Номер 38.2, страница 279 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

38.2. Найдите промежутки возрастания и убывания функции:

1) $f(x) = -x^2 + 6x - 5;$

2) $f(x) = x^3 + 3x^2 - 9x;$

3) $f(x) = \frac{1}{4}x^4 - 2x^2 + 1;$

4) $f(x) = x^4 + 4x - 20.$

1) Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции $f(x) = -x^2 + 6x - 5$, мы будем использовать ее производную.
1. Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$, так как это многочлен.
2. Найдем производную функции:
$f'(x) = (-x^2 + 6x - 5)' = -2x + 6$.
3. Найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:
$-2x + 6 = 0$
$2x = 6$
$x = 3$.
4. Критическая точка $x=3$ делит числовую прямую на два промежутка: $(-\infty; 3)$ и $(3; +\infty)$. Определим знак производной на каждом из этих промежутков.
- На промежутке $(-\infty; 3)$, возьмем пробную точку $x=0$. $f'(0) = -2(0) + 6 = 6$. Так как $f'(x) > 0$, функция возрастает на этом промежутке.
- На промежутке $(3; +\infty)$, возьмем пробную точку $x=4$. $f'(4) = -2(4) + 6 = -8 + 6 = -2$. Так как $f'(x) < 0$, функция убывает на этом промежутке.
Поскольку функция непрерывна в точке $x=3$, ее можно включить в промежутки монотонности.
Ответ: промежуток возрастания: $(-\infty; 3]$; промежуток убывания: $[3; +\infty)$.

2) Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции $f(x) = x^3 + 3x^2 - 9x$, мы будем использовать ее производную.
1. Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
2. Найдем производную функции:
$f'(x) = (x^3 + 3x^2 - 9x)' = 3x^2 + 6x - 9$.
3. Найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:
$3x^2 + 6x - 9 = 0$
$x^2 + 2x - 3 = 0$
Используя теорему Виета, находим корни: $x_1 = -3$ и $x_2 = 1$.
4. Критические точки $x=-3$ и $x=1$ делят числовую прямую на три промежутка: $(-\infty; -3)$, $(-3; 1)$ и $(1; +\infty)$. Определим знак производной на каждом из них. Производная $f'(x) = 3(x+3)(x-1)$ представляет собой параболу с ветвями вверх.
- На промежутке $(-\infty; -3)$, возьмем $x=-4$: $f'(-4) = 3(-4)^2 + 6(-4) - 9 = 48 - 24 - 9 = 15 > 0$. Функция возрастает.
- На промежутке $(-3; 1)$, возьмем $x=0$: $f'(0) = 3(0)^2 + 6(0) - 9 = -9 < 0$. Функция убывает.
- На промежутке $(1; +\infty)$, возьмем $x=2$: $f'(2) = 3(2)^2 + 6(2) - 9 = 12 + 12 - 9 = 15 > 0$. Функция возрастает.
Включаем концы промежутков, так как функция непрерывна.
Ответ: промежутки возрастания: $(-\infty; -3]$ и $[1; +\infty)$; промежуток убывания: $[-3; 1]$.

3) Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции $f(x) = \frac{1}{4}x^4 - 2x^2 + 1$, мы будем использовать ее производную.
1. Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
2. Найдем производную функции:
$f'(x) = (\frac{1}{4}x^4 - 2x^2 + 1)' = \frac{1}{4} \cdot 4x^3 - 2 \cdot 2x = x^3 - 4x$.
3. Найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:
$x^3 - 4x = 0$
$x(x^2 - 4) = 0$
$x(x-2)(x+2) = 0$
Критические точки: $x_1 = -2$, $x_2 = 0$, $x_3 = 2$.
4. Критические точки делят числовую прямую на четыре промежутка: $(-\infty; -2)$, $(-2; 0)$, $(0; 2)$ и $(2; +\infty)$. Определим знак производной на каждом из них методом интервалов.
- На промежутке $(-\infty; -2)$, возьмем $x=-3$: $f'(-3) = (-3)^3 - 4(-3) = -27 + 12 = -15 < 0$. Функция убывает.
- На промежутке $(-2; 0)$, возьмем $x=-1$: $f'(-1) = (-1)^3 - 4(-1) = -1 + 4 = 3 > 0$. Функция возрастает.
- На промежутке $(0; 2)$, возьмем $x=1$: $f'(1) = (1)^3 - 4(1) = 1 - 4 = -3 < 0$. Функция убывает.
- На промежутке $(2; +\infty)$, возьмем $x=3$: $f'(3) = (3)^3 - 4(3) = 27 - 12 = 15 > 0$. Функция возрастает.
Включаем концы промежутков, так как функция непрерывна.
Ответ: промежутки возрастания: $[-2; 0]$ и $[2; +\infty)$; промежутки убывания: $(-\infty; -2]$ и $[0; 2]$.

4) Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции $f(x) = x^4 + 4x - 20$, мы будем использовать ее производную.
1. Область определения функции — все действительные числа, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.
2. Найдем производную функции:
$f'(x) = (x^4 + 4x - 20)' = 4x^3 + 4$.
3. Найдем критические точки, решив уравнение $f'(x) = 0$:
$4x^3 + 4 = 0$
$x^3 + 1 = 0$
$x^3 = -1$
$x = -1$.
4. Критическая точка $x=-1$ делит числовую прямую на два промежутка: $(-\infty; -1)$ и $(-1; +\infty)$. Определим знак производной на каждом из них.
- На промежутке $(-\infty; -1)$, возьмем $x=-2$: $f'(-2) = 4(-2)^3 + 4 = 4(-8) + 4 = -32 + 4 = -28 < 0$. Функция убывает.
- На промежутке $(-1; +\infty)$, возьмем $x=0$: $f'(0) = 4(0)^3 + 4 = 4 > 0$. Функция возрастает.
Включаем концы промежутков, так как функция непрерывна.
Ответ: промежуток убывания: $(-\infty; -1]$; промежуток возрастания: $[-1; +\infty)$.