Страница 273 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

37.2. Составьте уравнение касательной к графику функции $f$ в точке с абсциссой $x_0$, если:

1) $f(x) = 2x^3 - 3x, x_0 = 1;$

2) $f(x) = 0,5x^2 - 2x + 2, x_0 = 0;$

3) $f(x) = \cos x, x_0 = \frac{\pi}{2};$

4) $f(x) = \operatorname{ctg}\left(x + \frac{\pi}{4}\right), x_0 = -\frac{\pi}{2};$

5) $f(x) = \sqrt{4x^2 + 3x}, x_0 = -1;$

6) $f(x) = \frac{x^2 - 4x}{x - 2}, x_0 = 3.$

Общий вид уравнения касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ следующий:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

где $f(x_0)$ — значение функции в точке касания, а $f'(x_0)$ — значение производной в той же точке, которое равно угловому коэффициенту касательной.

1) $f(x) = 2x^3 - 3x, x_0 = 1$

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = 1$:

$f(1) = 2 \cdot 1^3 - 3 \cdot 1 = 2 - 3 = -1$.

2. Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (2x^3 - 3x)' = 2 \cdot 3x^2 - 3 = 6x^2 - 3$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0 = 1$:

$f'(1) = 6 \cdot 1^2 - 3 = 6 - 3 = 3$.

4. Подставим найденные значения $f(1) = -1$ и $f'(1) = 3$ в уравнение касательной:

$y = -1 + 3(x - 1)$

$y = -1 + 3x - 3$

$y = 3x - 4$

Ответ: $y = 3x - 4$.

2) $f(x) = 0,5x^2 - 2x + 2, x_0 = 0$

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = 0$:

$f(0) = 0,5 \cdot 0^2 - 2 \cdot 0 + 2 = 2$.

2. Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (0,5x^2 - 2x + 2)' = 0,5 \cdot 2x - 2 = x - 2$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0 = 0$:

$f'(0) = 0 - 2 = -2$.

4. Подставим найденные значения $f(0) = 2$ и $f'(0) = -2$ в уравнение касательной:

$y = 2 + (-2)(x - 0)$

$y = 2 - 2x$

Ответ: $y = -2x + 2$.

3) $f(x) = \cos x, x_0 = \frac{\pi}{2}$

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = \frac{\pi}{2}$:

$f(\frac{\pi}{2}) = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0$.

2. Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (\cos x)' = -\sin x$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0 = \frac{\pi}{2}$:

$f'(\frac{\pi}{2}) = -\sin(\frac{\pi}{2}) = -1$.

4. Подставим найденные значения $f(\frac{\pi}{2}) = 0$ и $f'(\frac{\pi}{2}) = -1$ в уравнение касательной:

$y = 0 + (-1)(x - \frac{\pi}{2})$

$y = -x + \frac{\pi}{2}$

Ответ: $y = -x + \frac{\pi}{2}$.

4) $f(x) = \text{ctg}(x + \frac{\pi}{4}), x_0 = -\frac{\pi}{2}$

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = -\frac{\pi}{2}$:

$f(-\frac{\pi}{2}) = \text{ctg}(-\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4}) = \text{ctg}(-\frac{\pi}{4}) = -1$.

2. Найдем производную функции $f(x)$ (используя правило дифференцирования сложной функции):

$f'(x) = (\text{ctg}(x + \frac{\pi}{4}))' = -\frac{1}{\sin^2(x + \frac{\pi}{4})} \cdot (x + \frac{\pi}{4})' = -\frac{1}{\sin^2(x + \frac{\pi}{4})}$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0 = -\frac{\pi}{2}$:

$f'(-\frac{\pi}{2}) = -\frac{1}{\sin^2(-\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4})} = -\frac{1}{\sin^2(-\frac{\pi}{4})} = -\frac{1}{(-\frac{\sqrt{2}}{2})^2} = -\frac{1}{\frac{2}{4}} = -\frac{1}{\frac{1}{2}} = -2$.

