Номер 37.14, страница 274 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

37.14. Найдите уравнения горизонтальных касательных к графику функции:

1) $f(x) = x^3 - 3x + 1;$

2) $f(x) = \frac{1}{2}x^4 - 4x^2 + 1.$

1) $f(x) = x^3 - 3x + 1$

Горизонтальная касательная к графику функции имеет угловой коэффициент, равный нулю. Угловой коэффициент касательной в точке с абсциссой $x_0$ равен значению производной $f'(x_0)$. Следовательно, чтобы найти точки, в которых касательная горизонтальна, необходимо найти значения $x$, для которых производная функции равна нулю.

Сначала найдем производную функции:

$f'(x) = (x^3 - 3x + 1)' = 3x^2 - 3$

Теперь приравняем производную к нулю, чтобы найти абсциссы точек касания:

$f'(x) = 0$

$3x^2 - 3 = 0$

$3(x^2 - 1) = 0$

$x^2 = 1$

Корни этого уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.

Теперь найдем ординаты этих точек, подставив значения $x_1$ и $x_2$ в исходную функцию $f(x)$:

Для $x_1 = 1$:

$y_1 = f(1) = 1^3 - 3(1) + 1 = 1 - 3 + 1 = -1$

Для $x_2 = -1$:

$y_2 = f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 1 = -1 + 3 + 1 = 3$

Уравнение горизонтальной прямой имеет вид $y = c$, где $c$ — это ордината точки касания. Таким образом, мы получаем два уравнения горизонтальных касательных.

Ответ: $y = 3$ и $y = -1$.

2) $f(x) = \frac{1}{2}x^4 - 4x^2 + 1$

Аналогично первому пункту, найдем производную функции и приравняем ее к нулю.

Найдем производную:

$f'(x) = (\frac{1}{2}x^4 - 4x^2 + 1)' = \frac{1}{2} \cdot 4x^3 - 4 \cdot 2x = 2x^3 - 8x$

Приравняем производную к нулю:

$f'(x) = 0$

$2x^3 - 8x = 0$

$2x(x^2 - 4) = 0$

$2x(x-2)(x+2) = 0$

Корни этого уравнения: $x_1 = 0$, $x_2 = 2$ и $x_3 = -2$.

Теперь найдем соответствующие ординаты точек касания:

Для $x_1 = 0$:

$y_1 = f(0) = \frac{1}{2}(0)^4 - 4(0)^2 + 1 = 1$

Для $x_2 = 2$:

$y_2 = f(2) = \frac{1}{2}(2)^4 - 4(2)^2 + 1 = \frac{1}{2} \cdot 16 - 4 \cdot 4 + 1 = 8 - 16 + 1 = -7$

Для $x_3 = -2$:

$y_3 = f(-2) = \frac{1}{2}(-2)^4 - 4(-2)^2 + 1 = \frac{1}{2} \cdot 16 - 4 \cdot 4 + 1 = 8 - 16 + 1 = -7$

Мы получили три точки, в которых касательная горизонтальна: $(0, 1)$, $(2, -7)$ и $(-2, -7)$. Этим точкам соответствуют две уникальные ординаты: $1$ и $-7$. Следовательно, у графика функции две горизонтальные касательные.

Ответ: $y = 1$ и $y = -7$.