Номер 38.6, страница 280 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

38.6. На рисунке 38.10 изображён график функции $y = f(x)$, определённой на $\mathbf{R}$. Среди приведённых на рисунке 38.11 графиков укажите тот, который может быть графиком функции $y = f'(x)$.

Рис. 38.9

$y = f'(x)$, $x_1$, $0$, $x_2$, $x_3$

Рис. 38.10

$y = f(x)$, $0$

Рис. 38.11

a, б, в, г

Чтобы определить, какой из графиков на рисунке 38.11 может быть графиком производной $y = f'(x)$ для функции $y = f(x)$, изображенной на рисунке 38.10, проанализируем свойства функции $f(x)$ и ее производной.

На графике функции $y = f(x)$ (рис. 38.10) мы видим параболу, ветви которой направлены вниз. Эта функция возрастает до своей вершины (точки максимума), а затем убывает. Обозначим абсциссу точки максимума как $x_{max}$. Из графика видно, что вершина параболы находится в первой координатной четверти, а значит, $x_{max} > 0$.

Вспомним геометрический смысл производной. На интервале, где функция $f(x)$ возрастает (при $x < x_{max}$), ее производная $f'(x)$ должна быть положительной ($f'(x) > 0$). На интервале, где функция $f(x)$ убывает (при $x > x_{max}$), ее производная $f'(x)$ должна быть отрицательной ($f'(x) < 0$). В самой точке максимума $x = x_{max}$ касательная к графику горизонтальна, следовательно, производная в этой точке равна нулю: $f'(x_{max}) = 0$.

Таким образом, график производной $y=f'(x)$ должен пересекать ось абсцисс ($Ox$) в точке $x = x_{max} > 0$. Слева от этой точки график $y=f'(x)$ должен находиться выше оси $Ox$, а справа — ниже.

Кроме того, исходная функция $f(x)$ является квадратичной (ее график — парабола). Производная квадратичной функции вида $f(x) = ax^2 + bx + c$ является линейной функцией $f'(x) = 2ax + b$. Поскольку ветви параболы $f(x)$ направлены вниз, коэффициент при старшем члене $a$ отрицателен ($a < 0$). Следовательно, угловой коэффициент производной, равный $2a$, также отрицателен. Это означает, что график производной $y = f'(x)$ — это убывающая прямая линия.

Теперь сопоставим эти выводы с графиками на рисунке 38.11.
График а изображает возрастающую функцию, что противоречит нашему выводу.
График б изображает убывающую функцию, но она пересекает ось $Ox$ в точке $x = 0$. Это означало бы, что максимум исходной функции находится в $x=0$, что неверно.
График в изображает убывающую прямую, которая пересекает ось $Ox$ в точке $x > 0$. Этот график полностью соответствует всем нашим выводам: это убывающая прямая, которая положительна до точки пересечения с осью $Ox$ и отрицательна после нее.
График г изображает параболу, а не прямую, что также противоречит выводу о том, что производная квадратичной функции является линейной.

Следовательно, единственным подходящим графиком является график в.

Ответ: в.