4. Подставим найденные значения в уравнение касательной:

$y = -1 + (-2)(x - (-\frac{\pi}{2}))$

$y = -1 - 2(x + \frac{\pi}{2})$

$y = -1 - 2x - \pi$

Ответ: $y = -2x - \pi - 1$.

5) $f(x) = \sqrt{4x^2 + 3x}, x_0 = -1$

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = -1$:

$f(-1) = \sqrt{4(-1)^2 + 3(-1)} = \sqrt{4 - 3} = \sqrt{1} = 1$.

2. Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (\sqrt{4x^2 + 3x})' = \frac{1}{2\sqrt{4x^2 + 3x}} \cdot (4x^2 + 3x)' = \frac{8x + 3}{2\sqrt{4x^2 + 3x}}$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0 = -1$:

$f'(-1) = \frac{8(-1) + 3}{2\sqrt{4(-1)^2 + 3(-1)}} = \frac{-8 + 3}{2\sqrt{1}} = \frac{-5}{2} = -2,5$.

4. Подставим найденные значения в уравнение касательной:

$y = 1 + (-2,5)(x - (-1))$

$y = 1 - 2,5(x + 1)$

$y = 1 - 2,5x - 2,5$

$y = -2,5x - 1,5$

Ответ: $y = -2,5x - 1,5$.

6) $f(x) = \frac{x^2 - 4x}{x - 2}, x_0 = 3$

1. Найдем значение функции в точке $x_0 = 3$:

$f(3) = \frac{3^2 - 4 \cdot 3}{3 - 2} = \frac{9 - 12}{1} = -3$.

2. Найдем производную функции $f(x)$ (используя правило дифференцирования частного):

$f'(x) = \frac{(x^2 - 4x)'(x - 2) - (x^2 - 4x)(x - 2)'}{(x - 2)^2} = \frac{(2x - 4)(x - 2) - (x^2 - 4x) \cdot 1}{(x - 2)^2}$

$f'(x) = \frac{2x^2 - 4x - 4x + 8 - x^2 + 4x}{(x - 2)^2} = \frac{x^2 - 4x + 8}{(x - 2)^2}$.

3. Найдем значение производной в точке $x_0 = 3$:

$f'(3) = \frac{3^2 - 4 \cdot 3 + 8}{(3 - 2)^2} = \frac{9 - 12 + 8}{1^2} = \frac{5}{1} = 5$.

4. Подставим найденные значения в уравнение касательной:

$y = -3 + 5(x - 3)$

$y = -3 + 5x - 15$

$y = 5x - 18$

Ответ: $y = 5x - 18$.

37.3. Запишите уравнение касательной к графику данной функции в точке его пересечения с осью ординат:

1) $f(x) = x^2 - 3x - 3$;

2) $f(x) = \cos\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{3}\right)$.

1) Уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$. Точка пересечения графика функции с осью ординат (осью y) — это точка, в которой абсцисса $x$ равна нулю. Следовательно, $x_0 = 0$.
Найдем значение функции в этой точке:
$y_0 = f(0) = 0^2 - 3 \cdot 0 - 3 = -3$.
Таким образом, точка касания — $(0; -3)$.
Теперь найдем производную функции $f(x) = x^2 - 3x - 3$:
$f'(x) = (x^2)' - (3x)' - (3)' = 2x - 3$.
Найдем угловой коэффициент касательной, который равен значению производной в точке $x_0 = 0$:
$k = f'(0) = 2 \cdot 0 - 3 = -3$.
Подставим найденные значения $x_0 = 0$, $f(x_0) = -3$ и $f'(x_0) = -3$ в уравнение касательной:
$y = -3 + (-3)(x - 0)$
$y = -3x - 3$.
Ответ: $y = -3x - 3$.

