Номер 37.16, страница 274 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

37.16. Составьте уравнение касательной к графику функции:

1) $f(x) = x^2 - 5x$, если эта касательная параллельна прямой $y = -x$;

2) $f(x) = x - \frac{1}{x^2}$, если эта касательная параллельна прямой $y = 3x$;

3) $f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 10x - 1$, если эта касательная параллельна прямой $y = 2x + 1$.

1) f(x) = x² - 5x, если эта касательная параллельна прямой y = -x;

Уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$. Угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке касания, $k_{кас} = f'(x_0)$.

Прямые параллельны, если их угловые коэффициенты равны. Угловой коэффициент данной прямой $y = -x$ равен $k = -1$. Следовательно, нам нужно найти точку $x_0$, в которой $f'(x_0) = -1$.

1. Находим производную функции $f(x) = x^2 - 5x$:
$f'(x) = (x^2)' - (5x)' = 2x - 5$.

2. Решаем уравнение $f'(x_0) = -1$ для нахождения абсциссы точки касания $x_0$:
$2x_0 - 5 = -1$
$2x_0 = 4$
$x_0 = 2$.

3. Вычисляем ординату точки касания $y_0$, подставив $x_0 = 2$ в исходную функцию:
$y_0 = f(2) = 2^2 - 5 \cdot 2 = 4 - 10 = -6$. Точка касания: $(2, -6)$.

4. Подставляем найденные значения ($x_0 = 2$, $y_0 = -6$, $f'(x_0) = -1$) в уравнение касательной:
$y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0)$
$y - (-6) = -1(x - 2)$
$y + 6 = -x + 2$
$y = -x - 4$.

Ответ: $y = -x - 4$.

2) f(x) = x - 1/x², если эта касательная параллельна прямой y = 3x;

Угловой коэффициент прямой $y = 3x$ равен $k = 3$. Касательная будет параллельна этой прямой, если ее угловой коэффициент также равен 3. Таким образом, ищем точку $x_0$, для которой $f'(x_0) = 3$.

1. Находим производную функции $f(x) = x - \frac{1}{x^2}$. Для удобства запишем функцию как $f(x) = x - x^{-2}$.
$f'(x) = (x - x^{-2})' = 1 - (-2)x^{-3} = 1 + 2x^{-3} = 1 + \frac{2}{x^3}$.

2. Находим абсциссу точки касания $x_0$, решив уравнение $f'(x_0) = 3$:
$1 + \frac{2}{x_0^3} = 3$
$\frac{2}{x_0^3} = 2$
$x_0^3 = 1$
$x_0 = 1$.

3. Вычисляем ординату точки касания $y_0 = f(x_0)$:
$y_0 = f(1) = 1 - \frac{1}{1^2} = 1 - 1 = 0$. Точка касания: $(1, 0)$.

4. Составляем уравнение касательной с угловым коэффициентом $k=3$ в точке $(1, 0)$:
$y - y_0 = k(x - x_0)$
$y - 0 = 3(x - 1)$
$y = 3x - 3$.

Ответ: $y = 3x - 3$.

3) f(x) = 2x³ + 3x² - 10x - 1, если эта касательная параллельна прямой y = 2x + 1.

Угловой коэффициент прямой $y = 2x + 1$ равен $k = 2$. Ищем точку (или точки) $x_0$, в которой угловой коэффициент касательной равен 2, то есть $f'(x_0) = 2$.

1. Находим производную функции $f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 10x - 1$:
$f'(x) = (2x^3 + 3x^2 - 10x - 1)' = 6x^2 + 6x - 10$.

2. Решаем уравнение $f'(x_0) = 2$ для нахождения абсцисс точек касания:
$6x_0^2 + 6x_0 - 10 = 2$
$6x_0^2 + 6x_0 - 12 = 0$
Делим обе части на 6: $x_0^2 + x_0 - 2 = 0$.
Решаем квадратное уравнение, например, по теореме Виета: $x_1 \cdot x_2 = -2$, $x_1 + x_2 = -1$. Корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$. Получили две точки касания.

3. Найдем уравнения для каждой касательной.

Случай 1: $x_0 = 1$.
Находим ординату точки касания:
$y_0 = f(1) = 2(1)^3 + 3(1)^2 - 10(1) - 1 = 2 + 3 - 10 - 1 = -6$.
Точка касания $(1, -6)$.
Уравнение касательной: $y - (-6) = 2(x - 1)$
$y + 6 = 2x - 2$
$y = 2x - 8$.

Случай 2: $x_0 = -2$.
Находим ординату точки касания:
$y_0 = f(-2) = 2(-2)^3 + 3(-2)^2 - 10(-2) - 1 = 2(-8) + 3(4) + 20 - 1 = -16 + 12 + 20 - 1 = 15$.
Точка касания $(-2, 15)$.
Уравнение касательной:
$y - 15 = 2(x - (-2))$
$y - 15 = 2(x + 2)$
$y - 15 = 2x + 4$
$y = 2x + 19$.

Ответ: $y = 2x - 8$ и $y = 2x + 19$.