Номер 38.11, страница 281 - гдз по алгебре 10 класс учебник Мерзляк, Номировский

38.11. Докажите, что функция является возрастающей:

1) $f(x) = 10x^3 - 9x^2 + 24x - 90;$

2) $f(x) = \sin x + x^3 + x.$

1)

Чтобы доказать, что функция $f(x) = 10x^3 - 9x^2 + 24x - 90$ является возрастающей, необходимо и достаточно показать, что её производная $f'(x)$ положительна для всех $x$ из области определения.

Областью определения данной функции является множество всех действительных чисел, $D(f) = (-\infty; +\infty)$, так как это многочлен.

Найдём производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (10x^3 - 9x^2 + 24x - 90)' = 10 \cdot (x^3)' - 9 \cdot (x^2)' + 24 \cdot (x)' - (90)' = 10 \cdot 3x^2 - 9 \cdot 2x + 24 = 30x^2 - 18x + 24$.

Теперь необходимо исследовать знак производной $f'(x) = 30x^2 - 18x + 24$. Это квадратичная функция, графиком которой является парабола. Так как коэффициент при $x^2$ (равный 30) положителен, ветви параболы направлены вверх.

Чтобы определить, принимает ли функция $f'(x)$ отрицательные или нулевые значения, найдём дискриминант $D$ квадратного трёхчлена $30x^2 - 18x + 24$:
$D = b^2 - 4ac = (-18)^2 - 4 \cdot 30 \cdot 24 = 324 - 2880 = -2556$.

Поскольку дискриминант $D = -2556 < 0$ и старший коэффициент $a = 30 > 0$, квадратный трёхчлен $30x^2 - 18x + 24$ принимает только положительные значения при любых действительных значениях $x$.

Таким образом, мы доказали, что $f'(x) > 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$. Следовательно, функция $f(x)$ является строго возрастающей на всей числовой прямой.

Ответ: Что и требовалось доказать.

2)

Чтобы доказать, что функция $f(x) = \sin x + x^3 + x$ является возрастающей, необходимо показать, что её производная $f'(x)$ положительна для всех $x$ из области определения.

Областью определения данной функции является множество всех действительных чисел, $D(f) = (-\infty; +\infty)$.

Найдём производную функции $f(x)$:
$f'(x) = (\sin x + x^3 + x)' = (\sin x)' + (x^3)' + (x)' = \cos x + 3x^2 + 1$.

Исследуем знак производной $f'(x) = \cos x + 3x^2 + 1$.

Для любого действительного числа $x$ справедливы следующие неравенства:
1. Значение косинуса находится в пределах от -1 до 1: $-1 \le \cos x \le 1$.
2. Квадрат любого действительного числа неотрицателен: $x^2 \ge 0$, а значит и $3x^2 \ge 0$.

Оценим значение производной. Представим её в виде суммы двух слагаемых: $f'(x) = (\cos x + 1) + 3x^2$.
Из неравенства $\cos x \ge -1$ следует, что $\cos x + 1 \ge 0$.
Также мы знаем, что $3x^2 \ge 0$.
Производная $f'(x)$ является суммой двух неотрицательных слагаемых, поэтому её значение также неотрицательно: $f'(x) \ge 0$.

Теперь проверим, может ли производная равняться нулю. Равенство $f'(x) = 0$ возможно только в том случае, если оба слагаемых одновременно равны нулю:
$\left\{ \begin{aligned} \cos x + 1 = 0 \\ 3x^2 = 0 \end{aligned} \right.$
Из второго уравнения системы следует, что $x=0$. Подставим это значение в первое уравнение: $\cos(0) + 1 = 1 + 1 = 2$. Так как $2 \ne 0$, первого уравнение не выполняется.
Система не имеет решений, а это означает, что производная $f'(x)$ никогда не обращается в нуль.

Поскольку $f'(x) \ge 0$ и $f'(x) \ne 0$ ни при каком $x$, то $f'(x)$ всегда строго больше нуля: $f'(x) > 0$ для всех $x \in \mathbb{R}$.
Следовательно, функция $f(x)$ является строго возрастающей на всей числовой прямой.

Ответ: Что и требовалось доказать.