2) Найдем уравнение касательной для функции $f(x) = \cos\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{3}\right)$. Точка касания — это точка пересечения с осью ординат, поэтому абсцисса $x_0 = 0$.
Найдем значение функции в этой точке:
$y_0 = f(0) = \cos\left(\frac{0}{2} - \frac{\pi}{3}\right) = \cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)$.
Так как функция косинус четная ($\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$), получаем:
$y_0 = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$.
Точка касания — $(0; \frac{1}{2})$.
Теперь найдем производную функции $f(x)$, используя правило дифференцирования сложной функции:
$f'(x) = \left(\cos\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{3}\right)\right)' = -\sin\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{3}\right) \cdot \left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{3}\right)' = -\sin\left(\frac{x}{2} - \frac{\pi}{3}\right) \cdot \frac{1}{2}$.
Найдем угловой коэффициент касательной в точке $x_0 = 0$:
$k = f'(0) = -\frac{1}{2}\sin\left(\frac{0}{2} - \frac{\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)$.
Так как функция синус нечетная ($\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$), получаем:
$k = -\frac{1}{2}\left(-\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\right) = \frac{1}{2}\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}$.
Подставим найденные значения $x_0 = 0$, $f(x_0) = \frac{1}{2}$ и $f'(x_0) = \frac{\sqrt{3}}{4}$ в уравнение касательной:
$y = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{4}(x - 0)$
$y = \frac{\sqrt{3}}{4}x + \frac{1}{2}$.
Ответ: $y = \frac{\sqrt{3}}{4}x + \frac{1}{2}$.

37.4. Запишите уравнение касательной к графику данной функции в точке его пересечения с осью ординат:

1) $f(x) = 2x^3 - 5x + 2;$

2) $f(x) = \sin\left(3x - \frac{\pi}{4}\right).$

Общий вид уравнения касательной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ выглядит следующим образом:

$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$

Нам нужно найти уравнение касательной в точке пересечения графика функции с осью ординат. Для любой точки на оси ординат абсцисса $x_0 = 0$.

1) Дана функция $f(x) = 2x^3 - 5x + 2$.

1. Найдем координаты точки касания. Абсцисса точки касания $x_0 = 0$. Найдем соответствующую ординату $y_0 = f(x_0)$:

$y_0 = f(0) = 2 \cdot 0^3 - 5 \cdot 0 + 2 = 2$.

Таким образом, точка касания имеет координаты $(0; 2)$.

2. Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (2x^3 - 5x + 2)' = 6x^2 - 5$.

3. Вычислим значение производной в точке $x_0 = 0$, чтобы найти угловой коэффициент $k$ касательной:

$k = f'(0) = 6 \cdot 0^2 - 5 = -5$.

4. Подставим найденные значения $x_0=0$, $f(x_0)=2$ и $f'(x_0)=-5$ в общее уравнение касательной:

$y = 2 + (-5)(x - 0)$

$y = 2 - 5x$

Ответ: $y = -5x + 2$

2) Дана функция $f(x) = \sin(3x - \frac{\pi}{4})$.

1. Найдем координаты точки касания. Абсцисса точки касания $x_0 = 0$. Найдем соответствующую ординату $y_0 = f(x_0)$:

$y_0 = f(0) = \sin(3 \cdot 0 - \frac{\pi}{4}) = \sin(-\frac{\pi}{4}) = -\sin(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Таким образом, точка касания имеет координаты $(0; -\frac{\sqrt{2}}{2})$.

2. Найдем производную функции $f(x)$, используя правило дифференцирования сложной функции:

$f'(x) = (\sin(3x - \frac{\pi}{4}))' = \cos(3x - \frac{\pi}{4}) \cdot (3x - \frac{\pi}{4})' = 3\cos(3x - \frac{\pi}{4})$.

3. Вычислим значение производной в точке $x_0 = 0$, чтобы найти угловой коэффициент $k$ касательной:

$k = f'(0) = 3\cos(3 \cdot 0 - \frac{\pi}{4}) = 3\cos(-\frac{\pi}{4}) = 3\cos(\frac{\pi}{4}) = 3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$.

