Номер 38.12, страница 281 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

38.12. Найдите промежутки возрастания и убывания функции:

1) $f(x) = x\sqrt{2} + \sin x;$

2) $f(x) = x - \cos x;$

3) $f(x) = \cos x + \frac{x\sqrt{3}}{2}.$

1) Для нахождения промежутков возрастания и убывания функции $f(x) = x\sqrt{2} + \sin x$, найдем ее производную. Область определения функции — все действительные числа $x \in \mathbb{R}$.
Производная функции: $f'(x) = (x\sqrt{2} + \sin x)' = \sqrt{2} + \cos x$.
Чтобы определить знак производной, воспользуемся тем, что область значений функции косинус есть отрезок $[-1, 1]$, т.е. $-1 \le \cos x \le 1$.
Тогда наименьшее значение производной $f'(x)$ составляет $\sqrt{2} + (-1) = \sqrt{2} - 1$.
Поскольку $\sqrt{2} \approx 1.414$, то $\sqrt{2} - 1 > 0$.
Следовательно, производная $f'(x)$ положительна при всех значениях $x$. А это значит, что функция $f(x)$ возрастает на всей своей области определения.
Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; +\infty)$, промежутков убывания нет.

2) Рассмотрим функцию $f(x) = x - \cos x$. Область определения функции — все действительные числа $x \in \mathbb{R}$.
Найдем производную: $f'(x) = (x - \cos x)' = 1 - (-\sin x) = 1 + \sin x$.
Исследуем знак производной. Мы знаем, что $-1 \le \sin x \le 1$.
Следовательно, $1 + (-1) \le 1 + \sin x \le 1 + 1$, что дает $0 \le f'(x) \le 2$.
Производная $f'(x)$ неотрицательна на всей области определения. Она обращается в ноль только в тех точках, где $\sin x = -1$, то есть при $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Поскольку производная функции неотрицательна и обращается в ноль лишь в изолированных точках, функция является монотонно возрастающей на всей числовой прямой.
Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty; +\infty)$, промежутков убывания нет.

3) Рассмотрим функцию $f(x) = \cos x + \frac{x\sqrt{3}}{2}$. Область определения — $x \in \mathbb{R}$.
Найдем производную: $f'(x) = (\cos x + \frac{x\sqrt{3}}{2})' = -\sin x + \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Для определения промежутков монотонности, найдем нули производной: $f'(x) = 0$.
$-\sin x + \frac{\sqrt{3}}{2} = 0 \implies \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Решения этого уравнения: $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$ и $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Функция возрастает, когда $f'(x) > 0$, то есть $-\sin x + \frac{\sqrt{3}}{2} > 0$, что равносильно $\sin x < \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Это неравенство выполняется на объединении интервалов $(\frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \frac{\pi}{3} + 2\pi(k+1))$. Включая концы, получаем промежутки возрастания: $[\frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \frac{7\pi}{3} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.
Функция убывает, когда $f'(x) < 0$, то есть $-\sin x + \frac{\sqrt{3}}{2} < 0$, что равносильно $\sin x > \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Это неравенство выполняется на интервалах $(\frac{\pi}{3} + 2\pi k, \frac{2\pi}{3} + 2\pi k)$. Включая концы, получаем промежутки убывания: $[\frac{\pi}{3} + 2\pi k, \frac{2\pi}{3} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: промежутки возрастания $[\frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \frac{7\pi}{3} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$; промежутки убывания $[\frac{\pi}{3} + 2\pi k, \frac{2\pi}{3} + 2\pi k], k \in \mathbb{Z}$.