' = u'v + uv' = 5(x+2)^4(x-3)^4 + (x+2)^5 \cdot 4(x-3)^3$.

Для упрощения вынесем за скобки общие множители $(x+2)^4$ и $(x-3)^3$.

$y' = (x+2)^4(x-3)^3 [5(x-3) + 4(x+2)]$.

Упростим выражение в квадратных скобках:

$5(x-3) + 4(x+2) = 5x - 15 + 4x + 8 = 9x - 7$.

Таким образом, окончательное выражение для производной:

$y' = (x+2)^4(x-3)^3(9x - 7)$.

Ответ: $y' = (x+2)^4(x-3)^3(9x-7)$.

36.21. Материальная точка массой 4 кг движется по координатной прямой по закону $s(t) = t^2 + 4$ (перемещение измеряется в метрах, время – в секундах). Найдите импульс $P(t) = mv(t)$ материальной точки в момент времени $t_0 = 2$ с.

Для нахождения импульса $P(t)$ материальной точки необходимо знать ее массу $m$ и мгновенную скорость $v(t)$. Формула для импульса задана в условии: $P(t) = m \cdot v(t)$.

Из условия задачи известны:

• масса материальной точки: $m = 4$ кг;
• закон движения (перемещение): $s(t) = t^2 + 4$;
• момент времени: $t_0 = 2$ с.

Мгновенная скорость $v(t)$ является первой производной от перемещения $s(t)$ по времени $t$. Найдем функцию скорости:
$v(t) = s'(t) = (t^2 + 4)'$.

Используя правила дифференцирования (производная степенной функции $(t^n)' = n \cdot t^{n-1}$ и производная константы равна нулю), получаем:
$v(t) = 2 \cdot t^{2-1} + 0 = 2t$.

Теперь вычислим значение скорости в момент времени $t_0 = 2$ с:
$v(2) = 2 \cdot 2 = 4$ м/с.

Наконец, рассчитаем импульс материальной точки в данный момент времени, подставив известные значения массы и вычисленную скорость в формулу импульса:
$P(2) = m \cdot v(2) = 4 \text{ кг} \cdot 4 \text{ м/с} = 16 \text{ кг} \cdot \text{м/с}$.

Ответ: $16 \text{ кг} \cdot \text{м/с}$.

36.22. Тело массой 2 кг движется по координатной прямой по закону $s(t) = 3t^2 - 4t + 2$ (перемещение измеряется в метрах, время — в секундах). Найдите кинетическую энергию $E(t) = \frac{mv^2(t)}{2}$ тела в момент времени $t_0 = 4$ с.

Для решения задачи нам даны следующие данные:
Масса тела: $m = 2$ кг.
Закон движения тела, описывающий его перемещение: $s(t) = 3t^2 - 4t + 2$ (перемещение $s$ в метрах, время $t$ в секундах).
Момент времени: $t_0 = 4$ с.

Требуется найти кинетическую энергию тела $E(t)$, которая вычисляется по формуле $E(t) = \frac{mv^2(t)}{2}$. Для этого сначала необходимо определить скорость тела $v(t)$ в заданный момент времени.

Скорость тела является первой производной от перемещения по времени. Найдем производную функции $s(t)$:
$v(t) = s'(t) = \frac{d}{dt}(3t^2 - 4t + 2)$
Используя правила дифференцирования, получаем:
$v(t) = 3 \cdot 2t^{2-1} - 4 \cdot 1t^{1-1} + 0 = 6t - 4$.
Таким образом, зависимость скорости тела от времени описывается функцией $v(t) = 6t - 4$ (м/с).

Теперь вычислим значение скорости в момент времени $t_0 = 4$ с:
$v(4) = 6 \cdot 4 - 4 = 24 - 4 = 20$ м/с.

Зная массу тела и его скорость в момент времени $t_0 = 4$ с, мы можем рассчитать его кинетическую энергию:
$E(4) = \frac{m \cdot (v(4))^2}{2}$
$E(4) = \frac{2 \cdot (20)^2}{2}$
$E(4) = \frac{2 \cdot 400}{2} = \frac{800}{2} = 400$ Дж.

Ответ: $400$ Дж.

36.23. Тело движется по координатной прямой по закону $s(t) = 2t^2 - 8t + 15$ (перемещение измеряется в метрах, время – в секундах). Определите координату тела в момент времени, когда его кинетическая энергия равна нулю.

Закон движения тела по координатной прямой задан уравнением $s(t) = 2t^2 - 8t + 15$, где $s$ — координата в метрах, а $t$ — время в секундах.

Кинетическая энергия тела вычисляется по формуле $E_k = \frac{mv^2}{2}$, где $m$ — масса тела, а $v$ — его скорость.

По условию задачи, кинетическая энергия тела равна нулю. Так как масса тела $m$ является положительной величиной ($m > 0$), равенство кинетической энергии нулю означает, что скорость тела также равна нулю ($v = 0$).

Скорость тела $v(t)$ является физическим смыслом первой производной от координаты по времени $s'(t)$. Найдем функцию скорости:

$v(t) = s'(t) = (2t^2 - 8t + 15)' = 2 \cdot 2t - 8 = 4t - 8$.

Теперь найдем момент времени $t$, в который скорость тела обращается в ноль. Для этого решим уравнение $v(t) = 0$:

$4t - 8 = 0$

$4t = 8$

$t = \frac{8}{4} = 2$ с.