4. Подставим найденные значения $x_0=0$, $f(x_0)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $f'(x_0)=\frac{3\sqrt{2}}{2}$ в общее уравнение касательной:

$y = -\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{3\sqrt{2}}{2}(x - 0)$

$y = \frac{3\sqrt{2}}{2}x - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Ответ: $y = \frac{3\sqrt{2}}{2}x - \frac{\sqrt{2}}{2}$

37.5. Составьте уравнение касательной к графику функции $f$ в точке его пересечения с осью абсцисс:

1) $f(x) = 8x^3 - 1;$

2) $f(x) = x - \frac{1}{x}.$

1) $f(x) = 8x^3 - 1$

Уравнение касательной к графику функции в точке $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Сначала найдем точку касания. По условию, это точка пересечения графика с осью абсцисс, то есть точка, в которой $y = f(x) = 0$.

Решим уравнение $f(x) = 0$:

$8x^3 - 1 = 0$

$8x^3 = 1$

$x^3 = \frac{1}{8}$

$x_0 = \frac{1}{2}$

Таким образом, точка касания имеет координаты $(\frac{1}{2}; 0)$.

Теперь найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (8x^3 - 1)' = 8 \cdot 3x^2 - 0 = 24x^2$.

Найдем угловой коэффициент касательной, который равен значению производной в точке касания $x_0 = \frac{1}{2}$:

$k = f'(\frac{1}{2}) = 24 \cdot (\frac{1}{2})^2 = 24 \cdot \frac{1}{4} = 6$.

Подставим найденные значения $x_0 = \frac{1}{2}$, $f(x_0) = 0$ и $f'(x_0) = 6$ в уравнение касательной:

$y = 0 + 6(x - \frac{1}{2})$

$y = 6x - 3$

Ответ: $y = 6x - 3$.

2) $f(x) = x - \frac{1}{x}$

Найдем точки пересечения графика функции с осью абсцисс, решив уравнение $f(x) = 0$. Область определения функции: $x \neq 0$.

$x - \frac{1}{x} = 0$

Умножим обе части на $x$ (так как $x \neq 0$):

$x^2 - 1 = 0$

$(x-1)(x+1) = 0$

Отсюда получаем две точки пересечения: $x_1 = -1$ и $x_2 = 1$. Следовательно, у графика есть две точки касания с осью абсцисс, и нужно составить два уравнения касательных.

Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (x - \frac{1}{x})' = (x - x^{-1})' = 1 - (-1)x^{-2} = 1 + x^{-2} = 1 + \frac{1}{x^2}$.

Случай 1: Точка касания $(-1; 0)$, где $x_0 = -1$.

Найдем угловой коэффициент касательной в этой точке:

$k_1 = f'(-1) = 1 + \frac{1}{(-1)^2} = 1 + 1 = 2$.

Уравнение касательной в точке $(-1; 0)$:

$y = f(-1) + f'(-1)(x - (-1))$

$y = 0 + 2(x + 1)$

$y = 2x + 2$

Случай 2: Точка касания $(1; 0)$, где $x_0 = 1$.

Найдем угловой коэффициент касательной в этой точке:

$k_2 = f'(1) = 1 + \frac{1}{1^2} = 1 + 1 = 2$.

Уравнение касательной в точке $(1; 0)$:

$y = f(1) + f'(1)(x - 1)$

$y = 0 + 2(x - 1)$

$y = 2x - 2$

Ответ: $y = 2x + 2$ и $y = 2x - 2$.

37.6. Составьте уравнение касательной к графику функции $f$ в точке его пересечения с осью абсцисс:

1) $f(x) = \frac{x-1}{x^2+1};$

2) $f(x) = 3x-x^2.$

1) $f(x) = \frac{x-1}{x^2+1}$

Уравнение касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Сначала найдем точку пересечения графика функции с осью абсцисс. Для этого приравняем функцию к нулю:

$f(x) = 0$

$\frac{x-1}{x^2+1} = 0$

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Знаменатель $x^2+1$ всегда больше нуля при любом действительном значении $x$. Следовательно, решаем уравнение:

$x-1 = 0 \implies x_0 = 1$.

