Номер 37.9, страница 273 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

37.9. К графику функции $f(x) = 2\sin x + 3\cos x$ проведены касательные в точках с абсциссами $x_1 = \frac{\pi}{2}$ и $x_2 = \frac{3\pi}{2}$. Каково взаимное расположение этих касательных?

Чтобы определить взаимное расположение касательных, необходимо найти их угловые коэффициенты и сравнить их. Угловой коэффициент $k$ касательной к графику функции $y=f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной функции в этой точке: $k = f'(x_0)$.

1. Найдем производную функции $f(x)$

Дана функция $f(x) = 2\sin x + 3\cos x$.

Находим ее производную по правилам дифференцирования суммы и тригонометрических функций:

$f'(x) = (2\sin x + 3\cos x)' = 2(\sin x)' + 3(\cos x)' = 2\cos x - 3\sin x$.

2. Найдем угловой коэффициент первой касательной

Первая касательная проведена в точке с абсциссой $x_1 = \frac{\pi}{2}$. Ее угловой коэффициент $k_1$ равен $f'(x_1)$.

Подставляем значение $x_1$ в производную:

$k_1 = f'(\frac{\pi}{2}) = 2\cos(\frac{\pi}{2}) - 3\sin(\frac{\pi}{2})$.

Используя значения тригонометрических функций $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ и $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$, получаем:

$k_1 = 2 \cdot 0 - 3 \cdot 1 = -3$.

3. Найдем угловой коэффициент второй касательной

Вторая касательная проведена в точке с абсциссой $x_2 = \frac{3\pi}{2}$. Ее угловой коэффициент $k_2$ равен $f'(x_2)$.

Подставляем значение $x_2$ в производную:

$k_2 = f'(\frac{3\pi}{2}) = 2\cos(\frac{3\pi}{2}) - 3\sin(\frac{3\pi}{2})$.

Используя значения тригонометрических функций $\cos(\frac{3\pi}{2}) = 0$ и $\sin(\frac{3\pi}{2}) = -1$, получаем:

$k_2 = 2 \cdot 0 - 3 \cdot (-1) = 3$.

4. Сравним угловые коэффициенты и сделаем вывод

Мы получили угловые коэффициенты двух касательных: $k_1 = -3$ и $k_2 = 3$.

Две прямые на плоскости могут быть параллельны, пересекаться или совпадать.
Проверим условие параллельности прямых: их угловые коэффициенты должны быть равны ($k_1 = k_2$). В нашем случае $-3 \neq 3$, следовательно, касательные не параллельны.
Поскольку касательные не параллельны, они пересекаются.
Дополнительно проверим, не являются ли они перпендикулярными. Условие перпендикулярности прямых: произведение их угловых коэффициентов равно -1 ($k_1 \cdot k_2 = -1$). В нашем случае $k_1 \cdot k_2 = (-3) \cdot 3 = -9$. Так как $-9 \neq -1$, касательные не перпендикулярны.

Таким образом, касательные пересекаются под углом, отличным от 90°.

Ответ: Касательные пересекаются.