Итак, в момент времени $t = 2$ секунды кинетическая энергия тела равна нулю. Чтобы найти координату тела в этот момент, подставим найденное значение $t$ в исходное уравнение движения $s(t)$:

$s(2) = 2 \cdot (2)^2 - 8 \cdot 2 + 15 = 2 \cdot 4 - 16 + 15 = 8 - 16 + 15 = 7$ м.

Ответ: 7.

36.24. Найдите производную функции:

1) $y = \cos^3 2x,$

2) $y = \sqrt{\sin\left(\frac{x}{5} - \frac{\pi}{4}\right)};$

3) $y = \left(\sin\frac{x}{3} - 5\right)^6.$

1) Данная функция $y = \cos^3 2x$ является сложной. Её можно представить как степенную функцию $u^3$, где основание $u = \cos 2x$ также является сложной функцией. Для нахождения производной будем использовать правило дифференцирования сложной функции (цепное правило) последовательно.

$y' = (\cos^3 2x)' = ((\cos 2x)^3)'$

Сначала берем производную от степенной функции (куба), умножая на производную ее основания:

$y' = 3(\cos 2x)^{3-1} \cdot (\cos 2x)' = 3\cos^2 2x \cdot (\cos 2x)'$

Теперь находим производную от $\cos 2x$, снова применяя цепное правило:

$(\cos 2x)' = -\sin 2x \cdot (2x)' = -\sin 2x \cdot 2 = -2\sin 2x$

Подставляем найденное выражение обратно:

$y' = 3\cos^2 2x \cdot (-2\sin 2x) = -6\sin 2x \cos^2 2x$

Ответ: $y' = -6\sin 2x \cos^2 2x$.

2) Дана функция $y = \sqrt{\sin(\frac{x}{5}-\frac{\pi}{4})}$. Это сложная функция, которую можно представить в виде $y = \sqrt{u}$, где $u = \sin(v)$, а $v = \frac{x}{5}-\frac{\pi}{4}$. Найдем производную, используя цепное правило.

$y' = \left(\sqrt{\sin\left(\frac{x}{5}-\frac{\pi}{4}\right)}\right)'$

Производная квадратного корня это $\frac{1}{2\sqrt{u}}$, умноженная на производную подкоренного выражения:

$y' = \frac{1}{2\sqrt{\sin(\frac{x}{5}-\frac{\pi}{4})}} \cdot \left(\sin\left(\frac{x}{5}-\frac{\pi}{4}\right)\right)'$

Далее, находим производную синуса, умножая на производную его аргумента:

$\left(\sin\left(\frac{x}{5}-\frac{\pi}{4}\right)\right)' = \cos\left(\frac{x}{5}-\frac{\pi}{4}\right) \cdot \left(\frac{x}{5}-\frac{\pi}{4}\right)'$

Производная аргумента:

$\left(\frac{x}{5}-\frac{\pi}{4}\right)' = \frac{1}{5} - 0 = \frac{1}{5}$

Собираем все части вместе:

$y' = \frac{1}{2\sqrt{\sin(\frac{x}{5}-\frac{\pi}{4})}} \cdot \cos\left(\frac{x}{5}-\frac{\pi}{4}\right) \cdot \frac{1}{5}$

Упрощая, получаем окончательный вид:

$y' = \frac{\cos(\frac{x}{5}-\frac{\pi}{4})}{10\sqrt{\sin(\frac{x}{5}-\frac{\pi}{4})}}$

Ответ: $y' = \frac{\cos(\frac{x}{5}-\frac{\pi}{4})}{10\sqrt{\sin(\frac{x}{5}-\frac{\pi}{4})}}$.

3) Дана функция $y = \left(\sin\frac{x}{3}-5\right)^6$. Это сложная функция вида $y=u^6$, где $u = \sin\frac{x}{3}-5$. Применяем правило дифференцирования сложной функции.

$y' = \left(\left(\sin\frac{x}{3}-5\right)^6\right)'$

Берем производную от степенной функции (шестой степени), умножая на производную основания:

$y' = 6\left(\sin\frac{x}{3}-5\right)^{6-1} \cdot \left(\sin\frac{x}{3}-5\right)' = 6\left(\sin\frac{x}{3}-5\right)^5 \cdot \left(\sin\frac{x}{3}-5\right)'$

Находим производную основания, используя правило производной разности:

$\left(\sin\frac{x}{3}-5\right)' = \left(\sin\frac{x}{3}\right)' - (5)'$

Производная константы $(5)' = 0$. Для нахождения производной $\left(\sin\frac{x}{3}\right)'$ снова используем цепное правило:

$\left(\sin\frac{x}{3}\right)' = \cos\left(\frac{x}{3}\right) \cdot \left(\frac{x}{3}\right)' = \cos\left(\frac{x}{3}\right) \cdot \frac{1}{3}$

Подставляем все в исходное выражение для $y'$:

$y' = 6\left(\sin\frac{x}{3}-5\right)^5 \cdot \left(\frac{1}{3}\cos\frac{x}{3}\right)$

Упрощаем, перемножая числовые коэффициенты:

$y' = \frac{6}{3}\cos\frac{x}{3}\left(\sin\frac{x}{3}-5\right)^5 = 2\cos\frac{x}{3}\left(\sin\frac{x}{3}-5\right)^5$

Ответ: $y' = 2\cos\frac{x}{3}\left(\sin\frac{x}{3}-5\right)^5$.