Итак, точка касания имеет абсциссу $x_0=1$. Ордината этой точки $y_0 = f(1) = \frac{1-1}{1^2+1} = 0$. Точка касания — $(1, 0)$.

Теперь найдем производную функции $f(x)$, используя правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:

$f'(x) = \frac{(x-1)'(x^2+1) - (x-1)(x^2+1)'}{(x^2+1)^2} = \frac{1 \cdot (x^2+1) - (x-1) \cdot 2x}{(x^2+1)^2} = \frac{x^2+1 - 2x^2+2x}{(x^2+1)^2} = \frac{-x^2+2x+1}{(x^2+1)^2}$.

Вычислим значение производной в точке $x_0 = 1$, чтобы найти угловой коэффициент касательной $k$:

$k = f'(1) = \frac{-(1)^2 + 2(1) + 1}{(1^2+1)^2} = \frac{-1+2+1}{(2)^2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

Подставим найденные значения $x_0=1$, $f(x_0)=0$ и $f'(x_0)=\frac{1}{2}$ в уравнение касательной:

$y = 0 + \frac{1}{2}(x - 1)$

$y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}$

Ответ: $y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}$.

2) $f(x) = 3x - x^2$

Найдем точки пересечения графика функции с осью абсцисс, решив уравнение $f(x) = 0$:

$3x - x^2 = 0$

$x(3-x) = 0$

Уравнение имеет два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 3$.

Следовательно, существуют две точки пересечения с осью абсцисс, и мы должны составить уравнения касательных в каждой из этих точек.

Найдем производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (3x - x^2)' = 3 - 2x$.

Случай 1: Точка касания с абсциссой $x_1 = 0$.

Ордината точки касания $y_1 = f(0) = 3(0) - 0^2 = 0$. Точка касания — $(0, 0)$.

Угловой коэффициент касательной в этой точке:

$k_1 = f'(0) = 3 - 2(0) = 3$.

Уравнение касательной:

$y = f(0) + f'(0)(x-0)$

$y = 0 + 3(x-0)$

$y = 3x$

Случай 2: Точка касания с абсциссой $x_2 = 3$.

Ордината точки касания $y_2 = f(3) = 3(3) - 3^2 = 9 - 9 = 0$. Точка касания — $(3, 0)$.

Угловой коэффициент касательной в этой точке:

$k_2 = f'(3) = 3 - 2(3) = 3 - 6 = -3$.

Уравнение касательной:

$y = f(3) + f'(3)(x-3)$

$y = 0 + (-3)(x-3)$

$y = -3x + 9$

Таким образом, мы получили два уравнения касательных, так как график функции пересекает ось абсцисс в двух точках.

Ответ: $y=3x$ и $y=-3x+9$.

37.7. Найдите координаты точки параболы $y = 2x^2 - x + 1$, в которой касательная к ней параллельна прямой $y = 7x - 8$.

Для того чтобы касательная к параболе была параллельна заданной прямой, их угловые коэффициенты должны быть равны.

1. Найдем угловой коэффициент $k$ прямой $y = 7x - 8$. Уравнение прямой представлено в виде $y = kx + b$, где $k$ — угловой коэффициент. Следовательно, для данной прямой $k = 7$.

2. Угловой коэффициент касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной этой функции в данной точке, то есть $k_{кас} = f'(x_0)$.Поскольку касательная должна быть параллельна прямой $y = 7x - 8$, их угловые коэффициенты должны быть равны: $f'(x_0) = 7$.

3. Найдем производную функции параболы $y = f(x) = 2x^2 - x + 1$:
$f'(x) = (2x^2 - x + 1)' = 2 \cdot (x^2)' - (x)' + (1)' = 2 \cdot 2x - 1 + 0 = 4x - 1$.

