gdz.top
Номер 37.20, страница 274 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский
Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2021 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: синий, красный
ISBN: 978-5-09-087861-6
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика. Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 10 классе
Глава 5. Производная и её применение. Параграф 37. Уравнение касательной - номер 37.20, страница 274.
№37.19
№37.20 (с. 274)
Условие. №37.20 (с. 274)
37.20. Определите, является ли прямая $y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$ касательной к графику функции $y = \sqrt{x}$. В случае утвердительного ответа укажите абсциссу точки касания.
Решение 1. №37.20 (с. 274)
Решение 2. №37.20 (с. 274)
Решение 3. №37.20 (с. 274)
Решение 4. №37.20 (с. 274)
Решение 5. №37.20 (с. 274)
Для того чтобы определить, является ли прямая $y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$ касательной к графику функции $f(x) = \sqrt{x}$, необходимо проверить выполнение двух условий для некоторой точки с абсциссой $x_0$:
1. Угловой коэффициент касательной к графику функции в точке $x_0$ должен быть равен угловому коэффициенту данной прямой.
2. Точка $(x_0, f(x_0))$ должна также лежать на данной прямой.
Угловой коэффициент данной прямой $y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$ равен $k = \frac{1}{2}$.
Угловой коэффициент касательной к графику функции $f(x)$ в точке $x_0$ равен значению ее производной $f'(x_0)$. Найдем производную функции $f(x) = \sqrt{x}$:
$f'(x) = (\sqrt{x})' = (x^{1/2})' = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.
Теперь приравняем производную к угловому коэффициенту прямой, чтобы найти абсциссу $x_0$ предполагаемой точки касания:
$f'(x_0) = k \implies \frac{1}{2\sqrt{x_0}} = \frac{1}{2}$.
Из этого равенства следует, что $2\sqrt{x_0} = 2$, или $\sqrt{x_0} = 1$.
Возведя обе части в квадрат, получаем: $x_0 = 1$.
Мы нашли абсциссу возможной точки касания. Теперь проверим второе условие: совпадают ли значения функции и прямой в этой точке. Для этого найдем ординаты обеих линий при $x_0 = 1$.
Значение функции: $f(1) = \sqrt{1} = 1$.
Значение на прямой: $y(1) = \frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$.
Так как $f(1) = y(1) = 1$, оба условия выполнены. Это означает, что прямая $y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$ касается графика функции $y = \sqrt{x}$ в точке $(1, 1)$. Следовательно, ответ на вопрос, является ли прямая касательной, — утвердительный.
Ответ: Да, является. Абсцисса точки касания: 1.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 37.20 расположенного на странице 274 к учебнику 2021 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №37.20 (с. 274), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.