Номер 37.17, страница 274 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

37.17. Составьте уравнение касательной к графику функции:

1) $f(x) = 3x^2 + 5x + 3$, если эта касательная параллельна прямой $y = -7x + 3;$

2) $f(x) = \sqrt{x}$, если эта касательная параллельна прямой $y = x.$

1) Дана функция $f(x) = 3x^2 + 5x + 3$. Требуется составить уравнение касательной к ее графику, если эта касательная параллельна прямой $y = -7x + 3$.

Уравнение касательной к графику функции $f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ имеет вид: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$.

Угловой коэффициент касательной $k$ равен значению производной функции в точке касания $x_0$, то есть $k = f'(x_0)$.

По условию, касательная параллельна прямой $y = -7x + 3$. У параллельных прямых угловые коэффициенты равны. Угловой коэффициент прямой $y = -7x + 3$ равен -7. Следовательно, угловой коэффициент искомой касательной также равен -7, то есть $k = f'(x_0) = -7$.

Найдем производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (3x^2 + 5x + 3)' = 6x + 5$.

Теперь найдем абсциссу точки касания $x_0$, решив уравнение $f'(x_0) = -7$:
$6x_0 + 5 = -7$
$6x_0 = -12$
$x_0 = -2$.

Найдем ординату точки касания $y_0$, подставив $x_0 = -2$ в исходную функцию:
$y_0 = f(x_0) = f(-2) = 3(-2)^2 + 5(-2) + 3 = 3 \cdot 4 - 10 + 3 = 12 - 10 + 3 = 5$.

Таким образом, точка касания имеет координаты $(-2; 5)$, а угловой коэффициент касательной $k = -7$.

Составим уравнение касательной, используя эти данные:
$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$
$y = 5 + (-7)(x - (-2))$
$y = 5 - 7(x + 2)$
$y = 5 - 7x - 14$
$y = -7x - 9$.

Ответ: $y = -7x - 9$.

2) Дана функция $f(x) = \sqrt{x}$. Требуется составить уравнение касательной к ее графику, если эта касательная параллельна прямой $y = x$.

Угловой коэффициент касательной $k$ должен быть равен угловому коэффициенту прямой $y=x$. Уравнение $y=x$ можно записать как $y=1 \cdot x + 0$, откуда видно, что ее угловой коэффициент равен 1. Значит, $k = f'(x_0) = 1$.

Найдем производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (\sqrt{x})' = (x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Найдем абсциссу точки касания $x_0$ из уравнения $f'(x_0) = 1$:
$\frac{1}{2\sqrt{x_0}} = 1$
$2\sqrt{x_0} = 1$
$\sqrt{x_0} = \frac{1}{2}$
$x_0 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$.

Найдем ординату точки касания $y_0$, подставив $x_0 = \frac{1}{4}$ в исходную функцию:
$y_0 = f(x_0) = f(\frac{1}{4}) = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.

Таким образом, точка касания имеет координаты $(\frac{1}{4}; \frac{1}{2})$, а угловой коэффициент касательной $k=1$.

Составим уравнение касательной:
$y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$
$y = \frac{1}{2} + 1(x - \frac{1}{4})$
$y = \frac{1}{2} + x - \frac{1}{4}$
$y = x + \frac{2}{4} - \frac{1}{4}$
$y = x + \frac{1}{4}$.

Ответ: $y = x + \frac{1}{4}$.