4. Теперь найдем абсциссу $x_0$ искомой точки, решив уравнение $f'(x_0) = 7$:
$4x_0 - 1 = 7$
$4x_0 = 7 + 1$
$4x_0 = 8$
$x_0 = \frac{8}{4} = 2$.

5. Мы нашли абсциссу точки касания. Чтобы найти ординату $y_0$, подставим найденное значение $x_0 = 2$ в исходное уравнение параболы:
$y_0 = 2(2)^2 - 2 + 1 = 2 \cdot 4 - 2 + 1 = 8 - 2 + 1 = 7$.

Таким образом, координаты искомой точки на параболе, в которой касательная параллельна прямой $y = 7x - 8$, равны $(2, 7)$.

Ответ: $(2, 7)$.

37.8. В каких точках касательные к графику функции $y = \frac{1}{x}$ параллельны прямой $y = -x$?

Две прямые параллельны, если их угловые коэффициенты равны.

Угловой коэффициент прямой $y = -x$ равен $-1$.

Угловой коэффициент касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной функции в этой точке, то есть $k = f'(x_0)$.

Найдем производную функции $y = \frac{1}{x}$. $y' = \left(\frac{1}{x}\right)' = (x^{-1})' = -1 \cdot x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$.

Чтобы касательная была параллельна прямой $y = -x$, их угловые коэффициенты должны быть равны: $f'(x_0) = -1$ $-\frac{1}{x_0^2} = -1$

Решим это уравнение: $\frac{1}{x_0^2} = 1$ $x_0^2 = 1$ $x_0 = 1$ или $x_0 = -1$.

Мы нашли абсциссы точек касания. Теперь найдем соответствующие ординаты, подставив значения $x_0$ в исходную функцию $y = \frac{1}{x}$:

При $x_0 = 1$, $y_0 = \frac{1}{1} = 1$. Первая точка: $(1, 1)$.

При $x_0 = -1$, $y_0 = \frac{1}{-1} = -1$. Вторая точка: $(-1, -1)$.

Ответ: $(1, 1)$ и $(-1, -1)$.

37.9. К графику функции $f(x) = 2\sin x + 3\cos x$ проведены касательные в точках с абсциссами $x_1 = \frac{\pi}{2}$ и $x_2 = \frac{3\pi}{2}$. Каково взаимное расположение этих касательных?

Чтобы определить взаимное расположение касательных, необходимо найти их угловые коэффициенты и сравнить их. Угловой коэффициент $k$ касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной функции в этой точке: $k = f'(x_0)$.

1. Найдем производную функции $f(x)$

Дана функция $f(x) = 2\sin x + 3\cos x$.

Находим ее производную по правилам дифференцирования суммы и тригонометрических функций:

$f'(x) = (2\sin x + 3\cos x)' = 2(\sin x)' + 3(\cos x)' = 2\cos x - 3\sin x$.

2. Найдем угловой коэффициент первой касательной

Первая касательная проведена в точке с абсциссой $x_1 = \frac{\pi}{2}$. Ее угловой коэффициент $k_1$ равен $f'(x_1)$.

Подставляем значение $x_1$ в производную:

$k_1 = f'(\frac{\pi}{2}) = 2\cos(\frac{\pi}{2}) - 3\sin(\frac{\pi}{2})$.

Используя значения тригонометрических функций $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ и $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$, получаем:

$k_1 = 2 \cdot 0 - 3 \cdot 1 = -3$.

3. Найдем угловой коэффициент второй касательной

Вторая касательная проведена в точке с абсциссой $x_2 = \frac{3\pi}{2}$. Ее угловой коэффициент $k_2$ равен $f'(x_2)$.

Подставляем значение $x_2$ в производную:

$k_2 = f'(\frac{3\pi}{2}) = 2\cos(\frac{3\pi}{2}) - 3\sin(\frac{3\pi}{2})$.

Используя значения тригонометрических функций $\cos(\frac{3\pi}{2}) = 0$ и $\sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$, получаем:

$k_2 = 2 \cdot 0 - 3 \cdot (-1) = 3$.

4. Сравним угловые коэффициенты и сделаем вывод

Мы получили угловые коэффициенты двух касательных: $k_1 = -3$ и $k_2 = 3$.

Две прямые на плоскости могут быть параллельны, пересекаться или совпадать.
Проверим условие параллельности прямых: их угловые коэффициенты должны быть равны ($k_1 = k_2$). В нашем случае $-3 \neq 3$, следовательно, касательные не параллельны.
Поскольку касательные не параллельны, они пересекаются.
Дополнительно проверим, не являются ли они перпендикулярными. Условие перпендикулярности прямых: произведение их угловых коэффициентов равно -1 ($k_1 \cdot k_2 = -1$). В нашем случае $k_1 \cdot k_2 = (-3) \cdot 3 = -9$. Так как $-9 \neq -1$, касательные не перпендикулярны.

Таким образом, касательные пересекаются под углом, отличным от 90°.

Ответ: Касательные пересекаются.

37.10. Найдите такую точку графика функции $f$, что проведенная в этой точке касательная образует с положительным направлением оси абсцисс угол $\alpha$, если:

1) $f(x) = x^2 - 7x + 3, \alpha = 45^\circ$;

2) $f(x) = -3x^2 + 2\sqrt{3}x - 2, \alpha = 60^\circ$;

3) $f(x) = \sqrt{3x} + 2, \alpha = 45^\circ$;

4) $f(x) = \frac{x+7}{x-2}, \alpha = 135^\circ$.

1)

Задача состоит в том, чтобы найти точку $(x_0, y_0)$ на графике функции $f(x)$, в которой угловой коэффициент касательной равен тангенсу заданного угла $\alpha$. Угловой коэффициент касательной в точке $x_0$ равен значению производной функции в этой точке, $f'(x_0)$. Таким образом, необходимо решить уравнение $f'(x_0) = \tan(\alpha)$.

Дана функция $f(x) = x^2 - 7x + 3$ и угол $\alpha = 45^\circ$.

1. Найдём производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (x^2 - 7x + 3)' = 2x - 7$.

2. Вычислим тангенс угла $\alpha$:

$\tan(\alpha) = \tan(45^\circ) = 1$.

3. Составим и решим уравнение для нахождения абсциссы точки касания $x_0$:

$f'(x_0) = \tan(45^\circ)$

$2x_0 - 7 = 1$

$2x_0 = 8$

$x_0 = 4$.

4. Найдём ординату точки касания $y_0$, подставив значение $x_0$ в исходную функцию:

$y_0 = f(4) = 4^2 - 7 \cdot 4 + 3 = 16 - 28 + 3 = -9$.

Искомая точка имеет координаты $(4, -9)$.

Ответ: $(4, -9)$.

2)

Дана функция $f(x) = -3x^2 + 2\sqrt{3}x - 2$ и угол $\alpha = 60^\circ$.

1. Найдём производную функции $f(x)$:

$f'(x) = (-3x^2 + 2\sqrt{3}x - 2)' = -6x + 2\sqrt{3}$.

2. Вычислим тангенс угла $\alpha$:

$\tan(\alpha) = \tan(60^\circ) = \sqrt{3}$.

3. Составим и решим уравнение для нахождения абсциссы точки касания $x_0$:

$f'(x_0) = \tan(60^\circ)$

$-6x_0 + 2\sqrt{3} = \sqrt{3}$

$-6x_0 = \sqrt{3} - 2\sqrt{3}$

$-6x_0 = -\sqrt{3}$

$x_0 = \frac{-\sqrt{3}}{-6} = \frac{\sqrt{3}}{6}$.

4. Найдём ординату точки касания $y_0$:

$y_0 = f\left(\frac{\sqrt{3}}{6}\right) = -3\left(\frac{\sqrt{3}}{6}\right)^2 + 2\sqrt{3}\left(\frac{\sqrt{3}}{6}\right) - 2$

$y_0 = -3\left(\frac{3}{36}\right) + \frac{2 \cdot 3}{6} - 2 = -3 \cdot \frac{1}{12} + 1 - 2 = -\frac{1}{4} - 1 = -\frac{5}{4}$.

Искомая точка имеет координаты $\left(\frac{\sqrt{3}}{6}, -\frac{5}{4}\right)$.

Ответ: $\left(\frac{\sqrt{3}}{6}, -\frac{5}{4}\right)$.

3)

Дана функция $f(x) = \sqrt{3x+2}$ и угол $\alpha = 45^\circ$.

1. Найдём производную функции $f(x)$, используя правило дифференцирования сложной функции:

$f'(x) = (\sqrt{3x+2})' = \frac{1}{2\sqrt{3x+2}} \cdot (3x+2)' = \frac{3}{2\sqrt{3x+2}}$.

2. Вычислим тангенс угла $\alpha$:

$\tan(\alpha) = \tan(45^\circ) = 1$.

3. Составим и решим уравнение для нахождения абсциссы точки касания $x_0$:

$f'(x_0) = \tan(45^\circ)$

$\frac{3}{2\sqrt{3x_0+2}} = 1$

$2\sqrt{3x_0+2} = 3$

$\sqrt{3x_0+2} = \frac{3}{2}$

Возведём обе части уравнения в квадрат:

$3x_0+2 = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}$

$3x_0 = \frac{9}{4} - 2 = \frac{9}{4} - \frac{8}{4} = \frac{1}{4}$

$x_0 = \frac{1}{12}$.

4. Найдём ординату точки касания $y_0$:

$y_0 = f\left(\frac{1}{12}\right) = \sqrt{3 \cdot \frac{1}{12} + 2} = \sqrt{\frac{3}{12} + 2} = \sqrt{\frac{1}{4} + 2} = \sqrt{\frac{1+8}{4}} = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}$.

Искомая точка имеет координаты $\left(\frac{1}{12}, \frac{3}{2}\right)$.

Ответ: $\left(\frac{1}{12}, \frac{3}{2}\right)$.

4)

Дана функция $f(x) = \frac{x+7}{x-2}$ и угол $\alpha = 135^\circ$.

1. Найдём производную функции $f(x)$, используя правило дифференцирования частного $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v-uv'}{v^2}$:

$f'(x) = \frac{(x+7)'(x-2) - (x+7)(x-2)'}{(x-2)^2} = \frac{1 \cdot (x-2) - (x+7) \cdot 1}{(x-2)^2} = \frac{x-2-x-7}{(x-2)^2} = \frac{-9}{(x-2)^2}$.

2. Вычислим тангенс угла $\alpha$:

$\tan(\alpha) = \tan(135^\circ) = \tan(180^\circ - 45^\circ) = -\tan(45^\circ) = -1$.

3. Составим и решим уравнение для нахождения абсциссы $x_0$:

$f'(x_0) = \tan(135^\circ)$

$\frac{-9}{(x_0-2)^2} = -1$

$(x_0-2)^2 = 9$

$x_0-2 = \pm\sqrt{9} = \pm 3$.

Уравнение имеет два корня:

$x_{0,1} = 3 + 2 = 5$

$x_{0,2} = -3 + 2 = -1$

4. Найдём соответствующие ординаты $y_0$ для каждой абсциссы:

При $x_0 = 5$: $y_0 = f(5) = \frac{5+7}{5-2} = \frac{12}{3} = 4$. Первая точка: $(5, 4)$.

При $x_0 = -1$: $y_0 = f(-1) = \frac{-1+7}{-1-2} = \frac{6}{-3} = -2$. Вторая точка: $(-1, -2)$.

Ответ: $(5, 4)$ и $(-1, -2)$.